环境统计学-一元线性回归2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,环 境 统 计 学,第1章 绪论,第2章概率统计基础,第3章环境一元线性回归分析,第4章环境多元线性回归分析,第5章环境系统聚类分析,第6章环境模糊聚类分析,第7章环境判别分析,第8章环境主成分分析,第9章环境因子分析,第10章人工神经网络,第11章环境空间统计分析,1,随机事件,随机试验,随机事件,事件的运算,概率,概率,古典概率,概率计算,数学特征,数学期望,方差,变异系数,协方差,相关系数,概率,数学特征,随机事件,概率分布,正态分布,t分布,x,2,分布,F分布,概率分布,统计推断,参数估值,点估计,区间,估计,置信区间,假设检验,统计推断,概率统计基础,2,COD的测试,微回流重铬酸钾测试方法,3,正态分布的概念及特征,一、正态分布图形,两头低，中间高，左右对称，呈钟型的单峰曲线。,6,正态分布的两个参数,（1）,位置参数：,当 一定时，越大，曲线越向右移动；越小，曲线越向左移动。,（2）,离散度参数,，决定曲线的形态：,当一定时，,越大，表示数据越分散，曲线越,“,胖,”,；,越小，表示数据越集中，曲线越,“,瘦,”,。,7,标准正态分布,一、标准正态分布与标准化变换,正态分布是一个分布族。对应于不同的参数和会产生不同位置不同形状的正态分布。,8,为了应用方便，令,u服从均数为0、标准差为1的正态分布,标准正态分布,u变换,9,我们称=0,2,=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。,标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作,(u),和,(u),，由(1)及(2)式得：,(3),(4),随机变量,u,服从标准正态分布，记作,u,N,(0，1)，,10,标准正态分布,X,m,s,一般正态分布,=1,Z,标准正态分布,11,标准正态分布表,3 2 1 0 1 2 3 ,(u),附表,12,查表确定标准正态分布曲线下的面积时必须注意：,（1）当，和X已知时，先按u变换公式求得u值，再用u值查表；,13,当，和X未知时，用样本均数和样本标准差S代替求u值。,14,例13,已知110名7岁男童 X=121.95cm,S=4.72cm,欲估计身高界于116.5-119.0cm范围内的7岁男童比例及人数。,116.5 119.0,求该面积,15,116.5121.95,u,1,=1.15,4.72,119.0121.95,u,2,=0.63,4.72,16,(u1),=,(-1.15)=0.1251,(u2),=,(-0.63)=0.2643,(u2)-(u1),=,0.2643,-,0.1251,=0.1392=13.92%,即,身高界于,116.5-119.0cm,范围内的7岁男童比例为,13.92%,，,其人数为,11013.92%=15,（人）。,17,高考的例子,18,在解决实际问题中，当构造了统计模型，,我们首先关心的是分布族中的那一个分布产,生了我们所抽取的数据，即就是要从样本来,推断总体的分布或所感兴趣的总体特征数,（如总体,均值,、,方差,等）。,统计推断分为,参,数估计,和,假设检验,，,统计推断,19,假设检验,参数假设检验,非参数假设检验,这类问题称作假设检验问题.,总体分布已知，,检验关于未知参数,的某个假设,总体分布未知时的,假设检验问题,在本讲中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是,根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.,假设检验,20,参数检验的一般步骤：,1.提出原假设:H,0,;,2.选择统计量,3.对给定的显著性水平,查临界值,统计量，,得否定域为：,计算统计量,查表统计量,4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,线性关系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.,21,在大样本的条件下，若能求得检验统计量的,极限分布，依据它去决定临界值C.,F,检验 用,F,分布,一般说来，,按照检验所用的统计量,分为,U,检验 用正态分布,t,检验 用,t,分布,检验,用,分布,22,环 境 统 计 学,第1章 绪论,第2章概率统计基础,第3章环境一元线性回归分析,第4章环境多元线性回归分析,第5章环境系统聚类分析,第6章环境模糊聚类分析,第7章环境判别分析,第8章环境主成分分析,第9章环境因子分析,第10章人工神经网络,第11章环境空间统计分析,23,变量间的关系,函数关系或确定性关系：,研究的是确定现象非随机变量间的关系。,统计关系：,研究的是非确定现象随机变量间的关系。,变量之间的关系，大体可分为两类：,银行的1年期存款利率为年息2.25%，存入的本金设为x，到期本息为y，则存在关系：(不考虑利息税）,水污染程度y与城市人口规模x之间的关系,收入水平y与受教育程度x之间的关系,第三章 环境一元线性回归分析,24,对变量间,统计关系,的考察主要是通过,相关分析(correlation analysis),或,回归分析(regression analysis),来完成的：,25,几点注意,不线性相关并不意味着不相关；,有相关关系并不意味着一定有因果关系；,相关分析,研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系；,相关分析,对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。,回归分析,对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,26,回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。,这里前一个变量被称为,被解释变量,（Explained Variable）或,应变量,（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为,解释变量,（Explanatory Variable）或,自变量,（Independent Variable）。,回归分析的基本概念,水污染程度y与城市人口规模x之间的关系,收入水平y与受教育程度x之间的关系,27,“回归”一词的历史渊源,“回归”一词最早由Francis Galton引入。Galton发现，虽然父母的身高对子女的身高起到决定性作用，但给定父母的身高后，他们儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归”到社会平均水平。Galton的普遍回归定律（law of universal regression)。,Galton的朋友Karl Pearson通过收集一些家庭的1000多名成员的父子身高数据，证明儿子确实“回归到中等（regression to mediocrity)”,28,回归模型的类型,29,散点图,(scatter diagram),不相关,负线性相关,正线性相关,非线性相关,完全负线性相关,完全正线性相关,30,由于,y,与,x,之间不存在完全确定的函数关系,因此,必须把随机波动产生的影响考虑在内于是模型的,一般形式为,y,i,=f,(,x,i,),+,其中,y,是随机变量，,x,是普通变量，是随机项,线性回归模型,y,i,=f,(,x,i,),x,y之间函数关系表示为,31,若进行,n,次独立试验，得到变量,y,与,x,的一组观测值,（,x,i,，,y,i,）,（,i=,1，2，,n,）,，,则有,y,i,=f,(,x,i,),+,i,（,i=,1，2，,n,）,将点,(,x,i,y,i,),画在平面直角坐标系中得到的图称为散,点图（见图）,图14-10,32,如果所有的散点大体上散布在某一条直线附近,（见图），就可以认为,Y,对,x,的回归函数的类型为,直线型，即 ,称此方程为,Y,对,x,的回归直线方程,并称其中,b,的为回归系数,在,y,的上方加“”，是为了区别于,Y,的实际观测值,y,如果随机变量,Y,与非随机变量,x,之间存在着线性相关关系,则可用回归直线方程 来描述.,图14-11,33,回归直线方程,图14-11,求算,a,和,b,34,一元线性回归参数求解,最小二乘法,35,最小二乘法,设,n,次试验得到的观测数据为,（,x,1,，,y,1,),(,x,2,，,y,2,),，（,x,n,，,y,n,）,则有,（,i=,1，2，,n,）,即 （,i=,1，2，,n,）,取全部误差的平方和为,36,最小二乘估计,(图示),x,y,(,x,n,y,n,),(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,i,y,i,),i,=,y,i,-,y,i,37,上式中只有,a,，,b,是未知数，即,Q,是,a,，,b,的函数,要找出一条总的看来最接近这,n,个观测点的直线，就是要求出使,Q,取得最小值的,a,，,b,（记作 ，）.由于平方又叫做二乘方,因此把这种使“偏差平方和为最小”的方法称为最小二乘法.这样求得的 ，称为参数,a,，,b,的最小二乘估计,38,，的求法如下,39,解此方程组，可得,为了方便记忆，引入记号,整理可得,其中，,40,于是有,41,例1.,某河流溶解氧浓度（单位：mg/L)随着流动时间而下降，现测得8组数据，如下表所示。求它们之间的关系。,举例说明,流动时间,/d,0.5,1.0,1.6,1.8,2.6,3.2,3.8,4.7,溶解氧浓度y/mg/L,0.28,0.29,0.29,0.18,0.17,0.18,0.10,0.12,42,列出回归分析表：,将这8对数字看作平面上点的坐标画出(见图),易见所有散点大体上分布在一直线的附近,因此,可设DO量,y,对流动时间,x,的回归方程为,43,1,0.5,0.28,0.140,0.250,0.078,2,1.0,0.29,0.290,1.000,0.084,3,1.6,0.29,0.464,2.560,0.084,4,1.8,0.18,0.324,3.240,0.032,5,2.6,0.17,0.442,6.760,0.029,6,3.2,0.18,0.576,10.240,0.032,7,3.8,0.10,0.380,14.440,0.010,8,4.7,0.12,0.564,22.090,0.014,19.20,1.61,3.18,60.58,0.3647,流动时间,/d,0.5,1.0,1.6,1.8,2.6,3.2,3.8,4.7,溶解氧浓度y/mg/L,0.28,0.29,0.29,0.18,0.17,0.18,0.10,0.12,回归分析表,44,所求回归直线为,从而,45,解：将有关的数据代入公式，计算建立的标准曲线为,例2,：用分光光度法测定氨溶液中的铜氨离子，以水参比，在600nm测定铜氨显色溶液的吸光度A，得到结果如下：,c/mol/L 0.002 0.003 0.005 0.008 0.012 A 0.12 0.14 0.27 0.40 0.52,试根据所得到的数据建立吸光度A与铜氨离子浓度c之间的回归方程。,建立的标准曲线为,46,线性回归的显著性检验,47,1偏差平方和的分解,只反映了,x,对,y,的影响，所以回归值,线性回归的显著性检验,就是 中只受 影响的那一部分，而 就是除去,了 的影响后受其它种种因素影响的部分,故将,称为残差,(,或剩余,),于是观测值 可以分解为两部分,=,（回归值）+（）（残差）,48,将偏差平方和分解,49,可以证明,记,于是,L,yy,=S,回,+S,残,S,回,反映了回归值 ，的分散程度.称,S,回,为回,=,-,=,n,i,i,y,y,S,回,1,2,),(,50,归平方和.至于,S,残,，则是在总偏差中已分离出,x,对,y,的线性,影响之外的其余因素所产生的误差，它反映了观测值偏,离回归直线的程度.在 的假定下,S,残,完全,是由随机项引起的，称,S,残,为剩余平方和.,注意到,=,-,=,n,i,i,y,y,S,回,1,2,),(,51,沿用前面的记号,L,xx,和,L,xy,，便有,52,不能描述随机变量,Y,与非随机变量,x,之间的相关关系.,在 中，如果,b=,0，,就说明线性回归方程,相关性检验的统计假设,所以，为了判断,y,与,x,之间是否存在线性相关关系,应当提出的待检假设是,H,0,：,b=,0,2显著性检验F检验法,53,保留前面公式 （,i=,1，2，,n,）中,对所做的假定,当,H,0,：,b=,0,成立时，统计量,2显著性检验F检验法,越大，则,越小，,x,对,y,的影响就越大；,越小,则,越大，,x,对,y,的影响就越小；因此,，,的相对比值就反,映了,x,对,y,的影响程度的大小,L,yy,给定后，的大小就反映了,x,对,y,的影响程度，,S,残,S,回,S,残,S,回,S,回,S,残,S,残,S,回,54,对给定的检验水平 ，由,F,分布表，可查得满足,的临界值 .如果 ,就接受假设,H,0,，,认为,Y,对,x,的线性相关关系不显著；如果 ，,就否定假设,H,0,，认为,Y,对,x,的线性相关关系显著；如果,亦否定假设,H,0,，而且认为,Y,对,x,的线性相关关系,特别显著.这种检验方法称为,F,检验,55,2显著性检验F检验法,例1.,某河流溶解氧浓度（单位：mg/L)随着流动时间而下降，现测得8组数据，如下表所示。求它们之间的关系。,流动时间,/d,0.5,1.0,1.6,1.8,2.6,3.2,3.8,4.7,溶解氧浓度y/mg/L,0.28,0.29,0.29,0.18,0.17,0.18,0.10,0.12,检验方法：,（1）,（2）查表,（3）判定：线性关系显著,56,(F-检验)显著性检验一般步骤：,1.提出原假设:H,0,:b=0;,2.选择统计量,3.对给定的显著性水平,查临界值,F,(1,n,-2),得否定域为,F,F,(1,n,-2);,4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,线性关系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.,57,样本相关系数的计算公式,或化简为,协方差cov（x，y）,Var（x）Var（y）,2显著性检验相关系数检验法,58,2显著性检验相关系数检验法,59,2显著性检验相关系数检验法,例1.,某河流溶解氧浓度（单位：mg/L)随着流动时间而下降，现测得8组数据，如下表所示。求它们之间的关系。,流动时间,/d,0.5,1.0,1.6,1.8,2.6,3.2,3.8,4.7,溶解氧浓度y/mg/L,0.28,0.29,0.29,0.18,0.17,0.18,0.10,0.12,检验方法：,60,相关系数检验法:,1.提出原假设:H,0,:b=0;,2.选择统计量,3,.对给定的显著性水平,查临界值,r,(,n,-2),得否定域为,r,r,(,n,-2);,4.,代入样本信息,r落入否定域则否定原假设,线性关,系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.,61,例1.,某河流溶解氧浓度（单位：mg/L)随着流动时间而下降，现测得8组数据，如下表所示。求它们之间的关系。,流动时间,/d,0.5,1.0,1.6,1.8,2.6,3.2,3.8,4.7,溶解氧浓度y/mg/L,0.28,0.29,0.29,0.18,0.17,0.18,0.10,0.12,SPSS求解方法,62,SPSS求解方法,点选Analyze,Regression,Linear，进入Linear Regression,对话框。,63,在左侧变量列表中选“,流动时间x,”，点击右箭头按钮进入,“Indenpendent”;,选”,DO值y,“，点击右箭头按钮进入“Dependent”.,64,选择Descrptives和Confidence Intervals选项，其中Estimates和,Model Fit为默认选项。点击Continue按钮，,返回Linear Regression对话框。点击OK即可得以下输出结果。,65,输出结果,1.描述统计量,2.相关系数矩阵,66,3.变量选择方式,4.模型概要,67,5.方差分析和F检验,6.参数估计和回归参数的t检验,68,一元线性回归分析的前提条件,1）直线相关关系,2）两个变量之间存在显著相关,3）足够多的已知资料，并且自变量因变量明确,4）,值相互独立，且同方差，,N（0，,2,）,69,可化为一元线性回归的曲线回归,1.倒数变换,（1）双曲线,反比例函数：,（2）S型曲线,70,可化为一元线性回归的曲线回归,2.对数变换,（1）指数函数,指数函数：,（2）幂函数,71,Example,环境科学,膜生物反应器中膜过滤特征及膜污染机理的研究.环境科学.2005,27(12):2511-2517.,Link,用超滤膜过滤活性污泥，测每克在膜上的污泥产生多少过滤阻力,72,环境方面的期刊,环境方面,期刊,中文期刊,外文期刊,1 环境科学 2 中国环境科学,3 环境科学学报 4 环境污染治理技术与设备,5 环境科学研究 6 农业环境科学学报,7 环境化学 8 自然灾害学报,9 环境工程 10 环境保护,11 环境污染与防治 12 工业水处理,13 环境科学与技术 14 自然资源学报,15 农村生态环境16 水处理技术 17 化工环保 18 中国人口、资源与环境 19 中国环境监测,1.Environmental science&technology,2.Water Research,4.Bioresource Technology,3.,CRITICAL REVIEWS IN ENVIRONMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY,5.Water Environment Research,6.Process Biochemistry,7.Water Science and Technology,8.Journal of Membrane Science,9.Separation Science and Technology,10.Water,Air,&Soil Pollution,11.Environmental Technology,12.Journal of Environmental Sciences,73,期刊知识,影响因子（impact factor),SCI,SCI分区：,Link,2009年浙江师范大学论文情况,Link,期刊的影响因子(Impact factor，IF)，是表征期刊影响大小的一项定量指标。也就是某刊平均每篇论文的被引用数，它实际上是某刊在某年被全部源刊物引证该刊前两年发表论文的次数，与该刊前两年所发表的全部源论文数之比。,(Science Citation Index,SCI)是由美国科学信息研究所(ISI)1961年创办出版的引文数据库.SCI(,科学引文索引,)、EI(工程索引)、ISTP(科技会议录索引)是世界著名的三大科技,文献,检索系统，是国际公认的进行科学统计与科学评价的主要检索工具,其中以SCI最为重要,为什么说清华大学比浙江师范大学好？,74,环境应用,例3.,大气环境污染问题中，风速往往是一个重要因素。在城镇街道距地面2m高空中的风速，可由气象站测得的风速推算得到。,某城镇实测的风速数据如下表所示，试计算两种风速间的线性方程式，并作相关性试验，以及计算残差平方和,实验编号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,日平均风速x,4.3,2.7,3.3,4.7,4.3,5.7,6.0,6.0,5.3,6.0,街道风速y,3.0,3.5,3.5,4.0,4.5,2.5,4.0,4.0,4.5,4.5,实验编号,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,日平均风速,5.0,3.7,2.7,1.0,1.0,2.7,1.0,0.7,0.7,0.7,街道风速y,3.5,2.2,1.8,1.2,1.0,2.0,1.2,1.0,1.0,0.4,75,环境应用,解：,（1）先作散点图,76,环境应用,解：,（2）列回归分析表,1,4.3,3.0,12.9,18.5,9.0,2,2.7,3.5,9.5,7.3,12.3,3,3.3,3.5,11.6,10.9,12.3,4,4.7,4.0,18.8,22.1,16.0,5,4.3,4.5,19.4,18.5,20.3,6,5.7,2.5,14.3,32.5,6.3,7,6.0,4.0,24.0,36.0,16.0,8,6.0,4.0,24.0,36.0,16.0,9,5.3,4.5,23.9,28.1,20.3,10,6.0,4.5,27.0,36.0,20.3,11,5.0,3.5,17.5,25.0,12.3,12,3.7,2.2,8.1,13.7,4.8,13,2.7,1.8,4.9,7.3,3.2,14,1.0,1.2,1.2,1.0,1.4,15,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,16,2.7,2.0,5.4,7.3,4.0,17,1.0,1.2,1.2,1.0,1.4,18,0.7,1.0,0.7,0.5,1.0,19,0.7,1.0,0.7,0.5,1.0,20,0.7,0.4,0.3,0.5,0.2,67.5,53.3,226.1,303.6,178.9,回归分析表,77,环境应用,解：,（3）计算,78,环境应用,解：,（4）显著性检验,查表：,线性显著,线性显著,79,环境应用,SPSS求解方法,80,环境应用,文章,1,，,2,，,3,线性回归在环境科研中应用是非常广泛的,主要研究一个因素对另一个因素的影响,81,大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音,alpha alfa 阿耳法,beta beta 贝塔,gamma gamma 伽马,deta delta 德耳塔,epsilon epsilon 艾普西隆,zeta zeta 截塔,eta eta 艾塔,theta ita 西塔,iota iota 约塔,kappa kappa 卡帕,lambda lambda 兰姆达,mu miu 缪,nu niu 纽,xi ksi 可塞,omicron omikron 奥密可戎,pi pai 派,rho rou 柔,sigma sigma 西格马,tau tau 套,upsilon jupsilon 衣普西隆,phi fai 斐,chi khai 喜,psi psai 普西,omega omiga 欧米伽,82,LOGO,THIS IS END,SEE YOU,83,