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,理论力学电子教程,第八章 质点的运动微分方程,(),A,、,a,、,b,都正确；,B,、,a,、,b,都不正确。,C,、,a,正确，,b,不正确；,D、a不正确，b正确。,(2),重量为,G,汽车，以匀速,v,驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面压力怎样?（）,A、,压力大小等于,G,；,B、,压力大小大于,G,。,C、,压力大小小于,G,；,D、已知条件没给够，无法判断。,【,思索题,】,1选择题,（,1,）如图所表示，质量为,m,质点受力,F,作用，沿平面曲线运动，速度为,v,。试问以下各式是否正确？,A,B,第1页,（3）质量为,m,质点，自A点以初速度,v,0,向上斜抛。试问质点在落地前，其,加速度,大小、方向是否发生改变？（空气阻力不计）（）,A、,加速度大小不变、而方向在改变。,B、,加速度大小在改变、而方向不变。,C、,加速度大小、方向都在改变。,D、,加速度大小、方向都不改变。,2判断题,（1）质点运动方程和运动微分方程物理意义相同.（）,D,运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。,加速度一直为重力加速度,g,。,（,2,）已知质点运动方程可唯一确定作用于质点上力。（）,已知作用于质点上力确定质点运动方程时还需考虑运动初始条件。,（,3,）已知作用于质点上力可唯一确定质点运动方程。（）,第2页,例11-1,基本量计算(动量，动量矩，动能),第3页,质量为,m,长为,l,均质细长杆，杆端,B,端置于水平面，,A,端铰接于质量为,m,，,半径为,r,轮,O,边缘点,A,已知轮沿水平面以大小为,w,角速度作纯滚动，系统动量大小为（），对点,P,动量矩大小为（），系统动能为（）。,图示行星齿轮机构，已知系杆,OA,长为2,r,，质量为,m,，行星齿轮可视为均质轮，质量为,m,，半径为,r,，系杆绕轴,O,转动角速度为,w,。则该系统动量主矢大小为（），对轴,O,动量矩大小为（），,系统动能为（）。,A,O,w,第4页,【解】,因为按图示机构，系统可分成3个刚块：,OA,、,AB,、和轮,B,。首先需找出每个刚块质心速度：,（1）,OA,作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量 ，方向水平向左。,A,B,O,如图所表示系统中，均质杆,OA,、,AB,与均质轮质量均,为,m,，,OA,杆长度为,l,1,，,AB,杆长度为,l,2,，轮半径为,R,，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，,OA,角速度为,，则整个系统动量为多少？,例94,（2）,AB,作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量,，方向水平向左。,第5页,（3）轮,B,作平面运动，其质心,B,运动轨迹为水平直线，所以,B,点速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。,所以,所以,方向水平向左,A,B,O,第6页,【解】,例95,在静止小船中间站着两个人，其中甲,m,1,50,kg,，面向船首方向走动1.5,m,。乙,m,2,60,kg,，面向船尾方向走动0.5,m,。若船重,M,150,kg,，求船位移。水阻力不计。,受力有三个重力和一个水浮力，因无水平力，水平方向质心运动守恒，又因初始静止，即,把坐标原点放在船质心初始位置：,y,尾,首,甲,乙,甲,乙,设当经过,t,时间后，船向右移动,x,，则：,第7页,把坐标原点放在船左侧位置：,y,尾,首,甲,乙,甲,乙,设当经过,t,时间后，船向右移动,x,，则：,第8页,例9-9,如图所表示，均质杆,AB,长为,l,，铅垂地立在光滑水平面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点,A,轨迹。,【解】,所以，沿,x,轴方向质心位置应守恒，质心,C,一直在,y,轴上，,A,点坐标可表示为：,消去 ，得：,即,A,点轨迹为椭圆。,A,B,建立,oxy,：并令,y,轴经过质心，则,且有,AB,杆初始静止，,第9页,系统动量矩守恒。,猴,A,与猴,B,向上绝对速度是一样,均为 。,已知：猴子,A,重=猴子,B,重，猴,B,抓住绳子由静止开始相对绳以速度,v,上爬，猴,A,抓住绳子不动，问当猴,B,向上爬时，猴,A,将怎样运动？运动速度多大？（轮重不计）,例104,【解】,第10页,(a),【,解,】,（,1,）用动能定理求角速度。,例11-5,如图所表示，质量为,m,，半径为,r,均质圆盘，可绕经过,O,点且垂直于盘平面水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕,O,轴转动。求当圆盘中心,C,和轴,O,点连线经过水平位置时圆盘角速度、角加速度及,O,处反力。,（2）当,OC,在同一水平位置时，由动量矩定理有：,代入,J,O,，有,第11页,(b),（,3,）求,O,处约束反力,作圆盘受力分析和运动分析，有,由质心运动定理，得,法二：用动能定理求角速度及角加速度。,两边对（*）式求导,第12页,例11-3,图示均质杆,OA,质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数,k,=3kN/m，为使杆能由铅直位置,OA,转到水平位置,OA,，在铅直位置时角速度最少应为多大？,解,：研究,OA,杆,（1）,OA,杆所受外力功：,（2）,OA,杆,动能：,（3）对,OA,杆,应用动能定理：,第13页,如图所表示，均质杆,AB,质量为,m,，长为,l,，由图示位置（）无初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面约束反力。,A,B,第14页,例10-13,如图所表示均质细长杆，质量为,M,，长为,l,，放置在光滑水平面上。若在,A,端作用一垂直于杆水平力,F,，系统初始静止,试求,B,端加速度。,(a),第15页,细长杆作平面运动，欲求,a,B,则必先求,a,c,由基点法,应用平面运动微分方程,将、代入中，得,【,解,】,第16页,例3,均质圆柱体,A,和,B,重量均为,P,，半径均为,r,，一绳缠在绕固定轴,O,转动圆柱,A,上，绳另一端绕在圆柱,B,上，绳重不计且不可伸长，不计轴,O,处摩擦。,求,（1）,圆柱,B,下落时质心加速度。,（2）,若在圆柱体,A,上作用一逆时针转向转矩,M,，试问在什么,条件下圆柱,B,质心将上升。,第17页,选圆柱,B,为研究对象,（2）,运动学关系：,（4）,（1）,解：,（1）,选圆柱,A,为研究对象,由,（1）、（2）式得：,代入（3）、（4）并结合（2）式得：,（3）,第18页,选圆柱,B,为研究对象,（2）,运动学关系：,（1）,（2）,选圆柱,A,为研究对象,由,（1）（4）式得：,（3）,当,M,2,Pr,时，圆柱,B,质心将上升。,（4）,第19页,由动量矩定理：,(5),补充运动学关系式：,代入,(5),式，得,当,M,2,Pr,时，圆柱,B,质心将上升。,（2）也能够取整个系统为研究对象,第20页,例11-6,图示系统中，均质圆盘,A,、,B,各重,P,，半径均为,R,，两盘中心线为水平线，盘,B,作纯滚动，盘,A,上作用矩为,M,(常量)一力偶；重物,D,重,Q,。问重物由静止下落距离,h,时重物速度与加速度,以及,AD,段、,AB,段绳拉力,。(绳重不计，绳不可伸长，盘,B,作纯滚动。),解,：取整个系统为研究对象,（1）整个系统所受力功：,（2）系统动能：,这里,第21页,上式求导得：,（3）对系统应用动能定理：,AD,段绳拉力,AB,段绳拉力,第22页,解法二,：也可分别取研究对象,D,：,这里,A,：,B,：,第23页,例11-7,重,G,2,=150,N,均质圆盘与重,G,1,=60,N,、,长,l,=24,cm,均质杆,AB,在,B,处用铰链连接。求,（1）,系统由图示位置无初速地释放。,求,AB,杆经过铅垂位置,B,点时速度、加速度及支座,A,约束力。,思索：若轮与杆焊接结果又怎样？若,AB,杆上还受力偶矩,M=,100,Nm,作用结果又怎样？,解：,（1）取圆盘为研究对象,依据相对质心动量矩定理,结论：圆盘,B,做平动，,杆,AB,做定轴转动。,第24页,（2）用动能定理求速度,。,代入数据，得,取系统研究。初始时,T,1,=0，最低位置时：,第25页,（3）用动量矩定理求杆角加速度,。,因为,所以,0。,杆质心,C,加速度：,盘质心加速度：,（4）由质心运动定理求支座反力，,研究整个系统。,代入数据，得,第26页,例11-4,两根均质直杆组成机构及尺寸如图示；,OA,杆质量是,AB,杆质量两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当,OA,杆转到铅垂位置时，,AB,杆,B,端速度。,解,：取整个系统为研究对象,运动学方面,=,-,=,得,代入到,所以,1,2,2,2,6,5,W,12,T,T,mv,C,T,注意到,OA,转到铅垂位置,AB,作瞬时平动,第27页,【,思索与讨论,】,1选择题,（1）如图所表示，半径为,R,，质量为,m,均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间摩擦系数为,f,。试求轮心向前移动距离,s,过程中摩擦力功,W,F,。（）,A,W,F,=,fmgs,B,W,F,fmgs,C,W,F,=,F,s,D,W,F,=0,D,第28页,(2)如图所表示，楔块,A,向右移动速度为,v,1,质量为,m,物块,B,沿斜面下滑，它相对于楔块速度为,v,2,，,求物块,B,动能,T,B,。（）,A.,D.,C.,B.,D,第29页,（,3,）如图所表示，质量能够忽略弹簧原长为,2,L,，刚度系数为,k,，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物,下降,x,旅程中弹性力所作功。（）,A.,B.,C.,D.,C,第30页,（,4,）如图所表示，平板,A,以匀速,v,沿水平直线向右运动，质量为,m,，半径为,r,均质圆轮,B,在平板上以匀角速度朝顺时针方向,滚动而不滑动，则轮动能为（）,A.,B.,C.,D.,B,第31页,3,如图所表示，重为,G,小球用两绳悬挂。若将绳,AB,突然剪断，则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳,AC,拉力及,AC,在铅垂位置时拉力。,答案：,（1）小球刚开始运动瞬时绳,AC,拉力：,第32页,（2）任意位置时：,（3）,AC,在铅垂位置时拉力：,令绳,AC,与水平夹角为,第33页,例96,质量为,M,大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量为,m,小三角形柱体，求小三角形柱体由静止滑到底时，大三角形柱体位移。,解,：,选,两物体组成系统为,研究对象。,受力分析,，,水平方向质心运动守恒,由水平方向初始静止,；则,第34页,1.选择题,D,（1）设刚体动量为 ，其质心速度为 ，质量为,M,，则式 。（）,A,、只有在刚体作平动时才成立；,B,、只有在刚体作直线运动时才成立；,C,、只有在刚体作圆周运动时才成立；,D,、刚体作任意运动时均成立；,C,（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（）,A,、无改变；,B,、动量大小有改变，但方向不变,C,、动量大小无改变，但方向有改变,D,、动量大小、方向都有改变,【,思索题,】,第35页,C,（3）一均质杆长为，重为,P,，以角速度 绕,O,轴转动。试确定在图示位置时杆动量。（）,A,、杆动量大小 ，方向朝左,B,、杆动量大小 ，方向朝右,C,、杆动量大小 ，方向朝左,D,、杆动量等于零,A,B,O,第36页,C,A,、质点动量没有改变,B,、质点动量改变量大小为 ，方向铅垂向上,C,、质点动量改变量大小为 ，方向铅垂向下,D,、质点动量改变量大小为 ，方向铅垂向下,（4）将质量为,m,质点，以速度,v,铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原处过程中质点动量改变量。（）,2.,如图所表示，均质轮质量为 ，半径为,R,，偏心距 ，轮角速度和角加速度在图示位置时为 和 ，轮在垂直面内运动，求铰支座,O,约束反力。,O,C,答案：,第37页,(1)取整个系统为研究对象，,由动量矩定理：,例103,【解】,受力分析如图示。,运动分析：,v,=,第38页,（2）,由质心运动定理,求约束反力,：,第39页,两根质量各为8,kg,均质细杆固连成,T,字型，可绕经过,O,点水平轴转动，当,OA,处于水平位置时,T,形杆含有角速度,=4,rad,/,s,。求该瞬时轴承,O,反力。,由定轴转动微分方程,例109,选,T,字型杆为研究对象，受力分析如图示。,【解】,依据质心运动定理，得,系统质心：,第40页,第41页,3、如图所表示，摆由均质细杆,OA,和均质圆盘组成，杆,质量为,m,1,，长为,L,，圆盘质量为,m,2,，半经为,r,。,O,A,B,（1）求摆对于轴,O,转动惯量；,（2）若图示瞬时角速度为,，求系统动量、动量矩。,第42页,例10-10,质量为,m,半径为,R,均质圆轮置放于倾角为,斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间静、动滑动摩擦系数为,f,、,f,，不计滚动摩阻，试分析轮运动。,解,：取轮为研究对象。,由(2)式得,(1),（1）、（3）、（4）,中含有四个未知数,a,C,、,F,s,、,、F,N,，需补充附加条件。,受力分析如图示。,运动分析：取直角坐标系,Oxy,a,C y,=0，,a,C x,=,a,C,，,普通情况下轮作平面运动。,依据平面运动微分方程，有,(2),(3),(4),第43页,1,、设接触面绝对光滑。,2,、设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，,3,、设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。,F,S,=fF,N,，,可解得,因为轮由静止开始运动，故,0，轮沿斜面平动下滑。,注意此时无相对滑动，,F,s,fF,N,，所以可解得:,(1),(3),(4),轮作纯滚动条件：,第44页,例10-11,均质圆柱，半径为,r,，重量为,Q,，置圆柱于墙角。初始角速度,0,，墙面、地面与圆柱接触处动滑动摩擦系数均为,f,，滚阻不计，求使圆柱停顿转动所需要时间。,解,：选取圆柱为研究对象，受力分析如图示。,依据刚体平面运动微分方程,（1）,补充方程：,（4）,运动分析：质心,C,不动，刚体绕质心转动。,（2）,（3）,第45页,将,（4）式代入（1）、（2）两式，有,将上述结果代入,（3）式，有,解得：,（1）,（2）,（3）,补充方程：,（4）,第46页,例96,电动机外壳固定在水平基础上，定子质量为,m,1,，转子质量为,m,2,，转子轴经过定子质心,O,1,，但因为制造误差，转子质心,O,2,到,O,1,距离为,e,。,求,（1）,转子以角速度,作匀速转动时，基础作用在电动机底座上约束反力；（2）若,电动机外壳没有固定在水平基础上，求电动机外壳由静止开始运动水平运动规律。,第47页,依据动量定理，有,可见，因为偏心引发动反力是随时间而改变周期函数。,系统动量,解:（1）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。,解法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度,v,1,=0，转子质心,O,2,速度,v,2,=,e,，方向垂直于,O,1,O,2,。,第48页,依据质心运动定理，有,解法二，利用质心运动定理求解。,系统质心坐标,第49页,（2）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。,解法一：,系统水平方向不受力作用，,水平方向质心运动守恒,。,由水平方向初始静止（,v,C,=0）,；则,建立,O,1,xy,：并令,y,轴经过初始位置质心，则,第50页,（2）,将（2）式积分有：,（3）,代入（3）式得：,解法二：,本题也可用质点系动量在,水平,方向守恒求解：,（1）,转子从铅垂向下位置开始逆时针转动，故,第51页,例9-8,如图所表示，均质杆,OA,，长 ,重为 ，绕,O,轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴,O,约束反力。,【解】,取杆,OA,为研究对象，受力如,（b）,图所表示。,方向如图所表示。则：,C,A,O,C,A,建立坐标系,oxy,，杆,OA,质心加速度为：,由质心运动定理计算约束反力,第52页,例12-1,均质杆长,l,质量,m,与水平面铰接,杆从与平面成,0,角位置静止落下。求开始落下时杆,AB,角加速度及,A,点支座反力。,（法1）,选杆,AB,为研究对象，虚加惯性力系：,解：,依据动静法，有,注意定轴转动刚体惯性力虚加于转轴上。,第53页,法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：,解,：选,AB,为研究对象，,由动量矩定理，得：,由质心运动定理：,第54页,A,R,C,B,O,r,O,r,机车连杆AB质量为m，两端用铰链连接于主动轮上，铰链到轮心距离均为r，主动轮半径均为R。求当机车以匀速v直线前进时，铰链对连杆水平作用力协力，及A、B处竖向约束力（用动静法求解）,。,第55页,例12-2,牵引车主动轮质量为,m,，半径为,R,，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受主动力可简化为作用于质心两个力,S,、,T,及驱动力偶矩,M,，车轮对于经过质心,C,并垂直于轮盘轴回转半径为,，轮与轨道间摩擦系数为,f,试求在车轮滚动而不滑动条件下，驱动力偶矩,M,之最大值。,取轮为研究对象，虚加惯性力系：,解：,由动静法，得：,O,第56页,由(1)得,(4),把(5)代入(4)得：,由(2)得,F,N,=P+S,，要确保车轮不滑动，,必须,F,S,f F,N,=,f,(,P,+,S,)(5),可见，,f,越大越不易滑动。,O,第57页,例12-4,质量为,m,1,和,m,2,两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为,r,1,和,r,2,并装在同一轴两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴,O,转动惯量为,J,，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮角加速度（轴,O,处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。,第58页,由动静法：,列补充方程：,取系统为研究对象，,虚加惯性力和惯性力偶：,解：,方法1 用达朗贝尔原理求解,代入上式,第59页,方法2 用动量矩定理求解,依据动量矩定理：,取系统为研究对象,第60页,取系统为研究对象，任一瞬时系统,两边对时间,t,求导数，得,方法3 用动能定理求解,任意假定一个初始值,第61页,例12-5,在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动圆柱体和鼓轮,O,均为均质物体，各重为,G,和,Q,，半径均为,R,，绳子不可伸长，其质量不计,，,绳与轮之间无相对滑动,，斜面倾角,j,，如在鼓轮上作用一常力偶矩,M,，试求：(1)鼓轮角加速度？(2)绳子拉力？(3)轴承,O,处约束力？(4)圆柱体与斜面间摩擦力（不计滚动摩擦）？,第62页,解：,方法一 用动静法求解,列出动静法方程：,（2）取轮,A,为研究对象，虚加惯性力,F,IR,和惯性力偶,M,IC,如图示。,（1）取轮,O,为研究对象，虚加惯性力偶,第63页,列出动静法方程：,运动学关系：,将,M,I,A,，,F,I,A,，,M,I,A,及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,代入(2)、(3)、(5)式，得：,第64页,方法二 用动力学普遍定理求解,(1),用动能定理求鼓轮角加速度。,两边对,t,求导数：,第65页,(2),用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）,取轮,O,为研究对象，由动量矩定理得,(3)用质心运动定理求解轴承,O,处约束力,取轮,O,为研究对象，依据质心运动定理：,第66页,(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力,方法三：用动能定理求鼓轮角加速度,取圆柱体,A,为研究对象，依据刚体平面运动微分方程,用达朗贝尔原理求约束力（绳子拉力 、轴承,O,处反力 和 及摩擦力 ）。,第67页,12-,3,.匀质轮重为,G,，半径为,r,，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度,，角加速度为,，求轮对质心,C,转动惯量，轮动量、动能，对,质心,C,和水平面上,O,点,动量矩，向质心,C,和水平面上,O,点简化惯性力系主矢与主矩。,解：,思索题,第68页,例12-7,均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳,上，棒处于水平位置，如图（a）所表示。其中一绳BD,突然断了，求此瞬时AC绳得张力,F,。,(a),(b),【,解,】,当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系简化中心在质心C上。因瞬时系统速度特征量均为零，则点加速度为 。以A为基点，有,第69页,其中,l,为棒长。,虚加惯性力系，如图（b）所表示，有,则,因 ，得,又,得,第70页,【,思索题,】,1、是非题,（1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得到主矢都等于刚体质量与其质心加速度乘积，而取相反方向。（）,对,（2）质点有运动就有惯性力。（）,错,（3）质点惯性力不是它本身所受作用力，其施力体是质点本身。（）,对,第71页,1、选择题,（,1,）设质点在空中，只受到重力作用，试问在以下两种情况下，质点惯性力大小和方向怎样？（,a,）质点作自由落体运动；（,b,）质点被铅垂上抛,（）,A（,a,）与（,b,）惯性力大小相等，方向都铅直向下,B（,a,）与（,b,）惯性力大小相等，方向都铅直向上,C（,a,）与（,b,）惯性力大小相等，（,a,）向上、（,b,）向下,D（,a,）与（,b,）惯性力大小相等，（,a,）向下、（,b,）向上,B,第72页,（2）如图所表示，半径为,R,，质量为m均质细圆环沿水平直线轨道作匀速纯滚动，试问应怎样虚加惯性力系？(),A,.,虚加惯性力 且 过速度瞬心,O,，铅直向下,B,.,虚加惯性力 且 过速度瞬心,O,，铅直向上,C,.,虚加惯性力偶矩 ，且为反时针转向,D,.惯性力系组成平衡力系,D,第73页,（3）如图所表示，车顶悬挂一质量为,m,单摆，当车加速度,a,沿直线加速行驶时，摆向后偏移。用达朗贝尔原理求小车加速度,a,为 (),A,B,C,D,D,3,如图所表示，均质杆,AB,质量为4,kg,，,B,端置于光滑水平面上。在杆端作用一水平推力,P,=60N，使杆,AB,沿,P,力方向作直线平移。试用动静法求,AB,杆加速度和角,之值。,答案：,第74页,解,：这是一个含有两个自由度系统，取角,及,为广义坐标，现用两种方法求解。,例2,均质杆,OA,及,AB,在,A,点用铰连接，并在,O,点用铰支承，如图所表示。两杆各长2,a,和2,b,，各重,P,1,及,P,2,，设在,B,点加水平力,F,以维持平衡，求两杆与铅直线所成角,及,。,y,第75页,应用虚位移原理，,代入(,a,),式，得：,解法一：,第76页,因为 是彼此独立，所以：,由此解得：,第77页,而,代入上式，得,解法二：,先使,保持不变，而使,取得变分 ，得到系统一组虚位移，如图所表示。,第78页,再使,保持不变，而使,取得变分 ，得到系统另一组虚位移，如图所表示。,而,代入上式后，得：,图示中：,第79页,例3,多跨静定梁，求支座,B,处反力。,解,：将支座,B,除去，代入对应约束反力 。,第80页,第81页,例4,滑套,D,套在光滑直杆,AB,上，并带动杆,CD,在铅直滑道上滑动。已知,=0,o,时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在,AB,杆上力偶矩,M,？,解,：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故能够用虚位移原理求解。,第82页,选择,AB,杆、,CD,杆和滑套,D,系统为研究对象。,由虚位移原理，得：,第83页,
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