第四章 稳定性与李雅普诺.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,电气信息学院,首页,上页,下页,末页,结束,自动控制理论,电子笔,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。,Lyapunov,稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。,一百多年以前,(1892,年,),，俄国数学力学家亚历山大,米哈依诺维奇,李亚普诺夫,(,A.M.Lyapunov,)(1857-1918),，,以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。,在这一历史性著作中，,Lyapunov,研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。,10/26/2025,在此基础上，,Lyapunov,提出了两类解决稳定性问题的方法，即,Lyapunov,第一法和,Lyapunov,第二法。,第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；,第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个,Lyapunov,函数，研究它的正定性及其对时间的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的,Lyapunov,方法就是指,Lyapunov,第二法。,10/26/2025,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,4.1,李雅普诺夫关于稳定性的定义,4.2,李雅普诺夫第一法,4.3,李雅普诺夫第二法,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.5,李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,本章小结和作业,10/26/2025,4.1,李雅普诺夫关于稳定性的定义,一、系统状态的运动及平衡状态,设系统的齐次状态方程为：,f,：,n,维向量函数,设其在初始条件 下，有唯一解,那么，实际上描述了系统在,n,维空间中从初始状态 出发的一条状态运动的轨迹。称为,运动轨迹,或,状态轨迹,。,平衡状态：若存在状态向量 ，对所有,t,，,都有,成立，则称 为系统的平衡状态。,平衡状态不一定存在，也不一定唯一,。,如：其平衡状态有：,稳定性是相对于平衡点而言的！,10/26/2025,二、稳定性的几个定义,1,、,Lyapunov,意义下的稳定,如果系统 对任意选定的实数 ，都对应存在实数 ，使当 时，从任意初态 出发的解都满足,则称平衡状态 是,Lyapunov,意义下稳定的。,其中，实数 与 有关，一般也与 有关。如果 与 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。,称为欧几里德范数，它的数学意义是：,10/26/2025,10/26/2025,2,、渐进稳定,如果平衡状态 是稳定的，而且当,t,无限增长时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于 ，则称这种平衡状态 是渐进稳定的。即有：,10/26/2025,10/26/2025,3,、大范围渐进稳定,如果平衡状态 是渐进稳定的，且渐进稳定的最大范围是整个状态空间，则 为大范围渐进稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。,线性系统：渐进稳定 大范围渐进稳定,非线性系统：一般较小，小范围渐进稳定。,4,、不稳定,如果对于某个实数 和任一实数 ，不管 多么小，由 出发的状态轨线，至少有一条轨线越过,，则称 为不稳定。,10/26/2025,10/26/2025,李雅普诺夫意义下的稳定于经典控制理论中稳定性的对比,经典控制理论,(,线性系统,),不稳定,(Re(s)0),临界情况,(Re(s)=0),稳定,(Re(s)0;,（,2,）,负定，则,P,负定，记为,P,0;,（,4,）,半负定，则,P,半负定，记为,P,0;,3,、,希尔维斯特判据,设实对称阵,为其各阶主子式,即,矩阵,P,或,V(X),定号性的充要条件是,:,10/26/2025,(1),若 ，则,P,正定；,(2),若 ，则,P,负定；,(3),若 ，则,P,半正定；,(4),若 ，则,P,半负定；,10/26/2025,二、几个稳定判据,设系统的状态方程为 ，平衡状态为 ，,如果存在一个标量函数,V,（,X,），,它满足：,（,1,）,V,（,X,）对,所有,X,都具有连续的一阶偏导数；,（,2,）,V,（,X,）是,正定的,（,3,）,V,（,X,）对,时间的导数 分别满足以下条件：,a,，,为半负定，则 是李氏意义下的稳定，此称稳定判据。,b,，,为负定，或者虽然 为半负定，但对任意初始状态,来说，除去 外，对 ，不恒为零，则 为渐进稳定；若当 时，,则 为大范围渐进稳定。,c,，,为正定，则 是不稳定的，此为不稳定判据。,10/26/2025,说明：,（,1,），则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐进稳定。,（,2,）不恒等于,0,，则说明轨迹在某个时刻于曲面,相交，但仍会收敛于原点，所以是渐进稳定。,（,3,）,稳定判据只是充分条件而非必要条件,！,10/26/2025,【,例,4-3】,已知非线性系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。,解：原点 是其唯一平衡点,取标量函数 ，显然,V,（,X,）,正定；,负定，原系统是渐进稳定的。又当 时，,所以也是大范围渐进稳定的。,10/26/2025,【,例,4-3】,已知系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。,解：线性系统，故 是其唯一平衡点。,将矩阵形式的状态方程展开得到：,取标量函数,故原系统不稳定。,10/26/2025,三、对李氏函数的讨论,（,1,）是正定的标量函数；,（,2,）并不是对所有的系统都能找到 来证明该系统稳定或者不稳定；,（,3,）如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；,（,4,）最简单的形式是二次型 ；,（,5,）只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；,（,6,）构造 需要一定的技巧。,10/26/2025,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,一、线性定常连续系统渐进稳定性判据,设线性定常系统为：，则平衡状态 为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵,Q,，,必存在正定的实对称矩阵,P,，,满足李雅普诺夫方程：,且 就是李氏函数。,证明：取 为李氏函数，,P,为正实对称矩阵，则易知,V,（,X,）,正定。,欲使系统稳定，则 必须负定，即,且,Q,正定。,10/26/2025,说明：,（,1,）一般先取正定矩阵,Q,，,带入李氏方程，求出,P,，,判别,P,的正定性，从而判断系统的稳定性；,（,2,）通常取,Q,I,，,以方便计算。,（,3,）判据使充分必要的,A,的特征值均具有负实部；,（,4,）,若 沿任一轨线不恒等于零,，那么,Q,可取半正定，即可取 计算更简单。,实际运用中，若有,则可以取,Q,为半正定。,10/26/2025,【,例,4-4】,，分析其稳定性。,解：方法一,取,Q,I,，,设 代入李氏方程得：,P,是对称矩阵，即 ，展开后可解得,可知,故,P,是正定的，原系统稳定。此时，,10/26/2025,方法二,判断能否取,Q,为半正定，即取,由于,故可以取 ，代入李氏方程，得：,解得：,10/26/2025,所以,P,正定，原系统稳定。此时李氏函数为：,此题也验证了,4.3,节中对李氏函数的讨论之（,3,）：,如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的。,【,例,4-5】,系统状态方程,确定使系统稳定的,K,的取值范围。,解：判别能否取,Q,为半正定,10/26/2025,由,故可以取,Q,为半正定。,代入李氏方程后可解得：,所以,k,的取值范围是：,10/26/2025,4.5,李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,李氏第二法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。,一、雅可比（,Jacobian,）,矩阵法,又称克拉索夫斯基（,krasovski,）,法,设非线性系统：假设原点 是其平衡状态，系统的雅可比矩阵,10/26/2025,则,系统在原点附近稳定的充分条件是：,任给定正定实对称矩阵,P,，,使下列矩阵：,为正定的。并且,是系统的一个李氏函数。如果当 时，有,则 是大范围渐进稳定的。,证明：选取二次型函数,为李氏函数，因为,P,为正定实对称，故,V,（,X,）,正定。,又：,10/26/2025,若要 负定，则,Q,（,X,）,正定。,若取,P,I,，,则,称为克拉索夫斯基表达式。此时,推论：线性定常系统 若矩阵,A,非奇异，且矩阵,为负定，则系统在平衡状态 是大范围渐进稳定的。,10/26/2025,【,例,4-6】,系统方程：，用克拉索夫斯基法分析稳定性。,解：,取,P,I,10/26/2025,所以,Q,（,X,）,是正定的。原系统稳定。且李氏函数：,当 时，有 ，故系统是大范围渐进稳定的。,10/26/2025,二、变量梯度法,变量梯度法又称为舒茨基布逊（,Shultz-Gibson,）,法，由此二人在,1962,年提出。,变量梯度法是基于以下事实：,如果能够找到一个李氏函数，证明系统是渐进稳定的，那么这个李氏函数的梯度,是必定存在而且是唯一的。,则,V,（,X,）,对时间的导数,可表示为：,10/26/2025,基本思路：,先,假定 具有某种形式（系数待定）,根据 负定确定待定系数,由 求,判别 的正定性,10/26/2025,步骤：,（,1,）假设 为一带待定系数的,n,维向量：,（,2,）根据 负定来确定待定系数,（,3,）由 求 ：,这是一个线积分。,线积分与路径无关的条件：的旋度为,0,，即：,10/26/2025,若,满足以上旋度为,0,的条件，则,（,4,）判别 的正定性,说明：即使用以上方法找不到合适的 ，也不能说系统就是不稳定的。,【,例,4-7】,用变量梯度法分析以下系统的稳定性。,10/26/2025,解：（,1,）假设,（,2,）求,欲使 负定，可选,则,10/26/2025,为约束条件,在此条件下有：,（,3,）求,先判断积分条件：,满足积分条件。,10/26/2025,（,4,）,V,（,X,）,正定,所以在 的范围内，平衡点 是渐进稳定的。,在步骤（,2,）中，也可以选取其他的能使 负定的系数,，渐进稳定的结论不会改变，但约束条件可能发生变化。具体见教材,p165,。,10/26/2025,本章小结和作业,4.1,李雅普诺夫关于稳定性的定义,李氏意义下的稳定、渐进稳定、大范围渐进稳定、不稳定,4.2,李雅普诺夫第一法,线性系统,A,的特征值,非线性系统,线性化,4.3,李雅普诺夫第二法,标量函数的符号性质、几个稳定判据、李氏第二法的应用,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,李氏方程,4.5,李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,雅可比法、变量梯度法,作业：,4-1,4-3,4-5,4-9,10/26/2025,