弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,弹性与塑性力学基础,第 四,章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,温翠莲,clwen 18805026360,2,4-1,广义胡克定律,4.1,.1,应力与应变关系的提出,4.1,.2,胡克定律,4.1,.3,泊松比,4.1,.4,广义胡克定律,4-2,基本方程,4.2,.1,弹性阶段本构关系,4.2,.2,平衡方程,4.2,.3,几何方程,4.2,.4,本构方程,4-3,边界条件,4.3,.1,边界问题类型,4.3,.2,位移边界问题,4.3,.3,应力边界问题,4.3,.4,混合边界问题,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,3,4-,4,按位移求解弹性力学问题,4-,5,按应力求解弹性力学问题,4-,6,平面问题和应力函数,4-,7,圣维南原理,4-,8,叠加原理,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,4-,12,位错引起的应力与弹性应变能,4,4-1,广义胡克定律,4.1,.1,问题的提出,弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用,15,个变量来,描述。即：,6,个应力分量，,3,个位移分量，,6,个应变分量,。,已学的基本方程,9,个。包括：变形体的平衡微分方程（微元,体的力平衡）,3,个，几何方程（应变位移关系）,6,个。,未知变量的个数（,15,）多于方程数（,9,）必须研究受力物体,的应力与应变之间的关系物理方程。对于弹性问题，即广义,胡克定律。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,5,4-1,广义胡克定律,4.1,.2,胡克定律,1,、单向拉伸（压缩,）：,材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹,性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：,拉伸或压缩方向：,x,=,x,与拉伸或压缩垂直的方向：,y,=,z,=-,x,式中：,弹性模量,，,泊松比,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,6,4-1,广义胡克定律,2,、平面应力状态,:,对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，,正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的,叠加原理,是适用的。,平面双向拉（压）应力 纯剪应力状态,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,9,4-1,广义胡克定律,4.1,.3,广义胡克定律,用相同的方法，可以导,出,三维应力状态下,的各,向同性均匀材料的广义,胡克定律，其形式为：,(4-4),（,各向同性均匀材料的,含义，即材料内部各处,的不同方向具有相同的,、,E,、,G,值,）,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,10,4-1,广义胡克定律,4.1,.,4,广义胡克定律的不同形式,将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有,如令,则上式可写为,或 (4-5),(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,11,4-1,广义胡克定律,4.1.,4,广义胡克定律的不同形式,引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：,(4-6),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,12,4-1,广义胡克定律,4.1,.,4,广义胡克定律的不同形式,由式(4-6)及式(4-5)，可得,即：,式中：,e,x,=,x,-,0,为应变偏量分量，为应力偏量分量。,用相同的方法，可得：,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,13,4-1,广义胡克定律,4.1,.,4,广义胡克定律的不同形式,因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：,(4-7),弹性阶段应力主轴和应变主轴重合,（注意：,应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响,）,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,14,4-1,广义胡克定律,4.1,.3,广义胡克定律的不同形式,各向同性体的胡克定律(4-4)是以,应力表示应变,，在求解某些问题,时，有时需要用,应变表示应力,关系。将式(4-4)第一式作如下改变,即得式(4-6)的第一式,利用式(4-5)将其代入式,(4-6),便可得,由上式可得,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,15,4-1,广义胡克定律,4.1,.3,广义胡克定律的不同形式,如引用,=,并注意到 则有,用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下,(4-8),称为拉梅(,Lam),弹性常数。用体积应变表示应力时则有,(4-9),如令，则式(4-9)可写成(,K,体积弹性模量),(4-9,),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,16,4-2,基本方程,4.2,.,1,平衡方程（,3,个方程）,(4-10),或,(4-10,),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,17,4-2,基本方程,4.2,.,2,几何方程（应变位移关系，,6,个方程）,(4-11),或,(4-11,),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,18,4-2,基本方程,4.2,.,2,几何方程,由应变位移关,系导出的应变,协调方程：,(4-12),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,19,4-2,基本方程,4.2,.,3,本构方程,弹性阶段本构关系为广义胡克定律,(4-13),或,(4-13,),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,20,4-2,基本方程,4.2,.,3,本构方程,如用应变表示应力，则有,(4-14),或,(4-14,),弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,21,4-3,边界条件,解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出,弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。,4.3,.1,边界问题类型,三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题,1,、,位移边界问题,物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：,其中，,u,s,和,v,s,是位移的边界值，和 在边界上是坐标的已知函数,2,、,应力边界问题,物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,22,4-3,边界条件,2,、,应力边界问题（平面问题）,由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱(它的斜面,AB,与物体的边界重合).,平面问题如图所示，用,N,代表边界面,AB,的外法线方向，并令,N,的方向余弦为,几何尺寸：设边界面,AB,的长度为,d,S,，,则有：,PA,l,d,S,，,PB,m,d,S,。,垂直于,XOY,面方向的尺寸仍取一个单位,弹性与塑性力学基础,受力平衡图,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,23,4-3,边界条件,2,、,应力边界问题（平面问题）,由,平衡条件,F,X,=0 得,除以,dS,，略去含,dS,2,的高阶微量项，得,其中,(,X,),s,和,(,yx,),s,是应力分量边界值,由,F,Y,=0，可得另一相似方程。,边界各点应力分量与面力分量关系,(4-16),(4-16),式即为平面问题应力边界条件,弹性与塑性力学基础,受力平衡图,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,24,4-3,边界条件,2,、,应力边界问题（平面问题）,考虑第三个平衡条件,M,=0，有,特例：垂直于,x,轴的边界上，,l,=,1，,m,0,，,应力边界条件简化为,垂直于,y,轴的边界上，,l,=0，,m,=,1,，,应力边界条件简化为,即：应力分量边界值等于对应面力分量,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,受力平衡图,25,4-3,边界条件,2,、,应力边界问题,注意:(1)垂直于,x,轴边界上应力边界条件中并没有,y,(2),垂直于,y,轴边界上应力边界条件中并没有,x,由此可见，,平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并,不直接相关。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,受力平衡图,26,4-,3,边界条件,3,、,混合边界问题,部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件.,混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件,弹性与塑性力学基础,混合边界问题实例：,(,a),连杆支承边,(,x,轴,),(,b),齿槽边界,(x,轴,),第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,27,4-,3,边界条件,垂直于,x,轴的边界（,l,=1,m,=0,）是连杆支承边(图,a,),x,方向：位移边界条件：,y,方向：应力边界条件：,垂直于,x,轴边界是齿槽边(图,b),x,方向：应力边界条件：,y,方向：位移边界条件：,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,28,4-,4,按位移求解弹性力学问题,弹性力学问题的求解方法,：,(a),位移法；,(b),应力法。,位移法：,取,位移分量为基本未知变量,，利用基本方程和边界条件，,求解弹性力学问题。,应力法：,取,应力分量为基本未知变量,，,利用基本方程和边界条件，,求解弹性力学问题。,位移法求解弹性力学问题的基本步骤,利用几何方程用位移表示应变,代入本构方程，得到,用位,移表示的应力分量,代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式,利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量,代入几何方程，求出应变分量,代入本构方程，求出应,力分量。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,29,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程（即用位移表示的应力分量）,用位移表示应变,的几何方程：,用应变表示应力,的本构方程：,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,30,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,代入,，得：,（,A,，,4-17,）,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,用位移表示的应力分量,31,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,将,(A),式表示的各应力分量代入平衡微分方程，,由第,1,式，得：,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,32,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,因为，,所以，上式可变为：,(B-1),(B-1),式中：,2,称为拉普拉斯算子，,为体积应变，,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,33,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有：,(B1),(B2),（,4-18,）,(B3),至此，,15,个基本方程均已被利用,1,次，得到了关于位移分量的,3,个,方程式,(B1-B3),。再利用边界条件，即可由求解出位移分量,u,v,w,。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,用位移表示的平衡微分方程，即拉梅位移方程,34,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,边界条件的应用：,1,、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由,方程,B1-B3,和直接应用边界条件，即可求解出,u,v,w,。,2,、若在物体表面给定的是,面力条件，即为应力边界条件时,，则,必须进行适当变换，即利用胡克定律,(,应变表示应力的形式,),和应力,边界条件表达式，将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系,起来。,由：,胡克定律,应力边界条件,几何方程,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,35,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,36,4-,4,按位移求解弹性力学问题,位移法求解弹性力学问题的基本过程,可得：,（,4-20,）,由上述边界条件和方程,B1-B3,，即可求解出,u,v,w,求出,6,个应,变分量 求出,6,个应力分量。,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,37,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,例：设有半空间体（如图所示），单位体积的质量为,，在水平边界面上受均布压力,q,的作用，试用位移法求位移分量和应力分量，并假设在,z=h,处,w=0,。,解：由于载荷和弹性体对,z,轴对称，并且是半空间体，可以假设,u=0,，,v=0,，,w=w(z),，因此体积应变为,38,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,将以上各式代入拉梅位移方程（即式,4-18,）得到，,K,x,=0,；,K,y,=0,；,将,K,z,=,g,代入上式，得到,积分上式，则得,(II),在边界上，,l=m=0,，,n=-1,，,S,x,=S,y,=0,，,S,z,=q,，将其代入式（,4-20,）可知，前两式为恒等式，第三式为,(I),39,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,上式化简后得到：,对式,(II),中,w,求导，当,z=0,时，其值应与上式相等，得到,由此得到,将给定条件,(w)z=h=0,，代入,(I),中得到，,将常数,A,、,B,代入式,(II),中，得到位移分量为,(III),40,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,将式,(III),代入式（,4-17,），得到应力分量为,(IV),41,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,利用广义胡克定律，得到用应力分量表示的协调条件；,将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件；,利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量；,利用广义胡克定律，求各应变分量；,代入几何方程，求位移变分量；,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,42,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,利用广义胡克定律，消去协调条件中的应变分量：,用应变分量表示的协调条件,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,43,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,用应力分量表示的协调条件,（,4-21,）,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,44,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,将,（,4-21,）中的第一式与第三式相加，利用,平衡微分方程，可得：,即：,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,45,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,用同样的方法，可得：,即有：,（,4-22,）,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,46,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,将,（,4-22,）中三式相加，,得：,（,4-23,）,再将,（,4-23,）中的 代入（,4-22,），可,得：,用同样的方法，,可,得另外两个类似的方程：,（,4-24,）,-A,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,47,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,利用平衡微分方程，将,（,4-21,）中的第四式变为如下形式,：,整理化简后，得：,用同样的方法，,可,得另外两个类似的方程。,（,4-24,）,-B,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,48,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条件变为：,（,4-24,）,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,相容方程,49,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,当体积力为零或常量时，则方程式,(4-24),可以化简为,（,4-25,）,拜尔特拉米,-,密乞尔方程,(Beltrami-Michell),50,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,根据式（,4-23,）可知，在体积力为零或常数时，,所以，应力第一不变量,是调和函数,51,4-,5,按应力求解弹性力学问题,应力法求解弹性力学问题的基本过程,弹性与塑性力学基础,利用边界条件，求解方程组,(4-24),，得出各应力量；,利用广义胡克定律，求各应变分量；,利用几何方程，求位移变分量；,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,52,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,按应力求解弹性力学问题时，除了满足上述条件外，还必须注意位移单值性问题。,单连体,：只具有一个连续边界的物体（内部无洞的物体）。或者，该物体内任意一条简单闭曲线可以收缩到一点，而不越出物体所在区域。,在满足相容方程和应力边界条件时，其应力分量就可完全确定。,多连体,：内部有洞的物体。除了满足单连体的所有方程外，,还要满足位移的单值性条件，,才可完全确定应力分量。解题时，可用一剖面将多连体变为单连体，并要求剖面两边同一点位移相同。,53,4-,6,平面问题和应力函数,平面应力问题,弹性与塑性力学基础,（,4-28,）,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,54,4-,6,平面问题和应力函数,平面应变问题,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,(4-29),根据几何方程可知，,由胡克定律可知，,因此，,55,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,（,4-30,）,4-,6,平面问题和应力函数,平面应变问题,56,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,6,平面问题和应力函数,对于平面问题，在无体积力存在时，其平衡微分方程为：,(4-31),如果假定,(4-32),则,(4-31),将自然成立，而各个应力分量可以用一函数,(x,y),来表示，这样的函数称为艾里,(Airy),应力函数。,57,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,对于,平面应力,问题，考虑到式,(4-28),，则式,(4-4),（广义胡克定律）可改写为,（,4-33,）,58,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,对于,平面应变,问题，考虑到式,(4-29),和,(4-30),，则式,(4-4),可改写为,（,4-34,）,由于,，引入记号,，则上式可写为：,（,4-35,）,59,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,对比式,(4-33),和,(4-35),可知，不论是平面应力还是平面应变问题，都具有相同形式的应力,-,应变关系，只是对于平面应变问题用,去代替,。,将式,(4-32),中的应力表达式代入式,(4-33),后，则有,(4-36),60,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,以上的应变应该满足变形协调条件中的第一式，其余,5,个条件对于平面问题已自然满足。,将式,(4-36),代入上式后，则可得到用应力函数表示的协调条件为,(4-37),上式也可写为,因此，平面问题就归结为求解满足双调和方程和给定边界条件的函数,(x,y),。,61,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,此时，边界条件可以改写为：,(4-38),如果将 代入,E,和,G,之间的表达式，则可得到,62,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,因此，今后遇到平面应变问题，只需把平面应力问题的有关公式用 代换,E,，用 代换,，即可得到平面应变问题的有关表达式。,由于,(x,y),是双调和函数，所以可根据数学上成熟的有关双调和函数的知识去解决许多平面问题。,4-,6,平面问题和应力函数,63,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,7,圣维南原理,在求解弹性力学问题时，存在的困难,应力分量、应变分量、位移分量可完全满足基本方程，但边界条件要得到完全满足很难。,在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受的面力的合力，而这个面力的分布方式并不明确，无从考虑这部分边界上的应力边界条件。,问题的提出,64,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,圣维南原理：,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但,静力等效,的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。,65,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,7,圣维南原理,圣维南原理：,如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会是得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,设有无限大平面，其中有一半径为,a,的圆孔，当孔边受到均匀应力,q,作用时，无限大平面内任意一点的应力与该点至圆心的距离的平方成反比。,66,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,P,P,当用钳子夹一根铁丝时，作用在铁丝端部的力是一对大小相等，方向相反的平衡力。这对力只在端部附近产生应力，对距离端部较远的地方只有极小的影响。,4-,7,圣维南原理,67,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,8,叠加,原理,设某一弹性体在面力和体力分别为,T,i,、,K,i,作用下的应力分量为,ij,，在同一弹性体内由另一组面力,T,i,、,K,i,所,引起的另一组应力分量为,ij,，则,ij,+,ij,就一定是由于面力,T,i,+T,i,和体力,K,i,+K,i,的共同作用所引起的应力。,以上两式相加，可得到,(4-39),由平衡微分方程,(4-10),，可知,68,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,(4-40),由于,故在边界上有,同样，协调方程也可以合并。,叠加原理：,弹性体在数个载荷共同作用下所产生的力学响应（内力、应力及位移等）等于每个载荷单独作用时产生的力学响应的总和。,叠加原理的成立条件：,小变形、线性弹性本构方程。,69,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,假设,y,仅是,y,的函数，即,于是有 ，则有,（,4-41a,）,f,1,(y),和,f,2,(y),是,y,的任意函数。,70,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,由于应力函数,必须满足双调和方程，所以将它代入该方程式后，得到,f(y),、,f,1,(y),和,f,2,(y),必须满足的条件为：,上式为,x,的二次方程，但它有无穷多个根，因此方程的系数和自由项应等于零，即,71,由前面两个方程，可得出,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,(4-41b),由第三个方程，可得,积分后，,(4-41c),72,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,将式,(4-41b),和,(4-41c),代入式,(4-41a),，得到,应力分量为,(4-41d),73,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,本问题的边界条件为,（,4-41e,）,（,4-41f,）,（,4-41g,）,74,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,由,(4-41g),第三式可知，,E=F=G=0,由式,(4-41e),、,(4-41f),有,解之，可得,75,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,将,A,B,G,的已知值代入式,(4-41d),，得,(4-41h),由边界条件,(4-41g),的前两个条件得,76,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,9,悬臂梁受均匀分布载荷作用,代入式,(4-41h),，并令 ，最后得到,（,4-41,）,77,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,根据材料力学知识可以求出，应力为：,（,4-42a,）,但应该抛弃材料力学中认为,y,=0,的假定，因为在梁的上表面，由图可知,78,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,根据式,(4-42a),选取应力函数的普遍形式,于是有,由式,(4-42b),的,第一式,积分，得到,(4-42b),(4-42c),79,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,将式,(4-42c),代入式,(4-42b),的,第二式,，则有,由此得，,这里的,E,为积分常数，代入式,(42-2c),，可得,(4-42d),可上式不满足双调和方程，为该函数添加一个任意函数,(x,y),，并以满足调和方程为目标来选择函数,(x,y),。,(4-42e),80,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,将式,(42-2e),代入双调和方程，则,(x,y),所必须满足的方程为,F+2K+H=-4B (4-42h),H=-4B-F,（,4-42f,）,这个方程的解为,（,4-42g,）,将它代入式,(4-42f),，可得,由于在函数,(42-2e),中已有了,x,2,y,3,项，所以,(4-42h),可以写成,81,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,由上面的式子可得到，,对应的应力分量为,(4-42i),82,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,利用边界条件确定参数，先考察上下两面的条件为,(4-42j),将它应用到式,(4-42i),上，有,(4-42k),83,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,要使式,(4-42k),的前两式恒等成立，必须满足,这样式,(4-42k),可以化简为,解之得，,84,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,代入式,(4-42i),，得到,(4-42l),考察两端的边界条件,第一个条件无法满足,-,利用局部性原理解决之,第二个条件可以满足,85,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,(4-42n),将上式代入式,(4-42l),，整理得到,(4-42),应力分量沿任一横截面的变化情况,86,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,10,简支梁受均匀分布载荷作用,xy,与材料力学结果相同。,y,表示纵向纤维间的挤压力，在材料力学中假设为零。,x,中的第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学提出的修正项。（对于短而高的梁必须注意修正项。）,梁的中间截面处，梁顶与梁底的弯曲应力为：,当梁的长高比,L/h=4,时，修正项占主要项的,1.7%,；当梁的长高比,L/h=2,时，修正项占主要项的,6.7%,。,87,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,(4-43a),上式表示，在半径为,b,的圆周上，应力由,两部分,组成：一部分是沿着整个外圆周作用的不变的,正应力,S/2,，另一部分是随,变化的,法向力,0.5Scos2,和切向力,-0.5Ssin2,。,88,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,第一部分应力可按受均匀分布压力作用的圆筒的情况计算。,(4-43b),第二部分应力，将 代入极坐标形式的双调和方程，得到,f(r),所满足的方程,(4-43d),89,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,于是应力函数为：,由此得应力分量为：,(4-43e),利用边界条件确定任意常数,A,，,B,，,C,，,D,。,90,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,本问题的边界条件为,将边界条件,(4.43f),应用于式,(4.43e),，可得,(4.43f),91,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,代入式,(4-43e),，并与式,(4-43b),相加，得到本问题的解为：,(4-43),92,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,当,r=a,时，有,最大环向力发生在小圆孔的边界上,=,/2,和,=,3,/2,处，其值为：,应力集中因子：,当,Ox,方向单向均匀受拉时，,K,t,=3,，当,Ox,方向和,Oy,方向同时均匀受拉，则集中因子,K,t,=2,。,93,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,94,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,95,弹性与塑性力学基础,第四章,广义胡克定律和弹性力学解题,的基本方程与方法,4-,11,具有小圆孔的平板的均匀拉伸,