高数微分方程.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,1.,基本概念,恒等式,含有未知函数导数或微分的方程,.,若函数,y,=,(,x,),代入方程后可使之成为,(3),方程的解,:,(1),微分方程,:,未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程,.,其一般形式为,:,标准形式为,:,(2),方程的阶,:,方程中未知函数导数的最高阶数,.,则称函数,y,=,(,x,),为方程的解,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特解,:,n,阶微分方程的含有,n,个独立的任意常数的解,称为方程的,通解,.,通解,:,初始条件,:,微分方程不含任意常数的解称为方程的,特解,.,确定通解中任意常数的条件,一阶方程的初始条件为,:,二阶方程的初始条件为,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)可分离变量的方程:,这是以 p为未知函数 y 为,(想一想为何开方只取正?),机动 目录 上页 下页 返回 结束,的特解为_.,可降阶的高阶微分方程,微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.,方程中未知函数导数的最高阶数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解,含有未知函数导数或微分的方程.,一阶微分方程及其解法:,可降阶的高阶微分方程,(方程右端不显含未知函数y),(方程右端仅含自变量x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,一阶微分方程及其解法,:,分离变量,:,两边积分,:,(2),齐次方程,:,则,y,=,x u,(1),可分离变量,的方程,:,令,原方程变为,:,分离变量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边积分,:,(3),一阶线性微分方程,:,常数变易法,:,对应的齐次方程为,:,分离变量,:,两边积分,:,令,是非齐次方程,的解,两边积分得,:,代入非齐次方程得,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程的通解,为,:,将,公式法,:,将方程化为标准形,:,把,P,(,x,),Q,(,x,),代入公式,:,直接积分即可求得原方程的通解,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这是以,p,为未知函数,x,为自,设其通解为,原方程的通解为,:,即,3.,可降阶的高阶微分方程,可用,逐次积分,法求解,.,(1),(2),为降阶作变量代换,原方程变为,则,令,(,方程右端不显含未知函数,y,),变量的一阶方程,.,若可解,(,方程右端仅含自变量,x,),(3),(,方程右端不显含自变量,x,),为降阶作变量代换,令,则,原方程变为,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这是以,p,为未知函数,y,为,自变量的一阶方程,.,设其通解为,若可解,即,原方程的通解为,:,二、典型例题分析与解答,例,1.,已知函数,y,=,y,(,x,),在任意点,x,处的增量为,且当,x,0,时,则,y,(1),等于,().,y,(0)=,是,x,的高阶无穷小,D,分析：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解此方程可得,y,(,x,),从而可得,y,(1),的值,.,两边积分,:,由微分定义知,解,:,由于,分离变量,:,且当,x,0,时,是,x,的高阶,无穷小,由微分定义知,即有,:,由,y,(0)=,知,C,=,.,函数的表达式为,故选项,(,D,),正确,.,例,2.,微分方程,的通解为,_.,注释,:,本题考查,可分离变量,方程的解法,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,所给方程为可分离变量的方程,.,分离变量,:,两边积分,:,应填,:,例,3.,解,:,求微分方程,满足初始条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的特解,.,所给微分方程变形为,:,将,这是齐次微分方程,.,令,则,方程变为,即为,分离变量,:,两边积分,:,可得,:,代入得,将,代入得,C,=1.,特解为,注释,:,本题考查,齐次方程,的解法,.,例,4,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分方程,满足,的特解为,_.,所给方程为一阶线性方程,方程两边,但不是标准形,.,其中,则有,将,代入通解得,:,C=,0.,同除以,x,得,:,特解为,:,注释,:,本题考查,一阶线性非齐次方程,的解法,.,n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解,则 y(1)等于().,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题考查齐次方程的解法.,含有未知函数导数或微分的方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入得C=1.,则 y=x u,n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解,(方程右端不显含自变量x),把P(x),Q(x)代入公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的通解为,_.,为降阶令,解,:,所给方程是一个,不显含未知函数,y,的二阶方程,.,注释,:,本题考查,二阶可降阶方程,的解法,.,则,代入原方程得,:,分离变量,:,两边积分,:,即有,两边再积分得,:,例,6.,的特解,.,解,:,则,原方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求微分方程,满足初始条件,所给方程是一个,不显含未知函数,y,的二阶方程,.,为降阶令,即为,也即为,(,这一步是关键,!),则有,:,其中,代公式,:,将初始条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释,:,本题考查,二阶可降阶方程,的解法,.,代入得,则有,两边积分得,:,将初始条件,代入得,即有,也即有,满足初始条件的特解为,(,想一想为何开方只取正,?),例,7.,微分方程,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,满足初始条件,的特解为,_.,则,原方程变为,:,分离变量,:,两边积分,:,把初始条件,所给方程是一个,不显含自变量,x,的二阶方程,.,令,代入得,则有,即有,把初始条件,代入得,特解为,