第四章线性控制系统的稳定性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,*,北京科技大学自动化学院自动化系,*,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,1,第四章 线性控制系统的稳定性,4.1,线性系统稳定性的基本概念,4.2,传递函数表示的系统稳定性判定,4.3,状态空间表示的系统稳定性判定,4.4,本章小结,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,2,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的 前提下进行。,自动控制理论的基本任务,(,之一,),分析系统的稳定性问题,提出保证系统稳定的措施,一、稳定性分析的重要性,4.1,线性系统稳定性的基本概念,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,3,二、线性系统稳定性分析的理论框架,第一方法,第二方法,稳定性分析,1892,年俄国数学家李雅普诺夫,SISO,的代数分析方法,解析方法,Routh,判据,Houwitz,判据,根据,SISO,闭环特征方程的系数判定,系统的,稳定性,根据状态方程,A,阵判定系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,4,A.Lyapunov(1857-1918),，俄国数学家（,Chebyshev,的学生，,Markov,的同学），在他的博士论文中，,Lyapunov,系统地研究了由微分方程描述的一般运动的稳定性问题，建立了著名的,Laypunov,方法，他的工作为现代控制及非线性控制奠定科基础。,三、线性系统稳定性分析的划时代人物,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,5,4.2,传递函数表示的系统稳定性判定,本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性问题,4.2.2 Routh,稳定判据,4.2.3 Routh,判据的两种特殊情况,4.2.4 Routh,判据的推广,4.2.5 Routh,判据的应用,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,6,4.2,传递函数表示的系统稳定性判定,本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性问题,4.2.2 Routh,稳定判据,4.2.3 Routh,判据的两种特殊情况,4.2.4 Routh,判据的推广,4.2.5 Routh,判据的应用,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,7,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,8,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,9,一、稳定性基本概念,1,、,稳定性,任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。,所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2,、,平衡状态,系统所受的作用力达到平衡，,使系统处于稳定（不运动）的状态。,称为平衡状态。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,10,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,11,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,12,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,13,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,14,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,临界稳定,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,15,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：,若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称系统,渐进稳定,，简称稳定。反之，若初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,16,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,由稳定性定义可知：,1,）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。,2,）,若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,17,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,对于脉冲响应，我们有：,显然，系统是否稳定取决于,G(s),极点在,S,平面中的位置。,推论,1,：,如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的,脉冲响应函数趋于零,，则该线性定常系统稳定。,系统是稳定的。,系统仍能回到原有的平衡状态,简证：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,18,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,对于脉冲响应，我们有：,显然，系统是否稳定取决于,G(s),极点在,S,平面中的位置。,推论,1,：,如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的,脉冲响应函数趋于零,，则该线性定常系统稳定。,系统是稳定的。,系统仍能回到原有的平衡状态,简证：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,19,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,推论,2,：,若系统闭环传递函数的所有极点全部,位于,S,左半平面，则系统稳定。,则脉冲响应为：,简证：,令系统的闭环传递函数含有,q,个实数极点和,r,对复数,极点：,),2,(,),(,),(,),(,),(,2,2,1,1,1,+,+,P,+,P,+,P,=,=,=,=,=,nk,nk,k,r,k,j,q,j,i,m,i,s,s,P,s,Z,s,K,s,s,G,w,w,x,f,=,=,-,-,=,-,-,+,-,+,=,r,k,r,k,k,nk,t,k,k,nk,t,k,q,j,t,p,j,t,e,C,t,e,B,e,A,t,g,nk,k,nk,k,j,1,1,2,2,1,1,cos,1,sin,),(,x,w,x,w,w,x,w,x,显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于,S,左,半平面时，,g(t)|,t,0,成立，即系统才稳定。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,20,j,0,j,0,j,0,j,0,j,0,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,21,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,推论,3,：,如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的,阶跃响应函数趋于某一个常数,，则该线性定常系统稳定。,这个推论的证明请同学们自行完成。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,22,二、,SISO,系统阶跃响应的稳定问题,实根情况：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,23,虚根情况：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,24,虚根情况：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,25,4.2.1 SISO,线性定常系统的稳定性,临界稳定,：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。,稳定裕度,的概念：,S,平面,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,26,三、,SISO,线性定常系统的稳定性分析方法：,求脉冲响应,求阶跃响应,求系统的闭环特征根,不易求,其它简单的判定方法,?,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,27,4.2.2 Routh,稳定判据,(Routh,s stability criterion),Routh,表,将闭环特征方程的各项系数，按右面的格式排成,Routh,表。,0,0,0,1,2,2,1,1,0,=,+,+,+,+,+,-,-,-,a,a,S,a,S,a,S,a,S,a,n,n,n,n,n,系统闭环特征方程,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,28,系统渐进稳定的必要条件是,特征方程的系数,均大于零,。,如果劳斯表中,第一列的系数,均为,正值,，则其特征方程式的根都在,S,的左半平面，相应的系统是稳定的。,如果劳斯表中,第一列系数的符号有变化,，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在,S,的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,劳斯稳定判据,表中,这样可求得,n+1,行系数,1,2,1,2,1,1,1,4,1,7,1,3,1,3,1,5,1,2,1,2,1,3,1,1,1,7,0,6,1,3,1,5,0,4,1,2,1,3,0,2,1,1,e,e,d,d,e,f,b,b,a,a,b,c,b,b,a,a,b,c,b,b,a,a,b,c,a,a,a,a,a,b,a,a,a,a,a,b,a,a,a,a,a,b,-,=,-,=,-,=,-,=,-,=,-,=,-,=,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,29,例,4.2-1,试用劳斯判据判别系统的稳定性,。,解：,列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在,S,的右半平面，因而系统是不稳定的。,已知某一调速系统的闭环特征方程式为：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,30,例,4.2-1,试用劳斯判据判别系统的稳定性,。,解：,列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在,S,的右半平面，因而系统是不稳定的。,已知某一调速系统的闭环特征方程式为：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,31,4.2.3 Routh,判据的两种特殊情况,劳斯表某一行中的第一项元素等于,0,，而该行的其余各项不等于,0,或没有其余项。,以一个很小的正数 来代替为,0,的这项，据此算出其,余的各项，完成劳斯表的排列。,解决的办法,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在,S,右半平面上根的数目，相应的,系统为,不稳定,。,如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为,临界稳定,。,1,结论,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,32,已知系统的闭环特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号相同，所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定系统,(,这在工业上属于不稳定的系统,),。,例,4.2-2,解：,列劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,33,劳斯表某一行元素全为,0,。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根,(,关于原点对称的根,),。,2,利用系数全为,0,行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全,0,的行。从而完成劳斯表的排列。,解决办法,关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在,S,右半平面上根的数目，相应的,系统为,不稳定,。,如果第一列,上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为,临界稳定,。,结论,4.2.3 Routh,判据的两种特殊情况,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,34,由于第一列的系数均为正值，表明该方程在,S,右半平面上没有特征根。,该系统处于临界稳定状态,。,已知系统的闭环特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,例,4.2-3,解：,列劳斯表,令,F(s)=0,，求得：,s,s,s,F,16,12,2,),(,2,4,+,+,=,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,35,4.2.4 Routh,判据的推广,实际系统希望,S,左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。,此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,“,程度,”,稳定裕度。,令,s=s,1,-a,，代入原系统的闭环特征方程中，得到以,s,1,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线,s,1,=-a,右侧。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,36,4.2.4 Routh,判据的推广,实际系统希望,S,左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。,此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,“,程度,”,稳定裕度。,令,s=s,1,-a,，代入原系统的闭环特征方程中，得到以,s,1,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线,s,1,=-a,右侧。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,37,用劳斯判据检验下列特征方程,例,4.2-4,解：,列劳斯表,是否有根在,S,的右半平面上，并检验有几个根在 的右方。,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,s,1,s,-1,0,j,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,38,令,S=Z-1,代入特征方程：,式中有负号，显然有根在,的右方,。,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 的右方。,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,39,4.2.5 Routh,判据的应用,例,4.2-5,1,系统参数稳定范围的确定,已知某调速系统的特征方程式为,求该系统稳定的,K,值范围。,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：,解：,列劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,40,第一列均为正值，,S,全部位于左半平面，故系统稳定。,已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答：,时，闭环系统是否稳定？,时，闭环系统的稳定条件是什么？,例,4.2-6,时，闭环系统,的,特征方程为,:,解：,0,20,50,15,2,3,=,+,+,+,S,S,S,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,41,闭环特征方程为：,开环传递函数：,列劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,42,闭环特征方程为：,开环传递函数：,列劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,43,因此，利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,44,+,系统闭环特征方程为：,为稳定条件,例,4.2-7,解：,系统结构图如下所示，确定系统参数稳定的条件。,S,3,T1T2 1,S,2,T1+T2 k,S,1,0,S,0,k 0,劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,45,当,K=2,时，,Routh,表的第三、五行元素全为,0,。系统将有对称于原点的闭环特征根。,2,求特殊情况下系统的闭环特征根,例,4.2-8,已知某系统的闭环特征方程为：,试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的,K,值，并求出此时,系统的所有闭环特征根,。,，进而得,解：,列劳斯表,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,46,4.3,状态空间表示的系统稳定性判定,定理,5.1:,线性定常系统,平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵,A,的所有特征值均具有负实部,.,证明：,充分性,，由其齐次解 可知：若,A,的特征,则当 有界，,0(t),。,值均具有负实部。,必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。,系统状态,(,内部,),稳定条件,系统输出稳定：,如果系统对于有界输入,u,所引起的输出,y,是有,界的,.,则称系统为输出稳定,.,定理,5.2,：,线性定常系统 输出稳定的充要条件是传,函 的极点全部位于,s,的左半平面,.,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,47,设系统的状态空间表达式为,:,试分析系统的状态稳定性与输出稳定性,.,1),有,A,的特征方程,:,可知系统的状态是不稳定的,.,2),由系统的传递函数,:,故系统输出稳定,.,这是因为具有正实部的特征值,被系统的零点,s=+1,对消了，不稳定部分被掩盖。,例,4.3-1,解：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,48,设系统的状态空间表达式为,:,试分析系统的状态稳定性与输出稳定性,.,1),有,A,的特征方程,:,可知系统的状态是不稳定的,.,2),由系统的传递函数,:,故系统输出稳定,.,这是因为具有正实部的特征值,被系统的零点,s=+1,对消了，不稳定部分被掩盖。,例,4.3-1,解：,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,49,说明,:,1),这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统,参数发生变化,则零、极点就无法实现对消。,这样输出就能表现出不稳定特性。,2),只有当 不出现不稳定的零、极点对消,(,可以,有稳定的零、极点对消,),，的稳定性才与,的稳定性是一致的,.,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,50,4.4,小结,线性系统稳定性分析的理论框架与方法,李雅普诺夫方法,第一方法,稳定性分析,SISO,代数方法,解析方法,Routh,判据,根据,SISO,闭环特征方程的系数判定系统的稳定性,的特征根,求阶跃响应、求闭环特征根,2025/11/10 周一,北京科技大学自动化学院自动化系,51,稳定性的概念和定义,平衡点；稳定；大范围稳定；渐近稳定；,一致稳定；渐近一致稳定,Routh,判据,适用于,SISO,系统，利用特征方程的系数,Routh,判据的应用,判定稳定性；确定系统稳定是参数的取值,范围；特殊情况下求系统的闭环特征根,状态空间表示的系统的稳定性的判定,注意系统内部稳定和输入输出稳定的不同与,联系。,