2023版大一轮数学人教A版-第七章-§7-4-空间直线、平面的平行.pptx

,第,七,章,7.4,空间直线、平面的平行,考试,要求,1.,理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明,.,2,.,掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用,.,落实主干知识,课时精练,探究核心题型,内容,索引,LUOSHIZHUGANZHISHI,落实主干知识,文字语言,图形语言,符号语言,判定定理,如果平面外一条直线,与,_,的,一条直线平行，那么该直线与此平面平行,性质定理,一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此,平面,，,那么该直线与交线平行,1.,线面平行的判定定理和性质定理,_,_,_,_,_,_,_,_,a,a,b,此平,面内,相交,a,b,a,b,a,a,b,文字语言,图形语言,符号语言,判定定理,如果一个平面内的两,条,与,另一个平面平行，那么这两个平面平行,2.,面面平行的判定定理和性质定理,_,_,_,_,_,a,b,a,b,P,a,b,相交直线,性质定理,两个平面平行，如果另一个平面与这两个,平面,，,那么两,条,平行,_,_,_,a,b,a,b,相交,交线,(1),垂直于同一条直线的两个平面平行，即若,a,，,a,，则,.,(2),平行于同一个平面的两个平面平行，即若,，,，则,.,(3),垂直于同一个平面的两条直线平行，即,a,，,b,，则,a,b,.,(4),若,，,a,，则,a,.,常用,结论,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面,.(,),(2),若直线,a,平面,，,P,，则过点,P,且平行于直线,a,的直线有无数条,.,(,),(3),若直线,a,平面,，直线,b,平面,，,a,b,，则,.(,),(4),如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,.(,),1.,下列说法中，与,“,直线,a,平面,”,等价的是,A.,直线,a,上有无数个点不在平面,内,B.,直线,a,与平面,内的所有直线平行,C.,直线,a,与平面,内无数条直线不相交,D.,直线,a,与平面,内的任意一条直线都不相交,因为,a,平面,，所以直线,a,与平面,无交点,，,因此,a,和平面,内的任意一条直线都不相交,.,2.,已知不重合的直线,a,，,b,和平面,，则下列选项正确的是,A.,若,a,，,b,，则,a,b,B,.,若,a,，,b,，则,a,b,C.,若,a,b,，,b,，则,a,D,.,若,a,b,，,a,，则,b,或,b,若,a,，,b,，则,a,b,或异面，,A,错；,若,a,，,b,，则,a,b,或异面或相交，,B,错；,若,a,b,，,b,，则,a,或,a,，,C,错；,若,a,b,，,a,，则,b,或,b,，,D,对,.,3.,如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形,EFGH,为截面，则四边形,EFGH,的形状为,_.,平面,ABFE,平面,DCGH,，,又平面,EFGH,平面,ABFE,EF,，,平面,EFGH,平面,DCGH,HG,，,EF,HG,.,同理,EH,FG,，,四边形,EFGH,是平行四边形,.,平行四边形,TANJIUHEXINTIXING,探究核心题型,例,1,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是平行四边形，,E,，,F,分别是,BC,，,PD,的中点，求证,：,(,1),PB,平面,ACF,；,题型一,直线与平面平行的判定与性质,命题点,1,直线与平面平行的判定,如图，连接,BD,交,AC,于,O,，连接,OF,，,四边形,ABCD,是平行四边形，,O,是,BD,的中点，,又,F,是,PD,的中点，,OF,PB,，,又,OF,平面,ACF,，,PB,平面,ACF,，,PB,平面,ACF,.,(2),EF,平面,PAB,.,取,PA,的中点,G,，连接,GF,，,BG,.,F,是,PD,的中点，,GF,是,PAD,的中位线，,底面,ABCD,是平行四边形，,E,是,BC,的中点，,四边形,BEFG,是平行四边形，,EF,BG,，,又,EF,平面,PAB,，,BG,平面,PAB,，,EF,平面,PAB,.,例,2,如图所示，在四棱锥,P,ABCD,中，四边形,ABCD,是平行四边形，,M,是,PC,的中点，在,DM,上取一点,G,，过,G,和,PA,作平面交,BD,于点,H,.,求证：,PA,GH,.,命题点,2,直线与平面平行的性质,如图所示，连接,AC,交,BD,于点,O,，连接,OM,，,四边形,ABCD,是平行四边形，,O,是,AC,的中点，,又,M,是,PC,的中点，,PA,OM,，,又,OM,平面,BMD,，,PA,平面,BMD,，,PA,平面,BMD,，,又平面,PAHG,平面,BMD,GH,，,PA,GH,.,如图，四边形,ABCD,是矩形，,P,平面,ABCD,，过,BC,作平面,BCFE,交,AP,于点,E,，交,DP,于点,F,，求证：四边形,BCFE,是梯形,.,教师备选,四边形,ABCD,为矩形，,BC,AD,.,AD,平面,PAD,，,BC,平面,PAD,，,BC,平面,PAD,.,平面,BCFE,平面,PAD,EF,，,BC,平面,BCFE,，,BC,EF,.,AD,BC,，,AD,EF,，,BC,EF,，,四边形,BCFE,是梯形,.,思维升华,(1),判断或证明线面平行的常用方法,利用线面平行的定义,(,无公共点,).,利用线面平行的判定定理,(,a,，,b,，,a,b,a,).,利用面面平行的性质,(,，,a,a,).,利用面面平行的性质,(,，,a,，,a,a,).,(2),应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线,.,跟踪训练,1,如图所示，已知四边形,ABCD,是正方形，四边形,ACEF,是矩形，,M,是线段,EF,的中点,.,(1),求证：,AM,平面,BDE,；,如图，记,AC,与,BD,的交点为,O,，连接,OE,.,因为,O,，,M,分别为,AC,，,EF,的中点，四边形,ACEF,是矩形，,所以四边形,AOEM,是平行四边形，,所以,AM,OE,.,又因为,OE,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,，,所以,AM,平面,BDE,.,(2),若平面,ADM,平面,BDE,l,，平面,ABM,平面,BDE,m,，试分析,l,与,m,的位置关系，并证明你的结论,.,l,m,，证明如下：,由,(1),知,AM,平面,BDE,，,又,AM,平面,ADM,，平面,ADM,平面,BDE,l,，,所以,l,AM,，,同理，,AM,平面,BDE,，,又,AM,平面,ABM,，平面,ABM,平面,BDE,m,，,所以,m,AM,，所以,l,m,.,例,3,如图所示，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，过,BC,的平面与上底面,A,1,B,1,C,1,交于,GH,(,GH,与,B,1,C,1,不重合,).,(,1),求证：,BC,GH,；,题型,二,平面与平面平行的判定与性质,在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,平面,ABC,平面,A,1,B,1,C,1,，,又,平面,BCHG,平面,ABC,BC,，,且平面,BCHG,平面,A,1,B,1,C,1,HG,，,由面面平行的性质定理得,BC,GH,.,(2),若,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,AC,，,A,1,B,1,的中点，求证：平面,EFA,1,平面,BCHG,.,E,，,F,分别为,AB,，,AC,的中点，,EF,BC,，,EF,平面,BCHG,，,BC,平面,BCHG,，,EF,平面,BCHG,.,又,G,，,E,分别为,A,1,B,1,，,AB,的中点，,A,1,B,1,綉,AB,，,A,1,G,綉,EB,，,四边形,A,1,EBG,是平行四边形，,A,1,E,GB,.,A,1,E,平面,BCHG,，,GB,平面,BCHG,，,A,1,E,平面,BCHG,.,又,A,1,E,EF,E,，,A,1,E,，,EF,平面,EFA,1,，,平面,EFA,1,平面,BCHG,.,延伸探究,在本例中，若将条件,“,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,AC,，,A,1,B,1,的中点,”,变为,“,点,D,，,D,1,分别是,AC,，,A,1,C,1,上的点，且平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,”,，试求,的值,.,如图，连接,A,1,B,交,AB,1,于,O,，连接,OD,1,.,由平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,，,且平面,A,1,BC,1,平面,BC,1,D,BC,1,，,平面,A,1,BC,1,平面,AB,1,D,1,D,1,O,，,如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,E,，,F,，,G,分别为,B,1,C,1,，,A,1,B,1,，,AB,的中点,.,(1),求证：平面,A,1,C,1,G,平面,BEF,；,教师备选,E,，,F,分别为,B,1,C,1,，,A,1,B,1,的中点，,EF,A,1,C,1,，,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,G,，,EF,平面,A,1,C,1,G,，,EF,平面,A,1,C,1,G,，,又,F,，,G,分别为,A,1,B,1,，,AB,的中点，,A,1,F,BG,，,又,A,1,F,BG,，,四边形,A,1,GBF,为平行四边形,，,则,BF,A,1,G,，,A,1,G,平面,A,1,C,1,G,，,BF,平面,A,1,C,1,G,，,BF,平面,A,1,C,1,G,，,又,EF,BF,F,，,EF,，,BF,平面,BEF,，,平面,A,1,C,1,G,平面,BEF,.,(2),若平面,A,1,C,1,G,BC,H,，求证：,H,为,BC,的中点,.,平面,ABC,平面,A,1,B,1,C,1,，平面,A,1,C,1,G,平面,A,1,B,1,C,1,A,1,C,1,，,平面,A,1,C,1,G,与平面,ABC,有公共点,G,，则有经过,G,的直线,，,设,交,BC,于点,H,，如图,，,则,A,1,C,1,GH,，得,GH,AC,，,G,为,AB,的中点，,H,为,BC,的中点,.,思维升华,证明面面平行的常用方法,(1),利用面面平行的判定定理,.,(2),利用垂直于同一条直线的两个平面平行,(,l,，,l,).,(3),利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行,(,，,).,跟踪训练,2,如图，四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,是正方形,.,(1),证明：平面,A,1,BD,平面,CD,1,B,1,；,由题设知,BB,1,綉,DD,1,，所以四边形,BB,1,D,1,D,是平行四边形，所以,BD,B,1,D,1,.,又,BD,平面,CD,1,B,1,，,B,1,D,1,平面,CD,1,B,1,，,所以,BD,平面,CD,1,B,1,.,因为,A,1,D,1,綉,B,1,C,1,綉,BC,，,所以四边形,A,1,BCD,1,是平行四边形，,所以,A,1,B,D,1,C,.,又,A,1,B,平面,CD,1,B,1,，,D,1,C,平面,CD,1,B,1,，,所以,A,1,B,平面,CD,1,B,1,.,又,因为,BD,A,1,B,B,，,BD,，,A,1,B,平面,A,1,BD,，,所以平面,A,1,BD,平面,CD,1,B,1,.,(2),若平面,ABCD,平面,CD,1,B,1,直线,l,，证明：,B,1,D,1,l,.,由,(1),知平面,A,1,BD,平面,CD,1,B,1,，,又平面,ABCD,平面,CD,1,B,1,直线,l,，,平面,ABCD,平面,A,1,BD,直线,BD,，,所以直线,l,直线,BD,，,在四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，四边形,BDD,1,B,1,为平行四边形，,所以,B,1,D,1,BD,，所以,B,1,D,1,l,.,例,4,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,，,Q,分别为对角线,BD,，,CD,1,上的点，,且,(1),求证：,PQ,平面,A,1,D,1,DA,；,题型三,平行关系的综合应用,连接,CP,并延长，与,DA,的延长线交于,M,点，如图，连接,MD,1,，因为四边形,ABCD,为正方形，,所以,BC,AD,，,故,PBC,PDM,，,所以,PQ,MD,1,.,又,MD,1,平面,A,1,D,1,DA,，,PQ,平面,A,1,D,1,DA,，,故,PQ,平面,A,1,D,1,DA,.,证明如下：,所以,PR,DA,.,又,DA,平面,A,1,D,1,DA,，,PR,平面,A,1,D,1,DA,，,所以,PR,平面,A,1,D,1,DA,，,又,PQ,平面,A,1,D,1,DA,，,PQ,PR,P,，,PQ,，,PR,平面,PQR,，,所以平面,PQR,平面,A,1,D,1,DA,.,如图，四边形,ABCD,与,ADEF,均为平行四边形，,M,，,N,，,G,分别是,AB,，,AD,，,EF,的中点,.,求证,：,(1),BE,平面,DMF,；,教师备选,如图，连接,AE,，则,AE,必过,DF,与,GN,的交点,O,，,连接,MO,，则,MO,为,ABE,的中位线，所以,BE,MO,.,又,BE,平面,DMF,，,MO,平面,DMF,，,所以,BE,平面,DMF,.,(2),平面,BDE,平面,MNG,.,因为,N,，,G,分别为平行四边形,ADEF,的边,AD,，,EF,的中点，所以,DE,GN,，,又,DE,平面,MNG,，,GN,平面,MNG,，,所以,DE,平面,MNG,.,又,M,为,AB,的中点，,所以,MN,为,ABD,的中位线，所以,BD,MN,，,又,MN,平面,MNG,，,BD,平面,MNG,，,所以,BD,平面,MNG,，,又,DE,，,BD,平面,BDE,，,DE,BD,D,，,所以平面,BDE,平面,MNG,.,思维升华,证明平行关系的常用方法,熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键,.,面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法,.,跟踪训练,3,如图所示，四边形,EFGH,为空间四边形,ABCD,的一个截面，若截面为平行四边形,.,(1),求证：,AB,平面,EFGH,；,四边形,EFGH,为平行四边形，,EF,HG,.,HG,平面,ABD,，,EF,平面,ABD,，,EF,平面,ABD,.,又,EF,平面,ABC,，,平面,ABD,平面,ABC,AB,，,EF,AB,，,又,AB,平面,EFGH,，,EF,平面,EFGH,，,AB,平面,EFGH,.,(2),若,AB,4,，,CD,6,，求四边形,EFGH,周长的取值范围,.,设,EF,x,(0,x,4),，,由,(1),知,EF,AB,，,与,(1),同理可得,CD,FG,，,四边形,EFGH,的周长,又,0,x,4,，,8,L,12,，,故四边形,EFGH,周长的取值范围是,(8,12).,KESHIJINGLIAN,课时精练,1.(2022,宁波模拟,),下列命题中正确的是,A.,若,a,，,b,是两条直线，且,a,b,，那么,a,平行于经过,b,的任何平面,B.,若直线,a,和平面,满足,a,，那么,a,与,内的任何直线平行,C.,平行于同一条直线的两个平面平行,D.,若直线,a,，,b,和平面,满足,a,b,，,a,，,b,，则,b,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A,中，,a,可以在过,b,的平面内,；,B,中，,a,与,内的直线也可能异面,；,C,中，两平面可能相交,；,D,中，由直线与平面平行的判定定理知,b,，正确,.,2.(2022,呼和浩特模拟,),设,a,，,b,是两条不同的直线，,，,是两个不同的平面，则,的一个充分条件是,A.,存在一条直线,a,，,a,，,a,B.,存在一条直线,a,，,a,，,a,C.,存在两条平行直线,a,，,b,，,a,，,b,，,a,，,b,D.,存在两条异面直线,a,，,b,，,a,，,b,，,a,，,b,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,A,，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故,A,不正确；,对于,B,，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故,B,不正确；,对于,C,，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故,C,不正确,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,D,，如图，在直线,b,上取点,B,，过点,B,和直线,a,确定一个平面,，交平面,于,a,，,因为,a,，所以,a,a,，,又,a,，,a,，所以,a,，,又因为,b,，,b,a,B,，,b,，,a,，所以,.,3.(2022,广州模拟,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AM,2,MA,1,，,BN,2,NB,1,，过,MN,作一平面分别交底面,ABC,的边,BC,，,AC,于点,E,，,F,，则,A.,MF,EB,B.,A,1,B,1,NE,C.,四边形,MNEF,为平行四边形,D.,四边形,MNEF,为梯形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于,B,，,E,，,F,三点共面，,F,平面,BEF,，,M,平面,BEF,，故,MF,，,EB,为异面直线,，故,A,错误；,由于,B,1,，,N,，,E,三点共面，,B,1,平面,B,1,NE,，,A,1,平面,B,1,NE,，故,A,1,B,1,，,NE,为异面直线，故,B,错误；,在平行四边形,AA,1,B,1,B,中，,AM,2,MA,1,，,BN,2,NB,1,，,AM,BN,，,AM,BN,，,故四边形,AMNB,为平行四边形,，,MN,AB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,MN,平面,ABC,，,AB,平面,ABC,，,MN,平面,ABC,.,又,MN,平面,MNEF,，平面,MNEF,平面,ABC,EF,，,MN,EF,，,EF,AB,，,显然在,ABC,中，,EF,AB,，,EF,MN,，,四边形,MNEF,为梯形，故,C,错误，,D,正确,.,4.(2022,杭州模拟,),已知,P,为,ABC,所在平面外一点，平面,平面,ABC,，且,交线段,PA,，,PB,，,PC,于点,A,，,B,，,C,，,若,PA,AA,2,3,，则,S,A,B,C,S,ABC,等于,A.2,3,B.2,5,C.4,9,D.4,25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,平面,平面,ABC,，,A,C,AC,，,A,B,AB,，,B,C,BC,，,S,A,B,C,S,ABC,(,PA,PA,),2,，,又,PA,AA,2,3,，,PA,PA,2,5,，,S,A,B,C,S,ABC,4,25.,5.(,多选,)(2022,济宁模拟,),如图，在下列四个正方体中，,A,，,B,为正方体的两个顶点，,D,，,E,，,F,为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线,AB,与平面,DEF,平行的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,A,，,AB,DE,，,AB,平面,DEF,，,DE,平面,DEF,，,直线,AB,与平面,DEF,平行，故,A,正确；,对于,B,，如图，取正方体所在棱的中点,G,，连接,FG,并延长，交,AB,延长线于,H,，则,AB,与平面,DEF,相交于点,H,，故,B,错误,；,对于,C,，,AB,DF,，,AB,平面,DEF,，,DF,平面,DEF,，,直线,AB,与平面,DEF,平行，故,C,正确,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,D,，,AB,与,DF,所在平面的正方形对角线有交点,B,，,DF,与该对角线平行，,直线,AB,与平面,DEF,相交，故,D,错误,.,6.(,多选,),如图，透明塑料制成的长方体容器,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,内灌进一些水，固定容器一边,AB,于地面上,，,再,将容器倾斜，随着倾斜程度,的,不同,，有下面几个结论，其,中正,确,的,是,A,.,没有水的部分始终呈棱柱形,B.,水面,EFGH,所在四边形的面积为定值,C.,随着容器倾斜程度的不同，,A,1,C,1,始终与水面所在平面平行,D.,当容器倾斜如图,(3),所示时，,AE,AH,为定值,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据棱柱的特征,(,有两个面互相平行,，,其余,各面都是四边形，并且相邻,两,个,四边形的公共边都互相平行,),，,结,合,题中图形易知,A,正确,；,由,题图可知水面,EFGH,的边,EF,的长保持不变,，,但,邻边的长却随倾斜程度而改变，可知,B,错误,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为,A,1,C,1,AC,，,AC,平面,ABCD,，,A,1,C,1,平面,ABCD,，所以,A,1,C,1,平面,ABCD,，,当,平面,EFGH,不平行于平面,ABCD,时,，,A,1,C,1,不平行于水面所在平面，故,C,错误,；,当,容器倾斜如题图,(3),所示时,，,因为,水的体积是不变的,，,所以,棱柱,AEH,BFG,的体积,V,为定值,，,又,V,S,AEH,AB,，高,AB,不变，所以,S,AEH,也不变,，,即,AE,AH,为定值，故,D,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,l,由线面平行的判定定理知,l,；,由线面平行的判定定理知,l,.,8.,如图所示，在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是棱,CC,1,，,C,1,D,1,，,D,1,D,，,DC,的中点，,N,是,BC,的中点，点,M,在四边形,EFGH,及其内部运动，则,M,只需满足条件,_,_,_,，就有,MN,平面,B,1,BDD,1,.,(,注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,点,M,在线段,FH,上,(,或点,M,与点,H,重合,),连接,HN,，,FH,，,FN,(,图略,),，,则,FH,DD,1,，,HN,BD,，,平面,FHN,平面,B,1,BDD,1,，只需,M,FH,，,则,MN,平面,FHN,，,MN,平面,B,1,BDD,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,BC,，,CC,1,，,C,1,D,1,，,AA,1,的中点，求证：,(,1),BF,HD,1,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图,.,取,B,1,B,的中点,M,，,连接,HM,，,MC,1,，易证四边形,HMC,1,D,1,是平行四边形，,HD,1,MC,1,.,又,MC,1,BF,，,BF,HD,1,.,(2),EG,平面,BB,1,D,1,D,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取,BD,的中点,O,，连接,OE,，,OD,1,，,OE,綉,D,1,G,.,四边形,OEGD,1,是平行四边形，,EG,D,1,O,.,又,D,1,O,平面,BB,1,D,1,D,，,EG,平面,BB,1,D,1,D,，,EG,平面,BB,1,D,1,D,.,(3),平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由,(1),知,BF,HD,1,，由题意易证,B,1,D,1,BD,.,又,B,1,D,1,，,HD,1,平面,B,1,D,1,H,，,BF,，,BD,平面,BDF,，,且,B,1,D,1,HD,1,D,1,，,DB,BF,B,，,平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,10.,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,，,E,，,F,，,H,分别为线段,AD,，,PC,，,CD,的中点，,AC,与,BE,交于,O,点，,G,是线段,OF,上一点,.,(,1),求证：,AP,平面,BEF,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，连接,EC,，,所以,BC,AE,，,BC,AE,，,所以四边形,ABCE,是平行四边形，,所以,O,为,AC,的中点,.,又因为,F,是,PC,的中点，,所以,FO,AP,，,因为,FO,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,，,所以,AP,平面,BEF,.,(2),求证：,GH,平面,PAD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,连接,FH,，,OH,，因为,F,，,H,分别是,PC,，,CD,的中点，,所以,FH,PD,，,因为,PD,平面,PAD,，,FH,平面,PAD,，,所以,FH,平面,PAD,.,又因为,O,是,BE,的中点，,H,是,CD,的中点，,所以,OH,AD,，,因为,AD,平面,PAD,，,OH,平面,PAD,，,所以,OH,平面,PAD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,FH,OH,H,，,FH,，,OH,平面,OHF,，,所以平面,OHF,平面,PAD,.,又因为,GH,平面,OHF,，,所以,GH,平面,PAD,.,11.(,多选,),已知,，,是两个平面，,m,，,n,是两条直线,.,下列命题正确的是,A.,如果,m,n,，,n,，那么,m,B.,如果,m,，,m,，,n,，那么,m,n,C.,如果,，,m,，那么,m,D.,如果,，,n,，,m,n,，那么,m,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如果,m,n,，,n,，那么,m,或,m,，故,A,不正确；,如果,m,，,m,，,n,，那么,m,n,，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故,B,正确；,如果,，,m,，那么,m,，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故,C,正确；,缺少,m,这个条件，故,D,不正确,.,12.(2022,福州检测,),如图所示，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,，,F,，,G,，,P,，,Q,分别为棱,AB,，,C,1,D,1,，,D,1,A,1,，,D,1,D,，,C,1,C,的中点，则下列叙述中正确的是,A.,直线,BQ,平面,EFG,B.,直线,A,1,B,平面,EFG,C.,平面,APC,平面,EFG,D.,平面,A,1,BQ,平面,EFG,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,过点,E,，,F,，,G,的截面如图所示,(,H,，,I,分别为,AA,1,，,BC,的中点,),，连接,A,1,B,，,BQ,，,AP,，,PC,，易知,BQ,与平面,EFG,相交于点,Q,，故,A,错误；,A,1,B,HE,，,A,1,B,平面,EFG,，,HE,平面,EFG,，,A,1,B,平面,EFG,，故,B,正确；,AP,平面,ADD,1,A,1,，,HG,平面,ADD,1,A,1,，延长,HG,与,PA,必相交，故,C,错误；,易知平面,A,1,BQ,与平面,EFG,有交点,Q,，故,D,错误,.,13.(,多选,)(2022,临沂模拟,),如图,1,，在正方形,ABCD,中，点,E,为线段,BC,上的动点,(,不含端点,),，将,ABE,沿,AE,翻折，使得二面角,B,AE,D,为直二面角，得到图,2,所示的四棱锥,B,AECD,，点,F,为线段,BD,上的动点,(,不含端点,),，则在四棱锥,B,AECD,中，下列说法正确的有,A.,B,，,E,，,C,，,F,四点不共面,B.,存在点,F,，使得,CF,平面,BAE,C.,三棱锥,B,ADC,的体积为定值,D.,存在点,E,使得直线,BE,与直线,CD,垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,图,1,图,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,A,，假设直线,BE,与直线,CF,在同一平面上，所以,E,在平面,BCF,上，,又因为,E,在折前线段,BC,上，,BC,平面,BCF,C,，所以,E,与,C,重合，与,E,异于,C,矛盾，,所以直线,BE,与直线,CF,必不在同一平面上，即,B,，,E,，,C,，,F,四点不共面，故,A,正确；,对于,B,，如图，当点,F,为线段,BD,的中点，,取,AB,的中点,G,，连接,GE,，,GF,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则,EC,FG,且,EC,FG,，,所以四边形,ECFG,为平行四边形，,所以,FC,EG,，又因为,EG,平面,BAE,，,则直线,CF,与平面,BAE,平行，故,B,正确,；,对于,C,，在三棱锥,B,ADC,中，因为点,E,的移动会导致点,B,到平面,ACD,的距离发生变化,，,所以,三棱锥,B,ADC,的体积不是定值，故,C,不正确,；,对于,D,，过,D,作,DH,AE,于,H,，因为平面,BAE,平面,AECD,，,平面,BAE,平面,AECD,AE,，所以,DH,平面,BAE,，所以,DH,BE,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,若存在点,E,使得直线,BE,与直线,CD,垂直，,DH,平面,AECD,，,且,DC,平面,AECD,，,DH,DC,D,，,所以,BE,平面,AECD,，所以,BE,AE,，,与,ABE,是以,B,为直角的三角形矛盾,，,所以,不存在点,E,使得直线,BE,与直线,CD,垂直，故,D,不正确,.,14.,如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AD,DD,1,1,，,AB,，,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,BC,，,C,1,D,1,的中点，点,P,在平面,ABCD,内，若,直线,D,1,P,平面,EFG,，则线段,D,1,P,长度的,最小值,是,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，连接,D,1,A,，,AC,，,D,1,C,.,因为,E,，,F,，,G,分别为,AB,，,BC,，,C,1,D,1,的中点，,所以,AC,EF,，又,EF,平面,ACD,1,，,AC,平面,ACD,1,，,则,EF,平面,ACD,1,.,同理可得,EG,平面,ACD,1,，又,EF,EG,E,，,EF,，,EG,平面,EFG,，,所以平面,ACD,1,平面,EFG,.,因为直线,D,1,P,平面,EFG,，,所以点,P,在直线,AC,上,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2022,合肥市第一中学模拟,),正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，点,M,，,N,分别是棱,BC,，,CC,1,的中点，动点,P,在正方形,BCC,1,B,1,(,包括边界,),内运动，且,PA,1,平面,AMN,，则,PA,1,的长度范围为,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取,B,1,C,1,的中点,E,，,BB,1,的中点,F,，连接,A,1,E,，,A,1,F,，,EF,，,取,EF,的中点,O,，连接,A,1,O,，如图所示，,点,M,，,N,分别是棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中棱,BC,，,CC,1,的中点，,AM,A,1,E,，,MN,EF,，,AM,MN,M,，,A,1,E,EF,E,，,AM,，,MN,平面,AMN,，,A,1,E,，,EF,平面,A,1,EF,，,平面,AMN,平面,A,1,EF,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,动点,P,在正方形,BCC,1,B,1,(,包括边界,),内运动，,且,PA,1,平面,AMN,，,点,P,的轨迹是线段,EF,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A,1,O,EF,，,当,P,与,O,重合时，,PA,1,的长度取最小值,A,1,O,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.,如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,a,，,M,，,N,分别为,AB,1,，,A,1,C,1,上的点，,A,1,N,AM,.,(1),求证：,MN,平面,BB,1,C,1,C,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，作,NE,A,1,B,1,交,B,1,C,1,于点,E,，作,MF,AB,交,BB,1,于点,F,，连接,EF,，,则,NE,MF,.,A,1,C,1,AB,1,，,A,1,N,AM,，,C,1,N,B,1,M,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,AB,A,1,B,1,，,NE,MF,.,四边形,MNEF,是平行四边形，,MN,EF,，,又,MN,平面,BB,1,C,1,C,，,EF,平面,BB,1,C,1,C,，,MN,平面,BB,1,C,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2),求,MN,的最小值,.,设,B,1,E,x,，,NE,A,1,B,1,，,B,1,C,1,BB,1,a,，,B,1,E,x,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,B,1,F,a,x,，,1,2,3,4,5,6,7,8,