概统23-随机变量的分布函数与连续型的随机变量.pptx

*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,定义,2,设,X,为一个随机变量，对任意实数,x,，,称,F,(,x,)=,P,(,X,x,),为,X,分布函数,.,基本性质,：,(1),F,(,x,),单调不降；,(2),有界：,0,F,(,x,),1,，,F,(,),=,0,，,F,(,+,),=,1,；,(3),右连续,.,2.3,随机变量,分布函数与连续型随机变量,48,1/52,F,(,x,),是分段阶梯函数,在,X,可能取,值,x,k,处发生间断,间断点为第一类跳跃间,断点,在间断点处有跃度,p,k,.,离散随机变量及分布函数,其中,.,49,2/52,例,2.3.1,已知,X,分布列以下：,X,0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求,X,分布函数,.,解：,50,3/52,X,0 1 2,P,0.4 0.4 0.2,解：,例,2.3.2,已知,X,分布函数以下,求,X,分布列,.,51,4/52,定义,3,设随机变量,X,分布函数为,F,(,x,),则称,X,为,连续随机变量,，,若存在非负可积函数,f,(,x,),，,满足：,称,f,(,x,),为,概率密度函数,，,简称,密度函数,.,52,5/52,p.d.f.,f,(,x,),性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性,r.v.,d.f.,在,f,(,x,),连续点处，,f,(,x,),描述了,X,在,x,附近单位长度,区间内取值概率,53,6/52,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数与密度函数,几何意义,54,7/52,注意,:对于连续型,r.v.,X,P,(,X=a,)=0,其中,a,是随机变量,X,一个可能取值,命题,连续,r.v.,取任一常数概率为零,强调,概率为0(1,),事件未必不发生(发生,),实际上,55,8/52,对于连续型,r.v.,X,b,x,f,(,x,),a,56,9/52,x,f,(,x,),a,57,10/52,连续型,密度函数,X,p,(,x,),(,不唯一,),2.,4.,P,(,X,=,a,)=0,离散型,分布列,:,p,n,=,P,(,X,=,x,n,),(,唯一,),2.,F,(,x,)=,3,.,F,(,a,+0)=,F,(,a,);,P,(,a,a,和,B,=,Y,a,独立，,解,:,因为,P,(,A,)=,P,(,B,),P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,),从中解得,且,P,(,A,B,)=3/4,求常数,a,.,且由,A,、,B,独立，得,=2,P,(,A,),P,(,A,),2,=3/4,从中解得,:,P,(,A,)=1/2,由此得,0,a,a,),例,2.3.4,61,14/52,设,X,p,(,x,),，且,p,(,x,)=,p,(,x,),，,F,(,x,),是,X,分布函数，,则对任意实数,a,0,，有,(),F,(,a,)=1,F,(,a,)=,F,(,a,)=,F,(,a,),F,(,a,)=2,F,(,a,),1,练习,1,62,15/52,练习,2,已知某型号电子管使用寿命,X,为连,续,r.v.,其,d.f.,为,(1)求常数,c,(3),已知一设备装有3个这么电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用最初1500小时只有一个损坏概率.,(2),计算,例1,63,16/52,解,(,1)令,c,=1000,(2),64,17/52,(3),设,A,表示一个电子管寿命小于1500小时,设在使用最初1500小时三个电子管中,损坏个数为,Y,65,18/52,(1),均匀分布,常见连续性随机变量分布,若,X,d.f.,为,则称,X,服从区间(,a,b,),上,均匀分布,或称,X,服从参数为,a,b,均匀分布.,记作,均匀分布,66,19/52,X,分布函数为,67,20/52,x,f,(,x,),a,b,x,F,(,x,),b,a,68,21/52,即,X,落在(,a,b,),内任何长为,d c,小区间,概率与小区间位置无关,只与其长度成正,比.这正是几何概型情形.,进行大量数值计算时,若在小数点后第,k,位进行四舍五入,则产生误差能够看作,服从,r.v.,随机变量,应用场所,69,22/52,例,秒表最小刻度值为0,.,01秒,.,若计时精,度是取最近刻度值,求使用该表计时产生随机误差,X,d.f.,并计算误差绝对值不超出0,.,004秒概率,.,解,X,等可能地取得区间,所以,上任一值，则,70,23/52,(2),指数分布,若,X,d.f.,为,则称,X,服从,参数为,指数分布,记作,X,分布函数为,0 为常数,指数分布,71,24/52,1,x,F,(,x,),0,x,f,(,x,),0,72,25/52,对于任意 0,a,b,应用场所,用指数分布描述实例有：,随机服务系统中服务时间,电话问题中通话时间,无线电元件寿命,动物寿命,指数分布,常作为各种“寿命”,分布近似,73,26/52,若,X,(,),则,故又把指数分布称为“永远年轻”分布,指数分布“,无记忆性,”,实际上,命题,年轻,74,27/52,解,(1),例4,假定一大型设备在任何长为,t,时间内,发生故障次数,N,(,t,)(,t),求,相继两次故障时间间隔,T,概率分布;,设备已正常运行小时情况下,再正常,运行 10 小时概率.,例4,75,28/52,即,(2),由指数分布“无记忆性”,76,29/52,(3),正态分布,若,X,d.f.,为,则称,X,服从参数为,2,正态分布,记作,X,N,(,2,),为常数，,正态分布,亦称高斯,(,Gauss),分布,77,30/52,N,(-3,1.2,),78,31/52,f,(,x,),性质,：,图形关于直线,x=,对称,即,在,x=,时,f,(,x,),取得最大值,在,x=,时,曲线,y,=,f,(,x,),在对应,点处有拐点,曲线,y,=,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,曲线,y,=,f,(,x,),图形呈单峰状,f,(,+,x,)=,f,(,-,x,),性质,79,32/52,80,33/52,f,(,x,),两个参数：,位置参数,即固定,对于不一样,对应,f,(,x,),形状不改变，只是位置不一样,形状参数,固定,，对于不一样,，,f,(,x,),形状不一样.,若,1,2,则,比,x=,2,所对应拐点更靠近直线,x=,附近值概率更大.,x=,1,所对应,拐点,前者取,81,34/52,Showfn1,fn3,大,小,几何意义,大小与曲线陡峭程度成反比,数据意义,大小与数据分散程度成正比,82,35/52,正态变量条件,若,r.v.,X,受众多相互独立随机原因影响,每一原因影响都是微小,且这些正、负影响能够叠加,则称,X,为正态,r.v.,83,36/52,可用正态变量描述实例极多：,各种测量误差；人体生理特征；,工厂产品尺寸；农作物收获量；,海洋波浪高度；金属线抗拉强度；,热噪声电流强度；学生考试成绩；,84,37/52,一个主要正态分布,是偶函数，,分布函数记为,标准正态,其值有专门表供查,.,标准正态分布,N,(0,1),密度函数,38/52,86,39/52,-x,x,87,40/52,对普通正态分布：,X N,(,2,),其分布函数,作变量代换,88,41/52,例5,设,X,N,(1,4),求,P,(0,X,1.6,),解,P380,附表3,例5,89,42/52,例6,已知,且,P,(2,X,4,)=0.3,求,P,(,X,0).,解一,例6,90,43/52,解二,图解法,0.2,由图,0.3,91,44/52,例,3,原理,设,X,N,(,2,),求,解,一次试验中,X,落入区间(,-,3,+,3,),概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小,由3,原理知,，,当,3,原理,92,45/52,标准正态分布,上,分位数,z,设,X,N,(0,1),0,3,故最少要进行 4 次独立测量才能满足,要求.,95,48/52,X,求其密度函数,f,(,x,),.,A,B,C,h,.,M,问 题,每七天一题,6,在高为,h,ABC,中任取一点,M,点,M,到,AB,距离为随机变量,X,求其密度函数,f,(,x,),.,问 题,A,B,C,h,.,M,96,49/52,每七天一题7,问 题,上海某年有 9万名高中毕业生,参加高考,结果有5.4万名被各类高校录用,.,考试满分为600分，540分,以上有2025人,360分以下有13500,人,.,试预计高校录用最低分,.,97,50/52,在高为,h,ABC,中任取一点,M,点,M,到,AB,距离为随机变量,附录,X,怎样求其密度函数,f,(,x,)？,A,B,C,h,.,M,思索,题,附录,98,51/52,99,52/52,