《现代控制理论》.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 控制系统稳定性分析,一概述,二线性动态系统外部稳定性,三动态系统内部稳定性,四李亚普诺夫稳定性判别定理,五线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法,六非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法,1/33,一概述,1.,稳定性是系统性能研究首要问题,2.,古典控制理论对稳定性描述存在一定不足,(1),局限于研究线性系统；,(2),局限于对系统外部稳定性描述,。,3.,古,典控制理论稳定性判别是,Routh,和,Nyquist,判据,4.,当代控制理论采取稳定判别是李亚普诺夫稳定判据,(1),稳定判据可用于线性或非线性系统；,(2),能够研究系统外部稳定性也能够研究系统内部稳定性；,(3)能够,反应系统稳定本质特征。,返回,2/33,1.,线性系统外部稳定定义,零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生对应输出也是有界，称该系统是外部稳定，简称BIBO稳定。,2.,状态空间表示式所描述系统外部稳定性,系统外部稳定充分必要条件是输入与输出之间传递函数矩阵中全部元素极点全部位于,S,平面左半部。,返回,二线性控制系统外部稳定性（输出稳定）,3/33,三动态系统内部稳定性,（研究系统状态稳定性李亚普诺夫稳定性）,1,.基本概念,2,.李亚普诺夫稳定性定义,3,.稳定范围,4,.内部稳定与外部稳定关系,返回,4/33,1,.基本概念,(1),平衡状态定义,设不受外力系统状态方程为 ，,x（t）,，,f（x，t）,是 n 维,状态向量函数。若系统存在一个状态 x,e,对任意时间 t 都有,则称状态x,e,是系统一个平衡点。平衡点物理意义能够解释为全部状态变,化速度为零，即是静止状态故称平衡点。,(2),平衡状态计算,平衡状态即为代数方程组 解。,线性定常系统平衡状态：当A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯一且在原点。,非线性系统平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。,5/33,(,3,),状态向量,x,范数,在,n,维状态空间，向量,x,长度称为向量,x,范数，表示为：,。,状态向量x到平衡点x,e,范数：,当范数 限制在某一范围之内时，能够表示为 。,且含有,明确几何意义。用此概念来分析系统稳定性。,返回,6/33,2,.李亚普诺夫稳定性定义,用状态向量到平衡点范数来表示系统在n维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点之间距离改变，存在以下三种情况：,(1),渐近稳定,(2),李亚普诺夫意义下稳定,(3),不稳定,返回,7/33,对于系统,若任意给定实数 ，都存在另一实数,，,使得当 时,从任意初始状态 出发解,满足,且对于任意小量 ，总有 ，,则称系统在平衡状态,x,e,是渐近稳定。,几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点距离能够无限靠近，直至抵达平衡点后停顿运动。,返回,(1),渐近稳定,8/33,对于系统 ，若任意给定实数 ，都存在另一实数 ,使得当 时，从任意初始状态 出发解 满足 ,则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定。,几何意义：,初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点距离能够维持在一个确定数值内，而抵达不了平衡点。即二维空间运动轨迹在直径为有限值圆内，三维空间运动轨迹在直径为有限值球面内。,返回,(2),李亚普诺夫意义下稳定,9/33,(3),不稳定,假如对于某个实数 和任一实数,，,当 时，总存在一个初始状态x,0,使得 ，则称平衡状态不稳定。,几何意义：,初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点距离越来越远。,返回,10/33,3,.稳定范围,（1）,渐近稳定：,当系统初始状态在平衡点附近有限区域内时，系统稳定。,（2）大范围渐近稳定：,系统状态在整个状态空间时系统状态都稳定。即稳定性与初始条件无关。线性系统渐近稳定即大范围渐近稳定。,返回,11/33,4,.内部稳定与外部稳定关系,(1),内部稳定系统外部一定稳定；,(2),外部稳定系统不能确保内部稳定；,(3)完全,能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；,返回,12/33,四李亚普诺夫稳定性判别定理,1、,二次型函数引出及普通概念,（1-3）,2、,李亚普诺夫第二方法分析系统稳定性,3、,李亚普诺夫第二方法应用举例,返回,13/33,1,.二次型函数普通概念,(1),定义：,代数式中一个多项式函数，每一项次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。,(2),二次型函数表示形式,（以三阶系统为例）,代数式：,矩阵形式：,标准二次型：,14/33,(3),二次型函数符号性质,返回,正定：,当 时，即系数矩阵 P 各阶主子行列式均大于零，即 则函数 正定。,半正定：,当 时，即系数矩阵 P 各阶主子行列式均大于或等于零，即 ，则函数 半正定。,负定：,当 时，即系数矩阵 P 各阶主子行列式均满足以下条件，即 ，则函数 负定。,半负定：,当 时，即系数矩阵 P 各阶主子行列式均满足以下条件，即 ，则函数 半负定。,不定：,不满足上述任何一个条件二次型函数，即可正也可负。,15/33,2,.李亚普诺夫第二方法,（研究平衡点在原点稳定性）,李亚普诺夫函数（能量函数）：,系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下运动过程中，,若能量伴随时间推移在逐步减小以至最终消失，则这种系统一,定是稳定。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减,也不增，则为李亚普诺夫意义下稳定。,任选一个正定能量函数v（x），即满足：,条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统运动方程（状态方,程）来考查能量函数v（x）在运动过程中改变规律，从而取得系,统稳定性判据。,16/33,(2),李亚普诺夫稳定性判别定理,取标量（能量）函数,v,（,x,），满足正定；,连续一阶偏导数,存在；,则有以下结论存在：,李亚普诺夫意义下稳定：,半负定，且在 时，有 存在。,渐近稳定：,负定；或 半负定，且在 时，不衡为零。,大范围渐近稳定：,系统渐近稳定同时，满足当 时，有,，,则此系统为大范围渐近稳定。,不稳定：,正定,。,系统稳定性无法确定：,不存在上述规律。,注意：能量函数非唯一性。,返回,17/33,3,.应用举例,例1：已知线性系统状态矩阵，判断系统稳定性。,解,(1),：,线性系统因状态矩阵逆存在，所以系统只存在一个在原点处平衡点；,取能量函数 ，满足条件；,计算该系统能量改变量：,显然，能量改变量函数 正定。结论：此系统不稳定。,18/33,解,(2),：,线性系统因状态矩阵逆存在，所以只存在一个在原点处平衡点；,取能量函数,，满足条件；,计算该系统能量改变量：,显然，能量改变量函数,半负定。,需要深入确定在非平衡点处是否衡等于零：,令,代入状态方程得,所以当 时，必有,不衡为零。,结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。,重新选择能量函数 ，得 负定，结论相同。,19/33,例2：已知非线性系统状态方程，判断系统在平衡点处稳定性,。,解：,求平衡点：；,取能量函数 ，满足条件；,，,结论：系统在平衡点处稳定，当 时，有 ，则此系统为大范围渐近稳定。,返回,20/33,五线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法,1,.李亚普诺夫第一方法（间接法）,(1),定理：,线性系统大范围渐近稳定充分必要条件是状态矩阵A全部特征值都含有负实部。,(2),判别方法：,求特征方程 特征值。,2,.李亚普诺夫第二方法（直接法）,(1),理论依据：,已知系统状态空间表示式为,，,设标量函数 ，且,正定，得 ，把状态方程代入得,显然，系统稳定充分必要条件是 负定，即Q，P都为正定实对称矩阵。,21/33,定义 为李亚普诺夫方程。,（2,）判别方法（充分条件）：,取矩阵Q=I，则 负定，由李亚普诺夫方程,反 推,P,正定，则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。,为计算简便，可选 半负定，即,Q,半正定，由李亚普诺夫方程,反推P正定，然后再确定在 时，有,不衡 等于零存在。则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。,其中：,P167例4-8,例,3,P167例4-9,例,4,3.线性时变系统稳定性,（自学）,4,.线性定常离散系统稳定性,（自学）,返回,22/33,六非线性系统李亚普诺夫稳定性分析,1,.李亚普诺夫第一方法（线性化法）,已知系统状态空间表示式为 ，,定义 雅克比矩阵。,则有（,1,）若,A,特征值都含有负实部，系统在平衡点处渐近稳定；,（,2,）若,A,特征值最少有一个有正实部，系统在平衡点处不稳定；,（,3,）若A特征值有纯虚根，其它根都是负实部，则系统在平衡点稳定性不能确定。,例5：P183举例。,23/33,2.,李亚普诺夫第二方法,（,克拉索夫斯基法）,理论依据：,已知系统状态空间表示式为 ，设标量函数,，选择系数矩阵P使 正定，,则,设 ，,显然，系统在平衡点原点稳定充分条件是Q（x）正定。,定义：,为雅可比喻程。,24/33,判别方法：,依据状态方程，求雅可比矩阵 ；,选择一个正定系数阵P，普通取为单位阵，则,经过雅可比喻程计算Q（x），若正定，则系统在原点渐近稳定；,系统能量函数为 ，,确定系统是否大范围渐近稳定:,说明：判据所产生条件是充分，不是必要。,P185例4-14,例,6,：,P185例4-15,例,7,：,返回,25/33,例3系统状态方程为：，其平衡状态在原点，试判断其稳定性。,解：因为,取 ，则对于实对称矩阵P由矩阵由下式确定：,即,可解出,而由 可知P正定。,26/33,可知,所以系统在原点处是渐近稳定，因为是线性定常系统，所以又是大范围渐近稳定,。,返回,27/33,解：系统状态方程为：,研究系统稳定性时可令u=0。,而对于线性系统来说，,A阵非奇异则平衡状态为原点。,为计算简单，取半正定实对称矩阵,则,若取 则,所以 只是在原点处才恒等于零，故Q能够取半正定。,P阵由式 确定。,例4已知系统结构图，求K稳定范围。,28/33,则使P成为正定矩阵充要条件为：,由经典控制理论可知，系统闭环传递函数为：,则系统稳定充要条件为：,返回,29/33,例,6,:系统状态方程为：，试用克拉索夫斯基法确,定系统在平衡状态 稳定性。,解：因为,又因为 ，取P=I。,则,30/33,所以Q为正定，则 为负定。,系统在平衡状态 是渐近稳定。,而当,所以系统在平衡状态 是大范围渐近稳定,返回,31/33,例,7,:系统状态方程为：，试用克拉索夫斯基法确,定系统在平衡状态 稳定性。,解：因为,又因为 ，取P=I。,则,32/33,返回,所以Q不是正定，则 也不是负定。,系统在平衡状态 稳定性不能确定。,所以说定理为充分条件而不是必要条件。,P186几点说明：,33/33,