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第十二讲 方程与函数
方程思想是指在处理问题时，通过等量关系将已知与未知联络起来，建立方程或方程组，然后运用方程知识使问题得以处理措施；函数描述了自然界中量与量之间依存关系，函数思想实质是剔除问题非本质特性，用联络和变化观点研究问题．转化为函数关系去处理．
方程与函数联络亲密，咱们可以用方程思想处理函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中待定系数、函数图象与坐标轴交点、函数图象交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组解个数、解分布状况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷解答．
【例题求解】
【例1】 若有关方程有解，则实数m取值范围 ．
思绪点拨 可以运用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m取值范围．
【例2】设有关方程有两个不相等实数根， ，且<1<，那么取值范围是( )
A． B． C． D．
思绪点拨 因根体现式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来处理，即求对应二次函数与轴交点满足<1<值，注意鉴别式隐含制约．
【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(，0)，B(，0)( ≠)．
(1)求取值范围，并证明A、B两点都在原点O左侧；
(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求值．
思绪点拨 、是方程两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以处理，运用鉴别式，根与系数关系是解题切入点．
【例4】 抛物线与轴正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A右边，△ABC面积是△OAC面积3倍．
(1)求这条抛物线解析式；
(2)判断△OBC与△OCA与否相似，并阐明理由．
思绪点拨 综合运用鉴别式、根与系数关系等知识，可鉴定对应方程根符号特性、两实根关系，这是解本例关键．对于(1)，建立有关m等式，求出m值；对于(2)依m值分类讨论．
【例5】 已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与轴交点为A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<．
思绪点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．
注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根个数、根符号特性、根关系来探讨，需综合运用鉴别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂二次方程实根分布问题，常转化为用函数观点来讨论，基本环节是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大体位置约束条件建立不等式组．
(3) 一种有关二次函数图象命题：已知二次函数（）图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C．
①△ABC是直角三角形充要条件是：△=．
②△ABC是等边三角形充要条件是：△=
学历训练
1．已知有关函数图象与轴有交点，则m取值范围是 ．
2．已知抛物线与轴交于A (，0)，B(，0)两点，且，则 ．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点横坐标为x1、x2(x1<x2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l；②当x>x2，时，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等实数根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有对旳结论是 (只需填写序号) ．
4．设函数图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB长比为1：4，则＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11
5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c关系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一种负根并且没有正根，那么取值范围是( )
A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上两点，点A在点B左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）图象通过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c符号之间有何关系？
（2）假如线段OC长度是线段OA、OB长度比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）条件下，假如b=－4，AB=4，求a、c值．
8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 <)，且．
(1)求此抛物线解析式及顶点E坐标；
(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上点，若△MBO面积为△DOC面积倍，求点M坐标．
9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.
（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴下方与否存在着抛物线上点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点横坐标范围；若不存在，请阐明理由.
10．设是整数，且方程两根都不不不小于而不不小于，则= .
11．函数图象与函数图象交点个数是 ．
12．已知、为抛物线与轴交点横坐标，，则值为 ．
13．与否存在这样实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?假如有，试确定取值范围；假如没有，试述理由．
14．设抛物线图象与轴只有一种交点．
(1)求值；
(2)求值．
15．已知觉得自变量二次函数，该二次函数图象与轴两个交点横坐标差平方等于有关方程一整数根，求值．
16．已知二次函数图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC面积．
17．设是实数，二次函数图象与轴有两个不一样交点A（，0）、B（，0）．
(1)求证：；
(2)若A、B两点之间距离不超过，求P最大值．
(
参照答案
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