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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.4.3 二 次 曲 面,6.4,6.4.1 曲 面 方 程,6.4.2 空 间 曲 线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面与曲线,第,6,章,第1页,6.4.1 曲面方程,求到两定点,化简得：,即,说明,:,动点轨迹为线段,AB,垂直平分面.,引例:,显然在此平面上点坐标都满足此方程,不在此平面上点坐标不满足此方程.,解:,设轨迹上动点为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,和,等距离点轨迹方程,.,则,第2页,定义,:,称为空间曲面。,(,),其中：,曲面,S,叫做方程,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点几何轨迹时,(),求其曲面方程；,(2)已知方程时,研究它所表示几何形状。,(必要时需作图),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然，空间曲面与其方程有下述关系：,集合,叫做,曲面,S,方程,；,图形,。,即等价于：,第3页,故所求曲面方程为：,1.球 面,方程,尤其,当,M,0,在原点时，球面方程为：,为一定点，,即,依题意,表示上(下)球面。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一动点到一定点距离等于定长几何图形称为球面。,设,为球面上任一动点，,第4页,例,2.,研究方程,解:,配方得,此方程表示:,说明:,以下形式三元二次方程,(,A,0),都可经过配方研究它图形。,其图形可能是：,所表示,曲面。,半径为,球面.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,2,.柱 面,引例,.,分析方程,表示怎样曲面,？,坐标也满足方程：,解:,在,xoy,面上,，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴一切直线所形成曲面,称为,圆柱面，,故在三维空间里，方程,过此点作,对任意,z,，点,平行,z,轴直线,l,所表示曲面为,圆柱面,。,在圆,C,上任取一点,其上全部点坐标都满足此方程，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,定义：,直线,l,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴，,准线为,xoy,面上抛物线；,z,轴，准线位于,xoy,坐标面,椭圆柱面,；,z,轴，准线位于,xoy,坐标面,平面,。,表示母线平行于,(且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,其中，,C,叫做该柱面,准线,，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,沿定曲线,C,平行 移动所形成轨迹,叫做,柱面,。,l,叫做该柱面,母线,。,第7页,普通地，,也表示一个,柱面,也表示一个,柱面,平行于,x,轴;,平行于,y,轴。,母线平行于,z,轴;,准线为,zox,面上曲线,母线：,表示一,柱面,准线为,xoy,面上曲线,方程：,准线为,yoz,面上曲线,母线：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在三维空间中，,两个变量方程所表示空间图形,为,柱面,，,其中：,母线平行,准线位于,此,两变量,所决定,坐标面内,，,于另一个（,缺省,）,变量,坐标轴,。,例 如：,方程：,方程：,第8页,定义,2,.,平面内一曲线,3.旋转曲面,（一周）所形成空间几何图形（曲面）叫做,旋转曲面,.,其中，该定直线,l,称为,旋转,轴,；,曲线,C,称为,母线,。,比如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,C,旋转,绕该平面内一,定直线,l,第9页,建立,yoz,面上曲线,故所求旋转曲面方程为：,当曲线,C,则,设,yoz,面上曲线,所以，有,设,该点,M,必位于,曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕,轴旋转一周所形成曲面,方程。,方程为：,绕,轴旋转一周所在圆周上，,绕,z,轴旋转时,C,上一点,第10页,思索：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕,轴旋转时，,其图形方程又怎样？,当,yoz,平面曲线,第11页,例 3.,曲面（,圆锥面,）方程,。,解,:,绕,z,轴旋转时，圆锥面方程为：,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试建立顶点在原点，,旋转轴为,轴，,半顶角为,在,yoz,面上直线,L,方程为：,令,第12页,例,4.,分别绕,x,轴和,z,轴,旋转一周所生成旋转曲面方程,。,解:,绕,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,。,绕,x,轴旋转所成曲面方程为：,旋转所形成曲面方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求坐标面,xoz,上双曲线,第13页,6.4.2,空间曲线,空间曲线可视为两曲面交线,其普通式方程为方程组：,比如,方程组,表示圆柱面与平面交线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,.,空间曲线普通式,第14页,又如,表示半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程组,与,交线,半径为,上半球面,圆柱面,第15页,2.空间曲线参数方程与矢量式方程,将曲线,上动点坐标,x,y,z,表示成参数,t,函数,:,称它为空间曲线,参数方程,；,比如,圆柱螺旋线,参数方程为：,上升高度,称为,螺距,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称它为空间曲线,矢量式方程,。,第16页,例1.,将以下曲线化为参数方程表示:,解:,(1),依据第一方程引入参数,t,(2)将第二方程变形为,故所求为:,得所求为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,例 2.,求空间曲线,:,绕,z,轴旋转一周时所得旋转曲面方程。,解:,点,M,0,绕 z 轴旋转,转过角度,后到点为,因为点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这就是旋转曲面满足参数方程。,故有,所在圆半径,第18页,比如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为:,消去,t,和,得,旋转曲面（直角坐标下）方程为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,第19页,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为:,又如,zox,面上半圆周,说明:,普通曲面参数方程含两个参数,形如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,3.投影曲线,设空间曲线,普通方程为：,消去,z,得投影柱面,则,在,xoy,面上投影曲线,C,为：,消去,x,得,在,yoz,面上投影曲线方程：,消去,y,得,在,zox,面上投影曲线方程：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,比如,求曲线,在,xoy,面上投影曲线方程？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先求其投影柱面方程,解：,其投影曲线方程为：,（消去变量,z,得）,第22页,又如,所围立体在,xoy,面上投影区域为:,上半球面,和锥面,在,xoy,面上,投影曲线:,二者交线,所围圆域,:,二者交线在,xoy,面上投影曲线所围之域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,6.4.3 二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们标准方程,下面仅就几个常见,标准型特点进行介绍.,研究二次曲面特征基本方法:,截痕（面）法,其基本类型有:,椭球面,、,抛物面,、,双曲面,、,锥面,图形通常为,二次曲面,.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,1,.,椭球面,(1),范围：,(2)分别,与坐标面,xoy,yoz,zox,交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中：,a,b,c,均大于0称为椭球半轴。,-a,a,c,-c,b,-b,第25页,与,交线为椭圆：,(4)当,a,b,时为,旋转椭球面,;,一样,截痕,及,也为椭圆.,当,a,b,c,时为,球面.,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),截痕：,第26页,2.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为：,(实轴平行于,x,轴；,虚轴平行于,z,轴）,平面,上截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线,:,(,a,b,c,均大于0),第27页,虚轴平行于,x,轴）,时,截痕为：,时,截痕为：,(实轴平行于,z,轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线,:,双曲线,:,第28页,(2),双叶双曲面,：,双曲线,：,椭圆,注意：,单叶双曲面与双叶双曲面区分:,：,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,(其中,a,b,c,均大于0),第29页,3.抛物面,(1),椭圆抛物面,(2),双曲抛物面（鞍形面或马鞍面）,尤其,当,a=b,时为绕,z,轴旋转抛物面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,a,b,均为正数）,（,a,b,均为正数）,第30页,4.,椭圆锥面,为,椭圆,在平面,x,0 或,y,0 上截痕为过原点两直线.,普通地，给定平面,上曲线,C,及,外一点,V,，全部过点,V,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与,C,相交直线组成曲面称为以,V,为顶点，以,C,为准线,锥面,；,称每条过点,V,与,C,相交直线为该锥面,母线,。,第31页,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面:,旋转曲面:,如,曲线,绕,z,轴旋转曲面:,柱面:,如,曲面,表示母线平行,z,轴柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.普通式：,.参数式：,第32页,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面:,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第33页,3.空间曲线,.,空间曲线普通式：,.,空间曲线参数式：,.,空间曲线矢（向）量式：,4.投影曲线,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第34页,斜率为1直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴直线,平行于,yoz,面平面,圆心在(0,0),半径为 3 圆,以 z 轴为中心轴,圆柱面,平行于 z 轴平面,思索与练习,1.,指出以下方程图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,例8.,直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋转,转曲面方程.,提醒:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,2.,P318,题,3,10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题10 答案:,在,xoy,面上,第37页,作业,P318 2;4;7;8,(1),(5),;11,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,第38页,
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