高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积省公开课一等奖新名师优质课获奖课件.pptx

,第三章,3.1,空间向量及其运算,3.1.3,两个向量数量积,第1页,1.,掌握空间向量夹角概念及表示方法,.,2.,掌握两个向量数量积概念、性质、计算方法及运算规律,.,3.,掌握两个向量数量积主要用途，能利用数量积求向量夹角,和判断向量共线与垂直,.,学习目标,第2页,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,第3页,问题导学,第4页,知识点一两个向量数量积,思索,1,如图所表示，在空间四边形,OABC,中，,OA,8,，,AB,6,，,AC,4,，,BC,5,，,OAC,45,，,OAB,60,，类比平面向量相关运算，怎样求向量,与,数量积？并总结求两个向量数量积方法,.,答案,第5页,求两个向量数量积需先确定这两个向量模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度向量来表示该向量，再代入计算,.,第6页,思索,2,等边,ABC,中，,与,夹角是多少？,答案,120.,第7页,梳理,(1),定义：已知两个非零向量,a,，,b,，则,|,a,|,b,|cos,a,，,b,叫做,a,，,b,数量积,(,或内积,),，记作,a,b,.,(2),数量积运算律,数乘向量与向量,数量积结合律,(,a,),b,_,交换律,a,b,_,分配律,(,a,b,),c,_,(,a,b,),b,a,a,c,b,c,第8页,知识点二两个向量夹角,(1),定义：已知两个非零向量,a,，,b,，在空间任取一点,O,，作,a,，,b,，则,叫做向量,a,与,b,夹角，记作,a,，,b,.,(2),范围：,a,，,b,.,尤其地：当,a,，,b,时，,a,b,.,0,，,AOB,第9页,知识点三两个向量数量积性质,两个向量数,量积性质,若,a,，,b,是非零向量，则,a,b,_,若,a,与,b,同向，则,a,b,_,；若反向，则,a,b,_.,尤其地，aa_或|a|,若为a，b夹角，则cos _,|,a,b,|,|,a,|,b,|,|,a,|,2,|,a,|,b,|,|,a,|,b,|,a,b,0,第10页,题型探究,第11页,命题角度,1,空间向量数量积基本运算,例,1,(1),以下命题是否正确？正确请给出证实，不正确给予说明,.,p,2,q,2,(,p,q,),2,；,解答,类型一空间向量数量积运算,此命题不正确,.,p,2,q,2,|,p,|,2,|,q,|,2,，,而,(,p,q,),2,(|,p,|,q,|cos,p,，,q,),2,|,p,|,2,|,q,|,2,cos,2,p,，,q,，,当且仅当,p,q,时，,p,2,q,2,(,p,q,),2,.,第12页,|,p,q,|,p,q,|,|,p,2,q,2,|,；,解答,此命题不正确,.,|,p,2,q,2,|,|(,p,q,)(,p,q,)|,|,p,q,|,p,q,|cos,p,q,，,p,q,|,，,当且仅当,(,p,q,),(,p,q,),时，,|,p,2,q,2,|,|,p,q,|,p,q,|.,第13页,若,a,与,(,a,b,),c,(,a,c,),b,均不为,0,，则它们垂直,.,解答,此命题正确,.,a,(,a,b,),c,(,a,c,),b,a,(,a,b,),c,a,(,a,c,),b,(,a,b,)(,a,c,),(,a,b,)(,a,c,),0,，,且,a,与,(,a,b,),c,(,a,c,),b,均为非零向量，,a,与,(,a,b,),c,(,a,c,),b,垂直,.,第14页,(2),设,a,，,b,120,，,|,a,|,3,，,|,b,|,4,，求：,a,b,；,解答,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,，,a,b,3,4,cos 120,6.,第15页,(3,a,2,b,)(,a,2,b,).,解答,(3,a,2,b,)(,a,2,b,),3|,a,|,2,4,a,b,4|,b,|,2,3|,a,|,2,4|,a,|,b,|cos 120,4|,b,|,2,，,(3,a,2,b,)(,a,2,b,),3,9,4,3,4,(,),4,16,27,24,64,61.,第16页,(1),已知,a,，,b,模及,a,与,b,夹角，直接代入数量积公式计算,.,(2),假如欲求是关于,a,与,b,多项式形式数量积，能够先利用数量积运算律将多项式展开，再利用,a,a,|,a,|,2,及数量积公式进行计算,.,反思与感悟,第17页,跟踪训练,1,已知,a,，,b,均为单位向量，它们夹角为,60,，那么,|,a,3,b,|,等于,|,a,3,b,|,2,(,a,3,b,),2,a,2,6,a,b,9,b,2,1,6,cos 60,9,13,，,答案,解析,第18页,命题角度,2,利用空间向量数量积处理立体几何中运算问题,例,2,已知长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,AA,1,2,，,AD,4,，,E,为侧面,AB,1,中心，,F,为,A,1,D,1,中点,.,试计算：,则,|,a,|,|,c,|,2,，,|,b,|,4,，,a,b,b,c,c,a,0.,解答,第19页,解答,解答,第20页,反思与感悟,两向量数量积，其运算结果是数量，而不是向量,.,零向量与任意向量数量积为,0.,向量数量积不满足结合律,.,第21页,跟踪训练,2,已知正四面体,O,-,ABC,棱长为,1,，求：,1,2,1,1,cos 60,2,1,1,cos 60,1,1,cos 60,1,2,2,1,1,cos 60,1.,解答,第22页,解答,第23页,命题角度,1,利用数量积求夹角,例,3,已知,BB,1,平面,ABC,，且,ABC,是,B,90,等腰直角三角形，,ABB,1,A,1,、,BB,1,C,1,C,对角线都分别相互垂直且相等，若,AB,a,，求异面直线,BA,1,与,AC,所成角,.,类型二利用数量积求夹角或模,解答,第24页,如图所表示,.,AB,BC,，,BB,1,AB,，,BB,1,BC,，,又,异面直线所成角是锐角或直角，,异面直线,BA,1,与,AC,所成角为,60.,第25页,反思与感悟,利用向量求异面直线夹角方法,第26页,跟踪训练,3,已知：,PO,、,PA,分别是平面,垂线、斜线，,AO,是,PA,在平面,内射影，,l,，且,l,OA,.,求证：,l,PA,.,证实,第27页,因为,PO,，且,l,，所以,l,PO,，,所以,l,PA,.,第28页,命题角度,2,利用数量积求模,(,或距离,),例,4,如图所表示，在平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,1,，,AD,2,，,AA,1,3,，,BAD,90,，,BAA,1,DAA,1,60,，求,AC,1,长,.,解答,第29页,因为,BAD,90,，,BAA,1,DAA,1,60,，,第30页,反思与感悟,利用向量数量积求两点间距离，能够转化为求向量模问题，其基本思绪是先选择以两点为端点向量，将此向量表示为几个已知向量和形式，求出这几个已知向量两两之间夹角以及它们模，利用公式,|,a,|,求解即可,.,第31页,跟踪训练,4,如图，已知线段,AB,平面,，,BC,，,CD,BC,，,DF,平面,，且,DCF,30,，,D,与,A,在,同侧，若,AB,BC,CD,2,，求,A,，,D,两点间距离,.,解答,第32页,12,2(22cos 90,22cos 120,22cos 90),8,，,第33页,例,5,如图，在空间四边形,OABC,中，,OB,OC,，,AB,AC,，求证：,OA,BC,.,证实,类型三利用空间向量数量积处理垂直问题,因为,OB,OC,，,AB,AC,，,OA,OA,，,所以,OAC,OAB,，,所以,AOC,AOB,.,第34页,反思与感悟,(1),证实线线垂直方法,证实线线垂直关键是确定直线方向向量，看方向向量数量积是否为,0,来判断两直线是否垂直,.,(2),证实与空间向量,a,，,b,，,c,相关向量,m,，,n,垂直方法,先用向量,a,，,b,，,c,表示向量,m,，,n,，再判断向量,m,，,n,数量积是否为,0.,第35页,跟踪训练,5,已知向量,a,，,b,满足：,|,a,|,2,，,|,b,|,，且,a,与,2,b,a,相互垂直，则,a,与,b,夹角为,_.,a,与,2,b,a,垂直，,a,(2,b,a,),0,，,即,2,a,b,|,a,|,2,0.,2|,a,|,b,|cos,a,，,b,|,a,|,2,0,，,45,又,a,，,b,0,，,180,，,a,与,b,夹角为,45.,答案,解析,第36页,当堂训练,第37页,1.,已知,a,，,b,，,c,是两两垂直单位向量，则,|,a,2,b,3,c,|,等于,1,2,3,4,5,答案,解析,|,a,2,b,3,c,|,2,|,a,|,2,4|,b,|,2,9|,c,|,2,4,a,b,6,a,c,12,b,c,14.,第38页,1,2,3,4,2.,在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，以下向量数量积一定不为,0,是,5,答案,解析,第39页,1,2,3,4,5,选项,A,，当四边形,ADD,1,A,1,为正方形时，可得,AD,1,A,1,D,，而,A,1,D,B,1,C,，所以,AD,1,B,1,C,，此时有,0,；,选项,B,，当四边形,ABCD,为正方形时，易得,AC,BD,，可得,AC,平面,BB,1,D,1,D,，故有,AC,BD,1,，此时,0,；,选项,C,，由长方体性质可得,AB,平面,ADD,1,A,1,，所以,AB,AD,1,，所以,0.,故选,D.,第40页,其中真命题个数为,A.1 B.2 C.3 D.0,3.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，有以下命题：,解析,答案,不正确,.,故选,B.,1,2,3,4,5,第41页,答案,解析,1,2,3,4,5,第42页,1,2,3,4,5,5.,已知正四面体,ABCD,棱长为,2,，,E,，,F,分别为,BC,，,AD,中点，则,EF,长为,_.,1,2,2,2,1,2,2,(1,2,cos 120,0,2,1,cos 120),2,，,答案,解析,第43页,规律与方法,1.,空间向量运算两种方法,(1),利用定义：利用,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,并结合运算律进行计算,.,(2),利用图形：计算两个数量数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算,.,2.,在几何体中求空间向量数量积步骤,(1),首先将各向量分解成已知模和夹角向量组合形式,.,(2),利用向量运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角向量数量积,.,(3),代入,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,求解,.,第44页,本课结束,第45页,