计算机图形学曲线和曲面市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章曲线和曲面,4.1 曲线和曲面基础,4.2 二次插值样条曲线,4.3 三次插值样条曲线,4.4 Bezier曲线和曲面,4.5 B样条曲线,第1页,曲线或曲面分为两大类：,规则曲线或曲面：,能够用一个确切曲线或曲面方程式来表示。比如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物面、正弦曲线、摆线、螺线等。,不规则曲线或曲面：,不能确切给出描述整个曲线或曲面方程，是由实际测量中得到一系列离散数据点用拟合方法来迫近。普通采取分段多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续曲线或曲面，称为,样条曲线或曲面,。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。,4.1 曲线和曲面基础,第2页,一、,直角坐标表示,1、显式：,y,=,f,(,x,)，如,y,=,sin(,x,)。,2、隐式：,f,(,x,y,),=,0，如,x,2,+,y,2,=,1。,3、转换成参数坐标表示：,普通形式：,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),显式表示,y,=,f,(,x,)曲线转换成参数坐标表示：,x,=,x,y,=,f,(,x,),4.1.1 规则曲线或曲面表示法,第3页,隐式表示,f,(,x,y,),=,0曲线转换成参数坐标表示：,惯用主要曲线基本上都能用参数坐标表示。比如，星形线直角坐标表示（隐式）：,x,2,/,3,+,y,2,/,3,=,R,2,/,3,（,R,正常数）,写成参数坐标表示：,x,=,R,cos,3,y,=,R,sin,3,（0,2,）,4.1.1 规则曲线或曲面表示法,第4页,二、极坐标表示,对任意极坐标曲线,=,(,)，可利用极坐标与直角坐标变换关系式：,x,=,cos,y,=,sin,将此曲线转换成参数坐标表示为：,x,=,(,)cos,y,=,(,)sin,4.1.1 规则曲线或曲面表示法,第5页,极坐标与直角坐标变换关系式为：,x,=,cos,y,=,sin,将,=a,代入上面两式，,阿基米德螺线用参数坐标表示为：,x,=,a,cos,y,=,a,sin,比如，主要曲线阿基米德螺线极坐标表示：,=,a,（,a,正常数）,4.1.1 规则曲线或曲面表示法,第6页,三、参数坐标表示,曲线参数坐标普通表示为：,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),比如，弹道曲线：,x,=,V,0,t,cos,y,=,V,0,t,sin,gt,2,/,2,（0,t,2,V,0,Sin,/g,）,式中,V,0,、,g,、,均为常数，,t,为参数变量。,4.1.1 规则曲线或曲面表示法,第7页,4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,惯用二次或三次参数样条曲线或曲面形式以下：,二次参数样条曲线：,P,(,t,)=,A,0,+,A,1,t,+,A,2,t,2,三次参数样条曲线：,P,(,t,)=,A,0,+,A,1,t,+,A,2,t,2,+,A,3,t,3,1型值点：,是指经过测量或计算得到曲线或曲面上少许描述其几何形状数据点。,2控制点：,是指用来控制或调整曲线或曲面形状特殊点，曲线或曲面本身,不一定,经过该控制点。,第8页,3插值与迫近,插值方法要求建立曲线或曲面数学模型，严格经过已知每一个型值点。而迫近方法建立曲线或曲面数学模型只是近似地靠近已知型值点。,4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,4拟合,是指在曲线或曲面设计过程中，用插值或迫近方法使生成曲线或曲面到达一些设计要求，如在允许范围内贴近原始型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。,拟合是插值与迫近两种设计方法统称。,第9页,5参数连续性与几何连续性,设计一条复杂曲线时，经常经过多段曲线组合而成，这需要处理曲线段之间光滑连接问题。,为确保分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，能够在连接点处要求各种参数连续性条件。,4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,第10页,0,阶参数连续性：记作,C,0,连续，是指曲线相连，即前一个曲线段终点与后一个曲线段起点相同。,P(1)=Q(0),一阶参数连续性：记作,C,1,连续，,是指,两个相邻曲线段在连接点处有相同一阶导数。,P,(1)=Q,(0),二阶参数连续性：记作,C,2,连续，是指两个,相邻,曲线段在连接点处有相同一阶和二阶导数。,P,(1)=Q,(0)且P,(1)=Q,(0),4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,第11页,连接两个相邻曲线段另一个方法是指定几何连续性条件。这种情况下，只需相邻两个曲线段在连接点处参数导数成百分比而不是相等。,0,阶几何连续性：记为,G,0,连续，与,C,0,连续,相同，即,前一个曲线段终点与后一个曲线段起点相同,。,P(1)=Q(0),4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,第12页,一阶几何连续性：记为,G,1,连续，指,两个相邻曲线段在连接点处一阶导数成百分比但不一定相等。P,(1)=,Q,(0)(,0),二阶几何连续性：记为,G,2,连续，指两个,相邻,曲线段在连接点处一阶导数和二阶导数均成百分比,但不一定相等,。,P,(1)=,Q,(0)且P,(1)=,Q,(0)(,0，0),4.1.2,参数样条曲线或曲面惯用术语,第13页,4.2 二次插值,样条曲线,在拟合生成样条曲线众多方法中，首先来讨论用插值方法生成经过给定离散型值点二次样条曲线，,即抛物样条曲线。,二次插值样条曲线数学表示式,二次插值样条曲线加权合成,二次插值样条曲线端点条件,二次插值样条曲线性质,第14页,4.2.1 二次插值样条曲线数学表示式,已知,不在同一直线上三点,P,1,、,P,2,、,P,3,，要求经过给定这三点定义一条抛物线。,P,1,P,2,P,3,二次样条曲线参数化表示式,为：,P,(,t,)=,A,1,+,A,2,t,+,A,3,t,2,(0,t,1),(4-1),A,1,、,A,2,、,A,3,为表示式系数，且是向量形式。若是二维平面曲线，则为二维向量；若是三维空间曲线，则为三维向量。,第15页,确定系数A,1,、A,2,、A,3,三个独立条件,：,该曲线过,P,1,、,P,2,、,P,3,三个点，而且：,曲线段以,P,1,点为始点。即当参变量,t,=0,时，曲线过,P,1,点；,曲线段以,P,3,点为终点。即当参变量,t,=1时，曲线过,P,3,点；,当参变量,t,=0.5,时，曲线过,P,2,点，且切矢量等于,P,3,P,1,。,P,1,P,2,P,3,Q,A,P,2,t,=0,t,=0.5,t,=1,4.2.1 二次插值样条曲线数学表示式,第16页,依据以上设定三个独立条件，能够列出方程组：,t,=,0：,P,(0)=,A,1,=,P,1,t,=,1：,P,(1)=,A,1,+,A,2,+,A,3,=,P,3,(4-2),t,=,0,.,5,：,P,(0,.,5)=,A,1,+,0,.,5,A,2,+,0,.,25,A,3,=,P,2,解得三个系数,A,1,、,A,2,、,A,3,分别为：,4.2.1 二次插值样条曲线数学表示式,A,1,=,P,1,A,2,=,4,P,2,P,3,3,P,1,(4-3),A,3,=,2,P,1,+2,P,3,4,P,2,第17页,把求出三个系数代入到式(4-1)中，可得：,P,(,t,)=,A,1,+,A,2,t,+,A,3,t,2,=,P,1,+(4,P,2,P,3,3,P,1,),t,+,(2,P,1,+2,P,3,4,P,2,),t,2,(0,t,1),=,(2,t,2,3,t,+,1),P,1,+(,4,t,2,+,4,t,),P,2,+,(2,t,2,t,),P,3,(4-4),把式(4-4)改写成矩阵形式为：,P,(,t,)=,t,2,t,1,(4-5),4.2.1 二次插值样条曲线数学表示式,第18页,式(4-5),中,P,(,t,)是一个点向量，在二维平面上它包含了两个坐标值,x,(,t,),y,(,t,)，故式(4-5)直观形式能够写成以下形式：,x,(,t,),y,(,t,)=,t,2,t,1,(4-6),4.2.1 二次插值样条曲线数学表示式,第19页,例题：已知平面三点,P,1,(10,5)，P,2,(20,20)，P,3,(40,15),，求这,3,点确定二次插值样条曲线。,解：曲线方程为：,即：,(0,t,1),第20页,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,设有一个离散型值点列,P,i,(,i,=1,2,n,)，能够按式,(4-5),每经过相邻三点作一段抛物线，因为有,n,个型值点，所以像这么抛物线段一共能够作出,n,2,条。,P,1,P,2,P,3,P,4,P,5,P,n,-2,P,n,-1,P,n,产生,n,2条抛物线,段,第21页,第,i,条抛物线段经过,P,i,、,P,i,+1,、,P,i,+2,三点，其表示式为：,S,i,(,t,i,)=(2,t,i,2,3,t,i,+1),P,i,+(4,t,i,4,t,i,2,),P,i,+1,+(2,t,i,2,t,i,),P,i,+2,(0,t,i,1),(4-7),第,i,+1条抛物线段经过,P,i,+1,、,P,i,+2,、,P,i,+3,三点，其表示式为：,S,i,+1,(,t,i,+1,)=(2,t,i,+1,2,3,t,i,+1,+1),P,i,+1,+(4,t,i,+1,4,t,i,+1,2,),P,i,+2,+(2,t,i,+1,2,t,i,+1,),P,i,+3,(0,t,i,+1,1)(4-8),经过四点所画出两条抛物线段,S,i,(,t,i,),和,S,i,+1,(,t,i,+1,),图形,P,i,P,i,+1,P,i,+2,P,i,+3,S,i,S,i,+1,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,第22页,普通来说，每两段曲线之间搭接区间，两条抛物线是不可能重合。,S,i,和,S,i,+1,两条抛物线在,P,i,+1,和,P,i,+2,两点之间为搭接区间，在该区间内，,S,i,和,S,i,+1,不太可能自然地重合成一条曲线。,对于拟合曲线来说，整个型值点列必须只能用一条光滑曲线连接起来。所以，在,S,i,和,S,i,+1,两条曲线,搭接,区间内，必须有一个方法能够让它们按照一定法则结合成一条曲线，这么结合方法就是,加权合成,。,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,P,i,P,i,+1,P,i,+2,P,i,+3,S,i,S,i,+1,第23页,在加权合成过程中，首先要选择两个适当权函数。这里选择两个权函数分别设为,f,(,T,)和,g,(,T,)，加权合成后曲线用,P,i,+1,(,t,)表示，则：,P,i,+1,(,t,),=,f,(T),S,i,(,t,i,),+,g,(,T,),S,i,+1,(,t,i,+1,)(4-9),4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,在抛物样条曲线中，权函数,f,(,T,)和,g,(,T,)都是简单一次函数，且它们之间存在互补性。它们分别为：,f,(,T,)=1,T,g,(,T,)=,T,(0,T,1),第24页,这么，式(4-9)可改写为：,P,i,+1,(,t,)=(1,T,),S,i,(,t,i,),+,T,S,i,+1,(,t,i,+1,)(4-10),式,(4-10),中包含了三个参变量,T,、,t,i,、,t,i,+1,，必须要统一这三个参变量：,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,参变量,取值范围,搭接处取值范围,t,i,0,1,0.5,1,t,i,+1,0,1,0,0.5,T,0,1,0,1,第25页,这里选择,t,作为统一后参变量，把原有三个参变量,T,、,t,i,、,t,i,+1,都化成唯一含有,t,形式，并给,t,要求一个适当取值范围。假设,t,取值范围为：,0,t,0.5,，则三个参变量可统一形式为：,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,T,=2,t,t,i,=0.5+,t,0,t,0.5,t,i,+1,=,t,则式(4-10)可依据新参变量,t,改写成以下形式：,P,i,+1,(,t,)=(12,t,),S,i,(,t,+0.5),+,2,t,S,i,+1,(,t,)(4-11),第26页,其中：,S,i,(,t,+0.5)=(2,t,2,t,),P,i,+(14,t,2,),P,i,+1,+(2,t,2,+,t,),P,i,+2,S,i,+1,(,t,)=(2,t,2,3,t,+1),P,i,+1,+(4,t,4,t,2,),P,i,+2,+(2,t,2,t,),P,i,+3,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,把以上两式代入式(4-11)，展开、整理后可得：,P,i,+1,(,t,)=(4,t,3,+4,t,2,t,),P,i,+(12,t,3,10,t,2,+1),P,i,+1,+(12,t,3,+8,t,2,+,t,),P,i,+2,+(4,t,3,2,t,2,),P,i,+3,(,i,=1,，,2,，,n,3)(0,t,0.5)(4-12),第27页,P,i,P,i,+1,P,i,+2,P,i,+3,P,i,+1,(,t,),每相邻四个点能够决定中间一段抛物样条曲线,假如一个离散点列,P,i,含有,n,个型值点，即,i,=1,，,2,，,n,。那么依据式,(4-12),，加权合成后能够生成,n,3,段抛物样条曲线。即式,(4-12),中,i,取值范围为：,i,=,1,n,3,。,4.2.2 二次插值,样条曲线加权合成,第28页,4.2.3,二次插值样条曲线端点条件,依据式,(4-12)，,在全部型值点列,P,i,(,i,=1,，,2,，,n,),中，只能得到,n,3,段曲线。但,n,个型值点之间应该有,n,1,个区段。,主要是因为,点列首、尾两段曲线,P,1,P,2,和,P,n,1,P,n,段，因为缺乏连续相邻四点这么条件而无法产生。,为了要产生首尾两段曲线，能够在原点列两端各增加一个辅助点,P,0,和,P,n,+1,。,P,0,P,1,P,2,P,n,-1,P,n,P,n,+1,增加点P,n+1,能够画出P,n-1,P,n,段,增加点P,0,能够画出P,1,P,2,段,第29页,增加点,P,0,和点,P,n+1,三种方法：,已知两端切矢,P,1,和,P,n,在由,P,1,、,P,2,、,P,3,三点所确定抛物线中，过,P,2,点曲线切矢,P,2,=,P,3,P,1,即：,P,1,=,P,3,P,2,依据上面原理可得：,P,1,=,P,2,P,0,P,0,=,P,2,P,1,P,n,=,P,n,+1,P,n,1,P,n,+1,=,P,n,1,+,P,n,这种端点情况，普通适合用于所求曲线要和已经存在曲线或直线相连接。,4.2.3,二次插值样条曲线端点条件,第30页,自由端条件,让补点,P,0,和,P,n,+1,与原两端点,P,1,和,P,n,分别重合，即：,P,0,=,P,1,P,n,+1,=,P,n,这种补点方法称为自由端条件，该方法普通适合用于对曲线两端没有特殊要求。,4.2.3,二次插值样条曲线端点条件,第31页,形成封闭曲线,在,n,个型值点之间形成封闭曲线，要生成,n,个曲线段，而不是原来,n,1段。所以在补点中要,增,加3个点，首先让首尾两点重合，然后各向前后延长一点，即：,P,n,+1,=,P,1,P,0,=,P,n,P,n,+2,=,P,2,4.2.3,二次插值样条曲线端点条件,P,0,P,1,P,2,P,n,-1,P,n,P,n,+1,第32页,4.2.4,二次插值样条曲线性质,二次插值样条曲线连续性问题：,1、相邻两曲线段,P,i,+1,(t)和,P,i,+2,(t)在型值点,P,处相连。而且,P,i,+1,(,t,)在,P,点处参变量,t,=0.5，而,P,i,+2,(,t,)在,P,点处参变量,t,=0。,2、满足,C,1,连续，即,P,i,+1,(0.5)=,P,i,+2,(0)=,P,i+3,-,P,i+1,P,i,+1,(,t,),P,P,i,+2,(,t,),第33页,4.2.4,二次插值样条曲线性质,P,i,+1,(,t,)=(-4,t,3,+4,t,2,t,),P,i,+(12,t,3,10,t,2,+1),P,i,+1,+(-12,t,3,+8,t,2,+,t,),P,i,+2,+(4,t,3,2,t,2,),P,i,+3,(0,t,0.5),P,i,+1,(,t,)=(-12,t,2,+8,t,1),P,i,+(36,t,2,20,t,),P,i,+1,+(-36,t,2,+16,t,+1),P,i,+2,+(12,t,2,4,t,),P,i,+3,当,t,=0.5时：,P,i,+1,(0.5),=,P,i,+3,P,i,+1,P,i,+2,(,t,)=(-12,t,2,+8,t,1),P,i,+1,+(36,t,2,20,t,),P,i,+2,+(-36,t,2,+16,t,+1),P,i,+3,+(12,t,2,4,t,),P,i,+4,当,t,=0时：,P,i,+2,(0),=,P,i,+3,P,i,+1,所以得出,P,i,+1,(0.5)=,P,i,+2,(0),，说明能够到达,C,1,连续。,第34页,4.3,三次插值样条曲线,三次插值样条曲线在灵活性和计算速度之间进行了合理折中。与更高次样条相比，三次插值样条只需较少计算和存放，且较稳定。与二次插值样条相比，三次插值样条在模拟任意形状时显得更灵活。,三次插值样条曲线由分段三次多项式来描述。设其参变量为,t,，则分段三次插值样条曲线表示式普通形式为：,P,(,t,)=,B,1,+,B,2,t,+,B,3,t,2,+B,4,t,3,(0,tt,m,)(4-13),其中，,P,(,t,i,),=,x,(,t,i,),y,(,t,i,),z,(,t,i,),能够看作三次插值样条曲线上某一点位置向量，,t,i,是该点参变量，,x,(,t,i,),、,y,(,t,i,),、,z,(,t,i,),能够看作是该点坐标值。,第35页,式(4-13)中,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,为四个待定系数。必须确定这四个系数，这需要设定四个独立条件。,n,+1,个型值点产生,n,段曲线，每段曲线都需要确定,四,个系数。确定系数不一样方法造成不一样三次插值样条曲线：,三次自然样条曲线,Hermite样条曲线,Cardinal样条曲线,4.3,三次插值样条曲线,第36页,4.3.1,三次自然样条曲线,三次自然样条曲线是,最早用于图形应用,三次插值样条曲线。,三次自然样条曲线含有,C,2,连续性。,n,+1个型值点（,P,0,、,P,1,、,P,2,P,n,）插值产生,n,段曲线，,每段曲线有4个系数，,共有4,n,个多项式系数需要确定。,第37页,4.3.1,三次自然样条曲线,4,n,个多项式,系数,确实定：,对于每个内型值点(,P,1,、,P,2,P,n-1,，,共,n,-1,个)有,4,个边界条件：在该型值点两侧两个相邻曲线段在该点处含有相同一阶和二阶导数，而且两个曲线段都要经过该点。,4(,n,-1)个方程,曲线起点为第一个型值点,P,0,，曲线终点为最终一个型值点,P,n,。,2个方程,在,P,0,和,P,n,两点处设二阶导数为0。,2个方程,第38页,三次自然样条曲线能够做到曲线经过全部型值点。,缺点：,必须解方程组。,整条曲线受全部型值点控制，假如,型值点中有任何一个改动，则整条曲线都受影响。,所以，不允许“局部控制”。,在实际应用中极少采取三次自然样条曲线。,4.3.1,三次自然样条曲线,第39页,4.3.2 Hermite,样条曲线,Hermite样条曲线是以法国数学家Charles Hermite命名，它是一个分段三次多项式，而且在每个型值点处有给定切线。,与三次自然样条曲线不一样，Hermite样条曲线能够局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。,整条曲线经过全部型值点，对于每个曲线段来说，它经过两个相邻型值点。,第40页,4.3.2 Hermite,样条曲线,Hermite样条曲线段确实定：,已知：设曲线段起点和终点分别为,P,0,和,P,1,，而且曲线段在两端点处切矢量分别为,P,0,和,P,1,。参变量,t,是在两个端点取值0和1之间改变。,P,0,(,t,=0),P,0,P,1,(,t,=1),P,1,第41页,对于每个三次曲线段，有了四个独立条件：两个端点位置向量以及曲线段在两端点处切矢量。依据这四个条件能够,得到方程组，,求出分段表示式(,4-13,)中四个系数：,P,0,=,B,1,+,B,2,t,+,B,3,t,2,+B,4,t,3,=,B,1,(当,t,=0),P,1,=,B,1,+,B,2,t,+,B,3,t,2,+,B,4,t,3,=,B,1,+,B,2,+,B,3,+,B,4,(当,t,=1),P,0,=,B,2,+,2,B,3,t,+,3,B,4,t,2,=,B,2,(当,t,=0)(4-14),P,1,=,B,2,+,2,B,3,t,+,3,B,4,t,2,=,B,2,+2,B,3,+3,B,4,(当,t,=1),4.3.2 Hermite,样条曲线,第42页,式(4-14)写成矩阵形式：,(4-15),=,求,解上述方程组中,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,，可得Hermite样条曲线矩阵表示式：,(4-16),P,(,t,)=,t,3,t,2,t,1,4.3.2 Hermite,样条曲线,第43页,将式(4-16)展开，得到第k段Hermite样条曲线表示式：,P,(,t,)=,P,k,(2,t,3,-3,t,2,+1)+,P,k+1,(-2,t,3,+3,t,2,)+,P,k,(,t,3,-2,t,2,+,t,)+,P,k+1,(,t,3,-,t,2,),(4-17),Hermite样条曲线能局部修改，对一些数字化应用有用。,但对计算机图形学中大部分问题而言，除了型值点坐标外，更加好做法是不需要输入曲线斜率值或其它几何信息就能生成样条曲线。所以，出现了,Cardinal,样条，它不需要输入控制点上曲线导数值，而是采取控制点坐标位置来计算导数。,4.3.2 Hermite,样条曲线,第44页,4.3.3 Cardinal,样条曲线,Cardinal,样条曲线也是分段三次插值曲线，而且每个曲线段端点处均指定切线，但不一定要给出端点处切线值。,一个Cardinal样条曲线段由四个连续控制点给出。中间两个控制点是曲线段端点，另外两个控制点用来计算端点斜率。,设,P,(,t,),是两个控制点,P,k,和,P,k+1,间参数三次函数式，则从,P,k-1,到,P,k+2,间,4,个控制点用于建立,Cardinal,样条曲线段边界条件：,P,k-1,P,k,P,k+2,P,k+1,P,(,t,),第45页,P,0,=,P,k,P,1,=,P,k+1,P,0,=1/2(1-,ts,)(,P,k+1,-,P,k-1,)(4-18),P,1,=1/2(1-,ts,)(,P,k+2,-,P,k,),控制点,P,k,和,P,k+1,处斜率分别与弦,P,k-1,P,k+1,和,P,k,P,k+2,成正比。,参数,ts,：,称为张力参数，,它,控制,Cardinal,样条曲线与输入控制点之间松紧程度。,P,k-1,P,k,P,k+2,P,k+1,P,k,P,k+1,4.3.3 Cardinal,样条曲线,第46页,张力参数,ts,在Cardinal曲线形状中作用：,ts,0（曲线较紧）,4.3.3 Cardinal,样条曲线,第47页,P,(,t,)=,t,3,t,2,t,1,(4-19),其中，,s,=(1-,ts,)/2,。,将矩阵形式(4-19)展开，得,Cardinal样条曲线,多项式形式：,P,(,t,)=,P,k-1,(-,st,3,+2,st,2,-,st,)+,P,k,(2-,s,),t,3,+(,s,-3),t,2,+1+,P,k+1,(,s,-2),t,3,+(3-2,s,),t,2,+,st,+,P,k+2,(,st,3,-,st,2,)(4-20),能够将边界条件式,(4-18),转换成矩阵形式：,4.3.3 Cardinal,样条曲线,第48页,4.4 Bezier,曲线和曲面,Bezier,曲线形状是经过一组多边折线（也称,Bezier,多边形或特征多边形）唯一定义出来。,在多边折线各顶点中，只有第一点和最终一点是在曲线上，其余顶点用来定义曲线导数、阶次和形状。第一条边和最终一条边分别与曲线在起点和终点处相切。曲线形状趋于多边折线形状。改变多边折线顶点位置和曲线形状改变有直观联络。,P,0,P,1,P,2,P,3,P,0,P,1,P,2,P,3,P,0,P,1,P,2,P,3,第49页,4.4.1 Bezier,曲线数学表示式定义,n,+,1,个顶点定义一个,n,次多项式，其参数向量表示式为：,式(4-21)中，,P,i,为各顶点位置向量，,B,i,n,(,t,)为伯恩斯坦基函数，即Bezier多边形各顶点位置向量之间调和函数。该函数表示式为：,若要求：0,0,和0！均为1，则当,t,=0时：,P,(0)=,P,0,B,0,n,(0)+,P,1,B,1,n,(0)+,P,2,B,2,n,(0)+,+,P,n,B,n,n,(0),(4-21),(4-22),第50页,当,t,=0时，除第一项外其余各项均为0，即：,当,t,=1时：,P,(1)=,P,0,B,0,n,(1)+,P,1,B,1,n,(1)+,P,2,B,2,n,(1)+,+,P,n,B,n,n,(1),当,t,=1时，除最终一项外其余各项均为0，即：,得出结论：Bezier曲线经过多边折线起点和终点。,4.4.1 Bezier,曲线数学表示式定义,(4-23),(4-24),第51页,于是得：,(4-25),4.4.1 Bezier,曲线数学表示式定义,第52页,得出结论：,Bezier曲线在点,P,0,处与边,P,0,P,1,相切，在点,P,n,处与边,P,n,-1,P,n,相切。,4.4.1 Bezier,曲线数学表示式定义,同理，在终点,t,=1，有：,P,(1)=,n,(,P,n,-,P,n,-1,),(4-27),在起点,t,=0,，式,(4-25),中只有,i,=0,1,两项有效，即：,(4-26),第53页,4.4.2 Bezier曲线,性质,1、伯恩斯坦基函数性质：,非负性：,权性：,对称性：,递推性：,导函数：,第54页,4.4.2 Bezier曲线,性质,2、Bezier曲线性质：,端点位置矢量：,由式,(4-23)和式(4-24)得：,P,(0)=,P,0,，,P,(1)=,P,n,端点处切矢量：,由式,(4-26)和式(4-27)得：,P,(0)=,n,(,P,1,-,P,0,),P,(1)=,n,(,P,n,-,P,n,-1,),对称性：,若保持全部顶点位置不变，只是把次序颠倒过来，则新Bezier曲线形状不变，但方向相反。（表明同一特征多边形定义Bezier曲线是唯一）,第55页,4.4.2 Bezier曲线,性质,2、Bezier曲线性质（续）：,凸包性：,Bezier曲线完全被包容在由特征多边形形成凸包内。,几何不变性：,Bezier曲线形状仅取决于特征多边形顶点，而与坐标系选取无关。,第56页,4.4.3 一次Bezier,曲线,当,n,=1时，顶点,P,0,、,P,1,可定义一条一次(,n,=1),Bezier,曲线。此时式(4-21)可改写成：,显然，一次Bezier曲线是一条点,P,0,到点,P,1,直线段。,t,第57页,4.4.4,二次,Bezier,曲线,当,n,=2时，顶点,P,0,、,P,1,、,P,2,可定义一条二次(,n,=2),Bezier,曲线。此时式(4-21)可改写成：,P,(,t,)=(1,t,),2,P,0,+2,t,(1,t,),P,1,+,t,2,P,2,(0,t,1)(4-28),写成矩阵形式为：,P,(,t,)=,t,2,t,1,第58页,该式说明，二次,Bezier,曲线经过,P,0,P,1,P,2,中一条中线,P,1,P,m,中点,P,。而且能够看出二次,Bezier,曲线是一条抛物线。,P,1,P,0,P,2,P,m,P,4.4.4,二次,Bezier,曲线,由式(4-28),，二次,Bezier,曲线（,n,=2）在起点,P,0,处有切向量,P,0,=,P,(0)=2(,P,1,P,0,)；在终点,P,2,处有切向量,P,2,=,P,(1)=2(,P,2,P,1,)。同时，当,t,=1/2时：,第59页,4.4.5,三次,Bezier,曲线,当,n,=3时，顶点,P,0,、,P,1,、,P,2,、,P,3,四点可定义一条三次(,n,=3),Bezier,曲线。此时式(4-21)可改写为：,P,(,t,)=(1,t,),3,P,0,+3,t,(1,t,),2,P,1,+3,t,2,(1,t,),P,2,+,t,3,P,3,=(13,t,+3,t,2,-,t,3,),P,0,+(3,t,6,t,2,+3,t,3,),P,1,+(3,t,2,3,t,3,),P,2,+,t,3,P,3,(0,t,1)(4-29),写成矩阵表示式为：,P,(,t,)=,t,3,t,2,t,1,第60页,4.4.5,三次,Bezier,曲线,控制点相同但次序不一样三次Bezier曲线,第61页,4.4.5,三次,Bezier,曲线,移动控制点P,2,Bezier曲线不一样效果,第62页,4.4.6,Bezier曲线控制顶点反求,已知Bezier曲线上给定参数处位置矢量和参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特征，可列出一组方程，求解方程组，可得到对应控制顶点。,比如：已知三次Bezier曲线上4个点分别为,Q,0,(120,0)，,Q,1,(45,0)，,Q,2,(0,45)，,Q,3,(0,120),它们对应参数分别为0，1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲线控制顶点。,由已知条件可得方程组：,Q,0,=,P,0,(,t,=0),Q,1,=(8/27),P,0,+(4/9),P,1,+(2/9),P,2,+(1/27),P,3,(,t,=1/3),Q,2,=(1/27),P,0,+(2/9),P,1,+(4/9),P,2,+(8/27),P,3,(,t,=2/3),Q,3,=,P,3,(,t,=1),第63页,4.4.6,Bezier曲线控制顶点反求,分别将,Q,0,、,Q,1,、,Q,2,、,Q,3,x,、,y,坐标代入方程组求解，可得：,P,0,(120,0),P,1,(35,-27.5),P,2,(-27.5,35),P,3,(0,120),第64页,4.4.7,Bezier曲线几何作图法,以控制点数为4，边数为3控制多边形,P,0,P,1,P,2,P,3,为例,：,分别在边,P,0,P,1,、,P,1,P,2,、,P,2,P,3,上找到一点,P,0,1,、,P,1,1,、,P,2,1,，该点将所在边分成,t,:,(1-,t,)两部分，比如设,t,=2/3。,然后，将3个分割点组成新控制多边形,P,0,1,P,1,1,P,2,1,，其控制点数为3，边数为2；再以一样方法及一样百分比，对边,P,0,1,P,1,1,和边,P,1,1,P,2,1,进行分割，得到分割点,P,0,2,和,P,1,2,。,最终，对边,P,0,2,P,1,2,进行相同百分比分割，得到点,P,0,3,。,P,0,3,即为由原控制多边形,P,0,P,1,P,2,P,3,所确定三次,Bezier曲线上参数为,t,点,P,(,t,)。,若让参数,t,在0,1变动，而且让,t,取一个较小增量，如,t,=0.1,。循环屡次即可作出三次Bezier曲线。,第65页,4.4.7,Bezier曲线几何作图法,Bezier曲线几何作图法示意图,以及分割点递推关系,第66页,4.4.7,Bezier曲线几何作图法,Bezier曲线几何作图法总结：,对于任意控制多边形，在以,P,i,P,i,+1,为端点第,i,条边上，找一点,P,i,1,(,t,)，把该边分成,t,:,(1-,t,)百分比，则分割点,P,i,1,(,t,)=(1-,t,),P,i,+tP,i,+1,(,i,=0,1,n,-1)，这,n,个点组成一个新,n,-1边形，对该多边形重复上述操作，得到一个新,n,-2边形顶点,P,i,2,(,t,)(,i,=0,1,n,-2)，依次类推，连续作,n,次后，得到一个单点,P,i,n,(,t,),，该点就是,Bezier曲线,上参数为,t,点,P,(,t,)，让,t,在,0,1变动，就得到Bezier曲线。,第67页,4.4.8,Bezier曲线拼接,设有两条Bezier曲线,P,(,u,)和,Q,(,w,)，,P,(,u,)由,P,0,P,1,P,2,P,m,定义，,Q,(,w,)由,Q,0,Q,1,Q,2,Q,n,定义：,考虑两条Bezier曲线,一阶连续性（,C,1,和,G,1,）拼接设计,：,由端点切矢量条件：,P,(1)=,m,(,P,m,-,P,m,-1,),Q,(0)=,n,(,Q,1,-,Q,0,),第68页,4.4.8,Bezier曲线拼接,若曲线,P,(,u,)与,Q,(,w,)首尾,拼接到达,G,1,连续，必有,P,m,与,Q,0,重合,，而且,Q,(0)=,P,(1)(,0)，即：,Q,0,=,P,m,Q,1,=,Q,0,+(,m,/,n,),*(,P,m,-,P,m-1,),上式几何意义：,P,(,u,)与,Q,(,w,)两条Bezier曲线拼接到达,G,1,连续时，控制点,P,m-1,、,P,m,(=,Q,0,)和,Q,1,在一条直线上。,当,=,1时，,P,(,u,)与,Q,(,w,)两条Bezier曲线拼接可到达,C,1,连续。,第69页,4.4.8,Bezier曲线拼接,两条Bezier曲线拼接示意图,第70页,4.4.9,Bezier曲面,设,P,ij,(,i,=0,1,m,;,j,=0,1,n,)为(,m,+1),(,n,+1)个空间点列，则,m,n,次Bezier曲面定义为：,其中，和 是Bernstein基函数。,依次用线段连接点阵,P,ij,中相邻两点所形成空间网格，称为特征网格。,第71页,4.4.9,Bezier曲面,Bezier曲面矩阵表示为：,1、双线性Bezier曲面,当,m,=,n,=1时，定义一张双线性Bezier曲面：,第72页,4.4.9,Bezier,曲面,2、双二次Bezier曲面,当,m,=,n,=2时，定义一张双二次Bezier曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线：,3、双三次Bezier曲面,当,m,=,n,=3时，定义一张双三次Bezier曲面，它由16个顶点定义，参数曲线,u,、,v,都是三次Bezier曲线，该曲面只经过4个角点,P,00,、,P,30,、,P,03,、,P,33,：,第73页,4.5 B样条曲线,由Gordon，Riesenfeld和Forrest等人拓展了Bezier曲线，用,n,次B样条基函数替换伯恩斯坦基函数，结构了B样条曲线。,B样条曲线除了保持了Bezier曲线所含有优点之外，还增加了能够对曲线进行局部修改，对特征多边形愈加迫近，多项式阶次较低等优点。,所以，B样条曲线在外形设计中得到广泛重视和应用。,第74页,4.5.1 B样条曲线数学表示式,通常，给定,m,+,n,+1个顶点,P,i,(,i,=0,1,2,m,+,n,)，可定义,m,+1段,n,次参数曲线为：,P,k,n,(,t,)=,(4-30),其中：,P,k,n,(,t,)为第,k,段,n,次B样条曲线段(,k,=0,1,m,)，,F,i,n,(,t,)为,n,次B样条基函数，也称B样条分段混合函数，其形式为：,(4-31),第75页,连接全部曲线段所组