南理工线性系统理论课件6.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,能控性,定义,1.4.5,设系统,A(t),B(t),C(t),定义在时间域,J,上.,如果对初始时刻,t,0,J,存在时刻,t,f,t,0,t,f,J,对,t,0,时刻的任意初始状态,x(,t,0,)=,x,0,可以找到容许控制,u(t),在,u(t),的作用下,使状态轨线在,t,f,时刻有,x(,t,f,)=0,则称系统在,t,0,时刻是完全能控的,或者说在区间,t,0,t,f,上是完全能控的,.,如果对任意时刻,t,0,J(,t,0,不是,J,的右端点,),都是完全能控的,则称系统是完全能控的,.,注1:,t,f,时刻一般来说是依赖于初态,x,0,的,但对能控系统来说,必须对所有初态存在一个共同的有限时刻,t,f,i.e.,t,f,可以取得与初始状态无关,仅取决于,t,0.,注2:,容许控制是指,在所讨论的区间内,平方可积函数,u(.),根据定义,如果系统可控,则有,即,定理,1.4.2,系统,A(t),B(t),C(t),在时刻,t,0,能控,存在有限时刻,t,f,t,0,使得由,(,t,0,s)B(s),的行向量组成的,Gram,阵,非奇异,.,证明,:(,充分性,),已知存在,t,f,t,0,使得,L,(,t,0,t,f,),非奇异,.设,x,0,是任给的初态,取,代入,(1.4.7),右端则有,即所取的,u(t),满足,(1.4.17).,(,必要性,)(,反证法,),已知系统在时刻,t,0,能控,但无论,t,f,为任何值,L,(,t,0,t,f,),总是奇异的,.,由于系统能控,由定义知,存在,t,f,*,t,0,对任意初态有容许控制,u(.),使得在,u(.),的作用下,由初态出发的轨线在,t,f,*,时刻达到零状态,x(,t,f,*)=0.,对这个,t,f,*,也应有,L,(,t,0,t,f,*),奇异,即存在行向量,a0,使得,a,L,(,t,0,t,f,*)=0,进而有,a,L,(,t,0,t,f,*),a,T,=0,i.e.,这说明,a,(,t,0,s)B(s),在区间,t,0,t,f,*,上几乎处处为零,.,另一方面,由于系统能控,对于,x,0,=,a,T,也能找到,t,0,t,f,*,上的容许控制,u,0,(s),使得,这表明,a=0,此与,a,0,矛盾,.,推论,1.4.1,系统,A(t),B(t),C(t),中,当,B(t),连续时,则系统在时刻,t,0,完全能控,存在有限时刻,t,f,t,0,使得,(,t,0,s)B(s),的行向量在,t,0,t,f,上线性无关,.,定理,1.4.3 若,A(t),B(t),分别为,n-2,n-1,次连续可微,.,设,如果存在有限时刻,t,f,t,0,使得,r,ankB,1,(,t,f,)|B,2,(,t,f,)|,B,n,(,t,f,)=n,则系统在,t,0,时刻可控,.,证明,:在,t,f,处,求,(,t,0,s)B(s),的导数直到,n-1,阶:,由此得到,=,(,t,0,t,f,),B,1,(,t,f,)|B,2,(,t,f,)|,B,n,(,t,f,),由于,(,t,0,t,f,),满秩,又,rankB,1,(,t,f,)|B,2,(,t,f,)|,B,n,(,t,f,)=n,所以由引理,1.4.,2知,(,t,0,s,)B(s),的行向量在,t,0,t,f,上线性无关,.,于是由推论,1.4.1,知系统在,t,0,能控,.,对于定常系统来说,(,t,s,),=,e,A,(t-s),.,若令,=,t-s,则定常系统的状态转移阵为,(,)=,e,A,.,因此,在,定常系统的情形下,可以用,e,A,t,B,来代替,(,t,s,),进行讨论,.,由引理,1.4.2知,若在,0,),上一点处有,rank,e,A,t,B|Ae,A,t,B|A,2,e,A,t,B|=n,则在全区间,0,),上也有,rank,e,A,t,B|Ae,A,t,B|A,2,e,A,t,B|=n,由于,rank,e,A,t,B|Ae,A,t,B|A,2,e,A,t,B|=,rank,e,A,t,B|Ae,A,t,B|A,2,e,A,t,B|,t=0,=,rank,B|AB|A,2,B|,=(,Cayley,-Hamilton Thm),rank,B|AB|A,2,B|A,n-1,B,定理,1,.4.4,定常系统,A,B,C,能控,rank,B|AB|A,2,B|A,n-1,B=n.,2.,能观测性,定义,1.4.6,(,能观测性,),给定系统,A(t),B(t),C(t),如果对于时刻,t,0,存在,t,f,t,0,使得任意初态,x(,t,0,),通过量测时间间隔,t,0,t,f,上的输出,y(t),和输入,u(t),的值而能被唯一确定,则称系统在,t,0,时刻是完全能观测的,或说系统在,t,0,t,f,区间上完全能观测,.,如果对任意时刻,t,0,J(J,是系统的时间域,t,0,不是,J,的右端点,),都是完全能观测的,则称系统是完全能观测的,.,定理,1.4.5:,给定系统,A(t),B(t),C(t),其中,C(t),连续,(,A(t),分段连续,).,则系统在,t,0,时刻能观测,t,f,t,0,使得,满秩,.,证明,:(,充分性,),已知,O(,t,0,t,f,),非奇异,.,对任意初态,x(,t,0,)=x,0,有,y(t)=C(t),(,t,t,0,),x,0,两边左乘,T,(,t,t,0,)C,T,(,t,),然后积分得到,由此可得,即,x,0,可由,t,0,t,f,上的输出,y(t),唯一确定,.,(,必要性,)(,反证法,),已知系统在,t,0,能观测,即,t,f,t,0,使得通过量测,t,0,t,f,上的输出,y(t),唯一确定,x,(t,0,).,假设对任何的,t,t,0,O(,t,t,0,),总是奇异的,所以,O(,t,f,t,0,),也是奇异的,.,因此,a0,使得,O(,t,f,t,0,)a=0,进而有,a,T,O,(,t,f,t,0,)a=0,即,由于,C(t),连续,可得到,C(t),(,t,t,0,)a=0,t,t,0,t,f,.,若视,a,为初态,x(,t,0,),则,x(,t,0,)=a,引起的输出为,y,(t)=C(t),(,t,t,0,)a=0,t,t,0,t,f,.,此说明初态,x(,t,0,)=a,0,不能由,t,0,t,f,上的输出,y(t),唯一确定,.,这与题设矛盾,.,由此可知,定理结论成立,.,推论,1.4.2,在定理,1.4.5,所给的条件下,系统在,t,0,能观测,t,f,t,0,使得在,t,0,t,f,上,C(t),(,t,t,0,),的列线性无关,.,与定理,1.4.3,类似,可得如下定理,.,定理,1.4.6,设系统,C(.),A(.),中,C(.),A(.),分别为,n-1,n-2,次连续可微,.,记,如果,t,f,t,0,使得,则系统在,t,0,能观测,.,定理,1.4.7,定常系统,A,B,C,能观测,1.4.3,伴随系统,称为系统,A(t),B(t),C(t),的伴随系统,.,伴随系统的状态转移阵,(,t,t,0,),与原系统的状态转移阵,(,t,t,0,),的关系为,(,t,t,0,)=,-T,(,t,t,0,)=(,t,0,t,),由于,A(t),B(t),C(t),在能控,存在有限时刻,t,f,t,0,使得,满秩,.,此条件正是伴随系统在,t,0,时刻能观测的,Gram,阵.,由此可见,伴随系统能观测,原系统能控,.,同样可得到,原系统能观测,伴随系统能控,.,