高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离市赛课公开课一.pptx

,8.8,立体几何中向量方法,(,二,),求空间角和距离,1/109,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/109,基础知识自主学习,3/109,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,方向向量，则,1.,两条异面直线所成角求法,知识梳理,l1与l2所成角,a与b夹角,范围,(0,，,0,，,求法,cos,cos,4/109,设直线,l,方向向量为,a,，平面,法向量为,n,，直线,l,与平面,所成角为,，,a,与,n,夹角为,，则,sin,|cos,|,.,2.,直线与平面所成角求法,3.,求二面角大小,(1),如图,，,AB,，,CD,分别是二面角,l,两个面内与棱,l,垂直直线，则二面角大小,.,5/109,(2),如图,，,n,1,，,n,2,分别是二面角,l,两个半平面,，,法向量，则二面角大小,满足,|cos,|,，二面角平面角大小是向量,n,1,与,n,2,夹角,(,或其补角,).,|cos,n,1,，,n,2,|,6/109,利用空间向量求距离,(,供选取,),(1),两点间距离,设点,A,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，点,B,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),，则,|,AB,|,.,(2),点到平面距离,如图所表示，已知,AB,为平面,一条斜线段，,n,为平面,法向量，则,B,到平面,距离为,.,知识拓展,7/109,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),两直线方向向量所成角就是两条直线所成角,.(,),(2),直线方向向量和平面法向量所成角就是直线与平面所成角,.(,),(3),两个平面法向量所成角是这两个平面所成角,.(,),思索辨析,8/109,(5),若二面角,a,两个半平面,，,法向量,n,1,，,n,2,所成角为,，则二面角,a,大小是,.(,),9/109,1.(,烟台,质检,),已知两平面法向量分别为,m,(0,1,0),，,n,(0,1,1),，则两平面所成二面角为,A.45 B.135,C.45,或,135 D.90,考点自测,答案,解析,即,m,，,n,45.,两平面所成二面角为,45,或,180,45,135.,10/109,2.,已知向量,m,，,n,分别是直线,l,和平面,方向向量和法向量，若,cos,m,，,n,，则,l,与,所成角为,A.30 B.60 C.120 D.150,答案,解析,0,90,，,30.,故选,A.,11/109,3.(,郑州模拟,),如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，,CA,CC,1,2,CB,，则直线,BC,1,与直线,AB,1,所成角余弦值为,答案,解析,设,CA,2,，则,C,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(0,0,1),，,C,1,(0,2,0),，,B,1,(0,2,1),，可得向量,(,2,2,1),，,(0,2,，,1),，由向量夹角公式得,cos,，故选,A.,12/109,4.(,教材改编,),如图，,正三棱柱,(,底面是正三角形直棱柱,),ABC,A,1,B,1,C,1,底面边长为,2,，侧棱长为,2,，则,AC,1,与侧面,ABB,1,A,1,所成角为,_.,答案,解析,13/109,C,1,AD,为,AC,1,与平面,ABB,1,A,1,所成角，,14/109,5.,P,是二面角,AB,棱上一点，分别在平面,、,上引射线,PM,、,PN,，假如,BPM,BPN,45,，,MPN,60,，那么二面角,AB,大小为,_.,答案,解析,90,15/109,不妨设,PM,a,，,PN,b,，如图，,作,ME,AB,于,E,，,NF,AB,于,F,，,EPM,FPN,45,，,二面角,AB,大小为,90.,16/109,题型分类深度剖析,17/109,题型一求异面直线所成角,例,1,(,课标全国,),如图，四边形,ABCD,为菱形，,ABC,120,，,E,，,F,是平面,ABCD,同一侧两点，,BE,平面,ABCD,，,DF,平面,ABCD,，,BE,2,DF,，,AE,EC,.,(1),证实：平面,AEC,平面,AFC,；,证实,18/109,如图所表示，连接,BD,，设,BD,AC,G,，连接,EG,，,FG,，,EF,.,在菱形,ABCD,中，不妨设,GB,1.,由,ABC,120,，可得,AG,GC,.,由,BE,平面,ABCD,，,AB,BC,2,，可知,AE,EC,.,又,AE,EC,，所以,EG,，且,EG,AC,.,19/109,在直角梯形,BDFE,中，由,BD,2,，,BE,，,DF,，可得,EF,，从而,EG,2,FG,2,EF,2,，所以,EG,FG,.,又,AC,FG,G,，可得,EG,平面,AFC,.,因为,EG,平面,AEC,，所以平面,AEC,平面,AFC,.,20/109,(2),求直线,AE,与直线,CF,所成角余弦值,.,解答,所以直线,AE,与直线,CF,所成角余弦值为,.,21/109,思维升华,用向量法求异面直线所成角普通步骤,(1),选择三条两两垂直直线建立空间直角坐标系；,(2),确定异面直线上两个点坐标，从而确定异面直线方向向量；,(3),利用向量夹角公式求出向量夹角余弦值；,(4),两异面直线所成角余弦值等于两向量夹角余弦值绝对值,.,22/109,跟踪训练,1,如图所表示正方体,ABCD,A,B,C,D,，已知点,H,在,A,B,C,D,对角线,B,D,上，,HDA,60.,求,DH,与,CC,所成角大小,.,解答,23/109,如图所表示，以,D,为原点，,DA,为单位长度，建立空间直角坐标系,Dxyz,，,24/109,即,DH,与,CC,所成角为,45.,25/109,题型二求直线与平面所成角,例,2,(,全国丙卷,),如图，四棱锥,P-ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,中点,.,(1),证实,MN,平面,PAB,；,证实,26/109,取,BP,中点,T,，连接,AT,，,TN,，由,N,为,PC,中点知,TN,BC,，,TN,BC,2.,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，四边形,AMNT,为平行四边形，于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，所以,MN,平面,PAB,.,27/109,(2),求直线,AN,与平面,PMN,所成角正弦值,.,解答,28/109,取,BC,中点,E,，连接,AE,.,由,AB,AC,得,AE,BC,，,以,A,为坐标原点，,方向为,x,轴正方向，建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,.,由题意知，,P,(0,0,4),，,M,(0,2,0),，,29/109,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PMN,法向量，则,30/109,思维升华,利用向量法求线面角方法,(1),分别求出斜线和它在平面内射影直线方向向量，转化为求两个方向向量夹角,(,或其补角,),；,(2),经过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角，取其余角就是斜线和平面所成角,.,31/109,跟踪训练,2,在平面四边形,ABCD,中，,AB,BD,CD,1,，,AB,BD,，,CD,BD,.,将,ABD,沿,BD,折起，使得平面,ABD,平面,BCD,，如图所表示,.,(1),求证：,AB,CD,；,证实,平面,ABD,平面,BCD,，平面,ABD,平面,BCD,BD,，,AB,平面,ABD,，,AB,BD,，,AB,平面,BCD,.,又,CD,平面,BCD,，,AB,CD,.,32/109,(2),若,M,为,AD,中点，求直线,AD,与平面,MBC,所成角正弦值,.,解答,33/109,过点,B,在平面,BCD,内作,BE,BD,，如图,.,由,(1),知,AB,平面,BCD,，,BE,平面,BCD,，,BD,平面,BCD,.,AB,BE,，,AB,BD,.,以,B,为坐标原点，,分别以,方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴正方向建立空间直角坐标系,.,依题意，得,B,(0,0,0),，,C,(1,1,0),，,D,(0,1,0),，,A,(0,0,1),，,M,(0,，,),，,设平面,MBC,法向量,n,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,34/109,取,z,0,1,，得平面,MBC,一个法向量,n,(1,，,1,1).,设直线,AD,与平面,MBC,所成角为,，,35/109,题型三求二面角,例,3,(,山东,),在如图所表示圆台中，,AC,是下底面圆,O,直径，,EF,是上底面圆,O,直径，,FB,是圆台一条母线,.,(1),已知,G,，,H,分别为,EC,，,FB,中点，求证：,GH,平面,ABC,；,证实,36/109,设,FC,中点为,I,，连接,GI,，,HI,，,在,CEF,中，因为点,G,是,CE,中点，所以,GI,EF,.,又,EF,OB,，所以,GI,OB,.,在,CFB,中，因为,H,是,FB,中点，所以,HI,BC,，又,HI,GI,I,，,所以平面,GHI,平面,ABC,.,因为,GH,平面,GHI,，所以,GH,平面,ABC,.,37/109,解答,38/109,连接,OO,，则,OO,平面,ABC,.,又,AB,BC,，,且,AC,是圆,O,直径，所以,BO,AC,.,以,O,为坐标原点，,建立如图所表示空间直角坐标系,Oxyz,.,39/109,设,m,(,x,，,y,，,z,),是平面,BCF,一个法向量,.,因为平面,ABC,一个法向量,n,(0,0,1),，,40/109,思维升华,利用向量法计算二面角大小惯用方法,(1),找法向量法：分别求出二面角两个半平面所在平面法向量，然后经过两个平面法向量夹角得到二面角大小，但要注意结合实际图形判断所求角大小,.,(2),找与棱垂直方向向量法：分别在二面角两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角大小,.,41/109,跟踪训练,3,(,天津,),如图，正方形,ABCD,中心为,O,，四边形,OBEF,为矩形，平面,OBEF,平面,ABCD,，点,G,为,AB,中点，,AB,BE,2.,(1),求证：,EG,平面,ADF,；,证实,42/109,依题意，,OF,平面,ABCD,，,如图，以,O,为原点，分别以,方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得,O,(0,0,0),，,A,(,1,1,0),，,B,(,1,，,1,0),，,C,(1,，,1,0),，,D,(1,1,0),，,E,(,1,，,1,2),，,F,(0,0,2),，,G,(,1,0,0).,设,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),为平面,ADF,法向量，,43/109,44/109,(2),求二面角,O,EF,C,正弦值；,解答,45/109,易证,(,1,1,0),为平面,OEF,一个法向量，,依题意，,(1,1,0),，,(,1,1,2).,设,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),为平面,CEF,法向量，,46/109,不妨取,x,2,1,，可得,n,2,(1,，,1,1).,47/109,解答,48/109,49/109,题型四求空间距离,(,供选取,),例,4,如图，,BCD,与,MCD,都是边长为,2,正三角形，平面,MCD,平面,BCD,，,AB,平面,BCD,，,AB,2,，求点,A,到平面,MBC,距离,.,解答,50/109,如图，取,CD,中点,O,，连接,OB,，,OM,，因为,BCD,与,MCD,均为正三角形，所以,OB,CD,，,OM,CD,，又平面,MCD,平面,BCD,，所以,MO,平面,BCD,.,以,O,为坐标原点，直线,OC,，,BO,，,OM,分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,.,因为,BCD,与,MCD,都是边长为,2,正三角形，,51/109,设平面,MBC,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,52/109,思维升华,求点面距普通有以下三种方法：,(1),作点到面垂线，点到垂足距离即为点到平面距离；,(2),等体积法；,(3),向量法,.,其中向量法在易建立空间直角坐标系规则图形中较简便,.,53/109,跟踪训练,4,(,四川成都外国语学校月考,),如图所表示，在四棱锥,P,ABCD,中，侧面,PAD,底面,ABCD,，侧棱,PA,PD,，,PA,PD,，底面,ABCD,为直角梯形，其中,BC,AD,，,AB,AD,，,AB,BC,1,，,O,为,AD,中点,.,(1),求直线,PB,与平面,POC,所成角余弦值；,解答,54/109,在,PAD,中，,PA,PD,，,O,为,AD,中点，,PO,AD,.,又,侧面,PAD,底面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,PAD,，,PO,平面,ABCD,.,在,PAD,中，,PA,PD,，,PA,PD,，,AD,2.,在直角梯形,ABCD,中，,O,为,AD,中点，,AB,AD,，,OC,AD,.,以,O,为坐标原点，,OC,为,x,轴，,OD,为,y,轴，,OP,为,z,轴建立空间直角坐标系，如图所表示，,55/109,则,P,(0,0,1),，,A,(0,，,1,0),，,B,(1,，,1,0),，,C,(1,0,0),，,D,(0,1,0),，,(1,，,1,，,1).,易证,OA,平面,POC,，,(0,，,1,0),为平面,POC,法向量，,56/109,(2),求,B,点到平面,PCD,距离；,解答,57/109,(1,，,1,，,1),，,设平面,PCD,法向量为,u,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，得,u,(1,1,1).,58/109,解答,59/109,Q,(0,，,，,1,).,设平面,CAQ,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，得,m,(1,，,1,，,1).,平面,CAD,一个法向量为,n,(0,0,1),，,60/109,整理化简，得,3,2,10,3,0.,61/109,典例,(12,分,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,AB,，,AB,DC,，,AD,DC,AP,2,，,AB,1,，点,E,为棱,PC,中点,.,(1),证实：,BE,DC,；,(2),求直线,BE,与平面,PBD,所成角正弦值；,(3),若,F,为棱,PC,上一点，满足,BF,AC,，求二面角,F,AB,P,余弦值,.,利用空间向量求解空间角,答题模板系列,6,规范解答,答题模板,62/109,(1),证实,依题意，以点,A,为原点建立空间直角坐标系如图，可得,B,(1,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,0,2).,1,分,由,E,为棱,PC,中点，得,E,(1,1,1).,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PBD,一个法向量，,63/109,可得,n,(2,1,1).,64/109,所以，,2(1,2,),2(2,2,),0,，解得,，,设,n,1,(,x,，,y,，,z,),为平面,FAB,一个法向量，,65/109,不妨令,z,1,，可得,n,1,(0,，,3,1).,取平面,ABP,法向量,n,2,(0,1,0),，,易知，二面角,F,AB,P,是锐角，,返回,66/109,利用向量求空间角步骤,：,第一步：建立空间直角坐标系,；,第二步：确定点坐标,；,第三步：求向量,(,直线方向向量、平面法向量,),坐标,；,第四步：计算向量夹角,(,或函数值,),；,第五步：将向量夹角转化为所求空间角,；,第六步：反思回顾,.,查看关键点、易错点和答题规范,.,返回,67/109,课时作业,68/109,1.,若直线,l,方向向量与平面,法向量夹角等于,120,，则直线,l,与平面,所成角等于,A.120 B.60,C.30 D.60,或,30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,设直线,l,与平面,所成角为,，直线,l,与平面,法向量夹角为,.,则,sin,|cos,|,|cos 120|,.,又,0,，,90,，,30,，故选,C.,69/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(,广州模拟,),二面角棱上有,A,，,B,两点，直线,AC,，,BD,分别在这个二面角两个半平面内，且都垂直于,AB,.,已知,AB,4,，,AC,6,，,BD,8,，,CD,2,，则该二面角大小为,A.150 B.45,C.60 D.120,答案,解析,70/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,71/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,为,BB,1,中点，则平面,A,1,ED,与平面,ABCD,所成锐二面角余弦值为,答案,解析,72/109,以,A,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，设棱长为,1,，,设平面,A,1,ED,一个法向量为,n,1,(1,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,73/109,平面,ABCD,一个法向量为,n,2,(0,0,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,74/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(,长春模拟,),在三棱锥,P,ABC,中，,PA,平面,ABC,，,BAC,90,，,D,，,E,，,F,分别是棱,AB,，,BC,，,CP,中点，,AB,AC,1,，,PA,2,，则直线,PA,与平面,DEF,所成角正弦值为,答案,解析,75/109,以,A,为原点，,AB,，,AC,，,AP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立如图所表示空间直角坐标系，,由,AB,AC,1,，,PA,2,，,设平面,DEF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,76/109,取,z,1,，则,n,(2,0,1),，,设直线,PA,与平面,DEF,所成角为,，,直线,PA,与平面,DEF,所成角正弦值为,.,故选,C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,77/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.,已知正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,CC,1,2,，,E,为,CC,1,中点，则直线,AC,1,到平面,BDE,距离为,答案,解析,78/109,以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,(,如图,),，,则,D,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(2,2,0),，,C,(0,2,0),，,C,1,(0,2,2 ),，,E,(0,2,，,),，易知,AC,1,平面,BDE,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,BDE,法向量，,取,y,1,，则,n,(,1,1,，,),为平面,BDE,一个法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,79/109,又,(2,0,0),，,点,A,到平面,BDE,距离是,故直线,AC,1,到平面,BDE,距离为,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,80/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.,如图所表示，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,侧棱长为,3,，底面边长,A,1,C,1,B,1,C,1,1,，且,A,1,C,1,B,1,90,，,D,点在棱,AA,1,上且,AD,2,DA,1,，,P,点在棱,C,1,C,上，则,最小值为,答案,解析,81/109,建立如图所表示空间直角坐标系，则,D,(1,0,2),，,B,1,(0,1,3),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,82/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(,合肥模拟,),在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,BC,AA,1,1,，,则直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角正弦值为,_.,答案,解析,83/109,如图，建立空间直角坐标系,Dxyz,，,则,D,1,(0,0,1),，,C,1,(0,2,1),，,A,1,(1,0,1),，,B,(1,2,0).,设平面,A,1,BC,1,一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,84/109,设直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角为,，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,85/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.,在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,2,AB,，则直线,CD,与平面,BDC,1,所成角正弦值等于,_.,答案,解析,86/109,以,D,为坐标原点，建立空间直角坐标系，,如图，设,AA,1,2,AB,2,，则,D,(0,0,0),，,C,(0,1,0),，,B,(1,1,0),，,C,1,(0,1,2),，,所以有,令,y,2,，,得平面,BDC,1,一个法向量为,n,(2,，,2,1).,设,CD,与平面,BDC,1,所成角为,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,87/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(,石家庄模拟,),已知点,E,，,F,分别在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱,BB,1,，,CC,1,上，且,B,1,E,2,EB,，,CF,2,FC,1,，则平面,AEF,与平面,ABC,所成,二面角正切值为,_.,答案,解析,88/109,如图，建立空间直角坐标系,Dxyz,，,设,DA,1,，由已知条件得,设平面,AEF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,AEF,与平面,ABC,所成二面角为,，由图知,为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,89/109,取平面,ABC,法向量为,m,(0,0,，,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,令,y,1,，,z,3,，,x,1,，则,n,(,1,1,，,3),，,90/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(,南昌模拟,),如图,(1),，在边长为,4,菱形,ABCD,中，,DAB,60,，点,E,，,F,分别是边,CD,，,CB,中点，,AC,EF,O,，沿,EF,将,CEF,翻折到,PEF,，连接,PA,，,PB,，,PD,，得到如图,(2),五棱锥,P,ABFED,，且,PB,.,(1),求证：,BD,平面,POA,；,证实,91/109,点,E,，,F,分别是边,CD,，,CB,中点，,BD,EF,.,菱形,ABCD,对角线相互垂直，,BD,AC,，,EF,AC,，,EF,AO,，,EF,PO,.,AO,平面,POA,，,PO,平面,POA,，,AO,PO,O,，,EF,平面,POA,，,BD,平面,POA,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,92/109,(2),求二面角,B,AP,O,正切值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,93/109,设,AO,BD,H,，连接,BO,.,DAB,60,，,ABD,为等边三角形，,BD,4,，,BH,2,，,HA,2,，,HO,PO,，,在,PBO,中，,BO,2,PO,2,10,PB,2,，,PO,BO,.,PO,EF,，,EF,BO,O,，,EF,平面,BFED,，,BO,平面,BFED,，,PO,平面,BFED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,94/109,以,O,为原点，,OF,所在直线为,x,轴，,AO,所在直线为,y,轴，,OP,所在直线为,z,轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,，如图所表示，,设平面,PAB,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,95/109,由,(1),知平面,PAO,一个法向量为,(,2,0,0),，,设二面角,B,AP,O,平面角为,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,96/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(,四川,),如图，在四棱锥,P-ABCD,中，,AD,BC,，,ADC,PAB,90,，,BC,CD,AD,.,E,为棱,AD,中点，异面直线,PA,与,CD,所成角为,90.,(1),在平面,PAB,内找一点,M,，使得直线,CM,平面,PBE,，并说明理由；,解答,97/109,在梯形,ABCD,中，,AB,与,CD,不平行,.,延长,AB,，,DC,，相交于点,M,(,M,平面,PAB,),，点,M,即为所求一个点,.,理由以下：,由已知，,BC,ED,且,BC,ED,.,所以四边形,BCDE,是平行四边形，,从而,CM,EB,.,又,EB,平面,PBE,，,CM,平面,PBE,，,所以,CM,平面,PBE,.,(,说明：延长,AP,至点,N,，使得,AP,PN,，则所找点能够是直线,MN,上任意一点,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,98/109,(2),若二面角,P-CD-A,大小为,45,，求直线,PA,与平面,PCE,所成角正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,99/109,方法一,由已知，,CD,PA,，,CD,AD,，,PA,AD,A,，,所以,CD,平面,PAD,，从而,CD,PD,.,所以,PDA,是二面角,P-CD-A,平面角，,所以,PDA,45,，,设,BC,1,，则在,Rt,PAD,中，,PA,AD,2.,过点,A,作,AH,CE,，交,CE,延长线于点,H,，连接,PH,，,易知,PA,平面,ABCD,，,从而,PA,CE,，且,PA,AH,A,，于是,CE,平面,PAH,.,又,CE,平面,PCE,，,所以平面,PCE,平面,PAH,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,100/109,过,A,作,AQ,PH,于,Q,，则,AQ,平面,PCE,，,所以,APH,是,PA,与平面,PCE,所成角,.,在,Rt,AEH,中，,AEH,45,，,AE,1,，,方法二由已知，,CD,PA,，,CD,AD,，,PA,AD,A,，,所以,CD,平面,PAD,.,于是,CD,PD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,101/109,从而,PDA,是二面角,P-CD-A,平面角,.,所以,PDA,45.,由,PAB,90,，且,PA,与,CD,所成角为,90,，可得,PA,平面,ABCD,.,设,BC,1,，则在,Rt,PAD,中，,PA,AD,2.,则,A,(0,0,0),，,P,(0,0,2),，,C,(2,1,0),，,E,(1,0,0).,作,Ay,AD,，以,A,为原点，以,方向分别为,x,轴，,z,轴正方向，建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，,设平面,PCE,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,102/109,设,x,2,，解得,n,(2,，,2,1).,设直线,PA,与平面,PCE,所成角为,，,所以直线,PA,与平面,PCE,所成角正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,103/109,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,*12.(,潍坊模拟,),如图，边长为,正方形,ADEF,与梯形,ABCD,所在平面相互垂直,.,已知,AB,CD,，,AB,BC,，,DC,BC,AB,1,，点,M,在线段,EC,上,.,(1),证实：平面,BDM,平面,ADEF,；,证实,104/109,DC,BC,1,，,DC,BC,，,AD,2,BD,2,AB,2,，,ADB,90,，,AD,BD,.,又平面,ADEF,平面,ABCD,，平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,BD,平面,ADEF,，,又,BD,平面,BDM,，,平面,BDM,平面,ADEF,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,105/109,解答,(2),判断点,M,位置，使得平面,BDM,与平面,ABF,所成锐二面角为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,106/109,在平面,DAB,内过点,D,作,DN,AB,，垂足为,N,，,AB,CD,，,DN,CD,，,又平面,ADEF,平面,ABCD,，平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,DE,AD,，,ED,平面,ABCD,，,DN,ED,，,以,D,为坐标原点，,DN,所在直线为,x,轴，,DC,所在,直线为,y,轴，,DE,所在直线为,z,轴，建立空间直角坐,标系如图所表示,.,B,(1,1,0),，,C,(0,1,0),，,E,(0,0,，,),，,N,(1,0,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,107/109,设平面,BDM,法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,108/109,点,M,在线段,CE,三等分点且靠近点,C,处,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,109/109,