高考数学复习第三章三角函数3.4两角和与差的三角函数市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),3.4两角和与差三角函数,1/38,1.,(江苏,5,5分)若tan,=,则tan,=,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,解析,本题考查两角和正切公式.,因为tan,=,所以tan,=tan,=,=,=,.,2/38,2.,(江苏,8,5分,0.912)已知tan,=-2,tan(,+,)=,则tan,值为,.,答案,3,解析,解法一:tan,=tan(,+,)-,=,=,=3.,解法二:tan(,+,)=,=,=,解得tan,=3.,3.,(江苏,15,14分,0.85)已知,sin,=,.,(1)求sin,值;,(2)求cos,值.,3/38,解析,(1)因为,sin,=,所以cos,=-,=-,.,故sin,=sin,cos,+cos,sin,=,+,=-,.,(2)由(1)知sin 2,=2sin,cos,=2,=-,cos 2,=1-2sin,2,=1-2,=,所以cos,=cos,cos 2,+sin,sin 2,=,+,=-,.,思绪分析,(1)先依据,范围及sin,值求出cos,然后用两角和正弦公式求解即可.(2)出现,二倍角,联想到利用二倍角公式求解.,4/38,考点一两角和与差三角函数基本利用,1.,(课标全国文,15,5分)已知,tan,=2,则cos,=,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,解析,因为,且tan,=,=2,所以sin,=2cos,又sin,2,+cos,2,=1,所以sin,=,cos,=,则cos,=cos,cos,+sin,sin,=,+,=,.,易错警示,在求三角函数值时,惯用到sin,2,+cos,2,=1和tan,=,同时要注意角范围,以确定,三角函数值正负.,2.,(课标,14,5分)函数,f,(,x,)=sin(,x,+2,)-2sin,cos(,x,+,)最大值为,.,答案,1,5/38,解析,f,(,x,)=sin(,x,+,)+,-2sin,cos(,x,+,),=sin(,x,+,)cos,+cos(,x,+,)sin,-2sin,cos(,x,+,),=sin(,x,+,)cos,-sin,cos(,x,+,),=sin(,x,+,-,),=sin,x,f,(,x,)最大值为1.,3.,(四川,12,5分)sin 15,+sin 75,值是,.,答案,解析,sin 15,+sin 75,=sin 15,+cos 15,=,sin(15,+45,)=,sin 60,=,.,4.,(天津,15,13分)已知函数,f,(,x,)=cos,x,sin,-,cos,2,x,+,x,R.,(1)求,f,(,x,)最小正周期;,(2)求,f,(,x,)在闭区间,上最大值和最小值.,6/38,解析,(1)由已知,有,f,(,x,)=cos,x,-,cos,2,x,+,=,sin,x,cos,x,-,cos,2,x,+,=,sin 2,x,-,(1+cos 2,x,)+,=,sin 2,x,-,cos 2,x,=,sin,.,所以,f,(,x,)最小正周期,T,=,=.,(2)因为,f,(,x,)在区间,上是减函数,在区间,上是增函数,f,=-,f,=-,f,=,所以函数,f,(,x,)在闭区间,上最大值为,最小值为-,.,7/38,评析,本题主要考查两角和与差正弦公式、二倍角正弦与余弦公式,三角函数最小正周,期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.,5.,(安徽理,16,12分)已知函数,f,(,x,)=4cos,x,sin,(,0)最小正周期为.,(1)求,值;,(2)讨论,f,(,x,)在区间,上单调性.,8/38,解析(1),f,(,x,)=4cos,x,sin,=2,sin,x,cos,x,+2,cos,2,x,=,(sin 2,x,+cos 2,x,)+,=2sin,+,.,因为,f,(,x,)最小正周期为,且,0,从而有,=,故,=1.,(2)由(1)知,f,(,x,)=2sin,+,.,若0,x,则,2,x,+,.,当,2,x,+,即0,x,时,f,(,x,)单调递增;,当,2,x,+,即,x,时,f,(,x,)单调递减.,综上可知,f,(,x,)在区间,上单调递增,在区间,上单调递减.,9/38,考点二公式综合应用,1.(山东文改编,7,5分)函数,y,=,sin 2,x,+cos 2,x,最小正周期为,.,答案,解析,本题考查三角函数辅助角公式及三角函数性质.,y,=,sin 2,x,+cos 2,x,=2sin,从而最小正周期,T,=,=.,2.,(课标全国文改编,4,5分)已知sin,-cos,=,则sin 2,=,.,答案,-,解析,(sin,-cos,),2,=1-2sin,cos,=1-sin 2,=,=,sin 2,=-,.,解后反思,包括sin,cos,sin,cos,问题,通常利用公式(sin,cos,),2,=1,2sin,cos,进行转,换.,10/38,3.,(课标改编,8,5分,0.660)设,且tan,=,则2,-,=,.,答案,解析,由tan,=,得,=,即sin,cos,=cos,+sin,cos,所以sin(,-,)=cos,又cos,=sin,所以sin(,-,)=sin,又因为,所以-,-,0,-,因,此,-,=,-,所以2,-,=,.,4.,(课标全国理改编,9,5分)若cos,=,则sin 2,=,.,答案,-,解析,解法一:cos,=,sin 2,=cos,=cos,=2cos,2,-1=2,-1=-,.,解法二:cos,=,(cos,+sin,)=,cos,+sin,=,1+sin 2,=,sin 2,=-,.,11/38,5.,(天津理,15,13分)已知函数,f,(,x,)=4tan,x,sin,cos,-,.,(1)求,f,(,x,)定义域与最小正周期;,(2)讨论,f,(,x,)在区间,上单调性.,解析,(1),f,(,x,)定义域为,.,f,(,x,)=4tan,x,cos,x,cos,-,=4sin,x,cos,-,=4sin,x,-,=2sin,x,cos,x,+2,sin,2,x,-,=sin 2,x,+,(1-cos 2,x,)-,=sin 2,x,-,cos 2,x,=2sin,.,所以,f,(,x,)最小正周期,T,=,=.,12/38,(2)令,z,=2,x,-,易知函数,y,=2sin,z,单调递增区间是,k,Z.,由-,+2,k,2,x,-,+2,k,得-,+,k,x,+,k,k,Z.,设,A,=,B,=,易知A,B=,.,所以,当,x,时,f,(,x,)在区间,上单调递增,在区间,上单调递减.,方法总结,研究三角函数性质时,首先要将所研究函数等价转化为,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,形式,然,后类比,y,=sin,x,性质进行研究.,评析,本题主要考查两角差正弦公式和余弦公式、二倍角正弦公式和余弦公式,三角函数,定义域、最小正周期、单调性等基础知识.考查运算求解能力.,13/38,6.,(重庆,17,13分)已知函数,f,(,x,)=,sin(,x,+,),图象关于直线,x,=,对称,且,图象上相邻两个最高点距离为.,(1)求,和,值;,(2)若,f,=,求cos,值.,解析,(1)因为,f,(,x,)图象上相邻两个最高点距离为,所以,f,(,x,)最小正周期,T,=,从而,=,=2.,又因为,f,(,x,)图象关于直线,x,=,对称,所以2,+,=,k,+,k,Z.由-,得,k,=0,所以,=,-,=-,.,(2)由(1)得,f,=,sin,=,所以sin,=,.,由,得0,-,14/38,所以cos,=,=,=,.,所以cos,=sin,=sin,=sin,cos,+cos,sin,=,+,=,.,15/38,1.,(课标全国理,15,5分)设当,x,=,时,函数,f,(,x,)=sin,x,-2cos,x,取得最大值,则cos,=,.,C,组 教师专用题组,答案,-,解析,由辅助角公式得:,f,(,x,)=,=,sin(,x,-,),其中sin,=,cos,=,由,x,=,时,f,(,x,)取得最大值得:sin(,-,)=1,-,=2,k,+,k,Z,即,=,+,+2,k,k,Z,cos,=cos,=-sin,=-,.,评析,本题考查了辅助角公式应用,准确掌握辅助角含义是解题关键.,2.,(福建,16,13分)已知函数,f,(,x,)=cos,x,(sin,x,+cos,x,)-,.,(1)若0,且sin,=,求,f,(,)值;,(2)求函数,f,(,x,)最小正周期及单调递增区间.,16/38,解析,解法一:(1)因为0,sin,=,所以cos,=,.,所以,f,(,)=,-,=,.,(2)因为,f,(,x,)=sin,x,cos,x,+cos,2,x,-,=,sin 2,x,+,-,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=,sin,所以,T,=,=.,由2,k,-,2,x,+,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,17/38,所以,f,(,x,)单调递增区间为,k,Z.,解法二:,f,(,x,)=sin,x,cos,x,+cos,2,x,-,=,sin 2,x,+,-,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=,sin,.,(1)因为0,sin,=,所以,=,从而,f,(,)=,sin,=,sin,=,.,(2),T,=,=.,由2,k,-,2,x,+,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,所以,f,(,x,)单调递增区间为,k,Z.,18/38,评析,本题主要考查同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角和与差三角函数公式及,三角函数图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.,3.,(四川,16,12分)已知函数,f,(,x,)=sin,.,(1)求,f,(,x,)单调递增区间;,(2)若,是第二象限角,f,=,cos,cos 2,求cos,-sin,值.,解析,(1)因为函数,y,=sin,x,单调递增区间为,k,Z,所以由-,+2,k,3,x,+,+2,k,k,Z,得,-,+,x,+,k,Z.,所以,函数,f,(,x,)单调递增区间为,k,Z.,(2)由已知,有sin,=,cos,(cos,2,-sin,2,),所以sin,cos,+cos,sin,=,(cos,2,-sin,2,).,19/38,即sin,+cos,=,(cos,-sin,),2,(sin,+cos,).,当sin,+cos,=0时,由,是第二象限角,知,=,+2,k,k,Z.,此时,cos,-sin,=-,.,当sin,+cos,0时,有(cos,-sin,),2,=,.,由,是第二象限角,知cos,-sin,0)个单位长度后,所,得图象关于,y,轴对称,则,m,最小值是,.,答案,解析,y,=,cos,x,+sin,x,=2sin,所以此函数图象向左平移,m,(,m,0)个单位长度后得到,y,=2,sin,图象,由题意得,m,+,=,+,k,(,k,Z),m,0,m,=,+,k,(,k,Z且,k,0),所以,m,最小,值是,.,23/38,二、解答题(共35分),5.,(南京高三学情调研,15)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,以,x,轴正半轴为始边锐角,和钝,角,终边分别与单位圆交于点,A,B,若点,A,横坐标是,点,B,纵坐标是,.,(1)求cos(,-,)值;,(2)求,+,值.,24/38,解析,(1)由任意角三角函数定义得cos,=,结合,为锐角,得sin,=,=,.同理,得sin,=,结合,为钝角,得cos,=-,=-,.,则cos(,-,)=cos,cos,+sin,sin,=,+,=-,.,(2)因为,所以,+,由(1)得sin(,+,)=sin,cos,+cos,sin,=,+,=,结合,+,可得,+,=,.,25/38,6.,(江苏苏北四市一模,15)在锐角三角形,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,已知sin,A,=,tan,(,A,-,B,)=-,.,(1)求tan,B,值;,(2)若,b,=5,求,c,.,解析,(1)在锐角三角形,ABC,中,由sin,A,=,得cos,A,=,=,所以tan,A,=,=,.,由tan(,A,-,B,)=,=-,得tan,B,=2.,(2)在锐角三角形,ABC,中,由tan,B,=2,得sin,B,=,cos,B,=,所以sin,C,=sin(,A,+,B,)=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,=,由正弦定理得,c,=,=,.,26/38,7.,(江苏苏州期末,15)已知向量,a,=(sin,2),b,=(cos,1),且,a,b,共线,其中,.,(1)求tan,值;,(2)若5cos(,-,)=3,cos,0,求,值.,解析,(1),a,b,sin,-2cos,=0,tan,=2,tan,=,=,=-3.,(2)由(1)知tan,=2,又,sin,=,cos,=,5cos(,-,)=3,cos,5(cos,cos,+sin,sin,)=3,cos,即,cos,+2,sin,=3,cos,cos,=sin,即tan,=1,又0,0,tan,0,且cos,cos,-sin,sin,=,则sin,cos,-tan,sin,2,=tan,所以tan,=,=,=,=,=,当且仅当tan,=,时等号成立.,tan,最大值为,.,31/38,二、解答题(共35分),5.,(南通高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,以,x,轴正半轴为始边作锐角,其终,边与单位圆交于点,A,.以,OA,为始边作锐角,其终边与单位圆交于点,B,AB,=,.,(1)求cos,值;,(2)若点,A,横坐标为,求点,B,坐标.,32/38,解析,(1)在,AOB,中,由余弦定理得,cos,AOB,=,=,=,所以cos,=,.,(2)因为cos,=,所以sin,=,=,=,.,因为点,A,横坐标为,由三角函数定义可得cos,=,因为,为锐角,所以sin,=,=,=,.,所以cos(,+,)=cos,cos,-sin,sin,=,-,=-,sin(,+,)=sin,cos,+cos,sin,=,+,=,.,所以点,B,坐标为,.,33/38,6.,(江苏五校联考,15)已知函数,f,(,x,)=2cos(,x,+,),图象与,y,轴交于点(0,),且,该函数最小正周期为.,(1)当,x,时,求函数,f,(,x,)值域;,(2)若,f,=,f,=,求sin(,+,)值.,解析,(1),=,且,0,=2,则,f,(,x,)=2cos(2,x,+,),由已知得,f,(0)=,2cos,=,则cos,=,.,=,f,(,x,)=2cos,.,x,2,x,+,cos,当,x,时,f,(,x,)值域为-2,1.,34/38,(2)由,f,=,得sin,=-,由,f,=,得cos,=-,cos,=-,sin,=-,sin(,+,)=sin,cos,+cos,sin,=-,+,=,.,思绪分析,(1)利用最小正周期求出,值,利用函数图象与,y,轴交点,结合,范围求出,值,可得表示式,进而求出值域.,(2)由已知条件能够求出,正弦、余弦值,再利用两角和正弦公式求出相关值.,35/38,7.,(南京三模,15)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,已知,a,cos,C,+,c,cos,A,=2,b,cos,A,.,(1)求角,A,值;,(2)求sin,B,+sin,C,取值范围.,36/38,解析,(1)因为,a,cos,C,+,c,cos,A,=2,b,cos,A,所以sin,A,cos,C,+sin,C,cos,A,=2sin,B,cos,A,即sin(,A,+,C,)=2sin,B,cos,A,因为,A,+,B,+,C,=,所以sin(,A,+,C,)=sin,B,从而sin,B,=2sin,B,cos,A,因为sin,B,0,所以cos,A,=,因为0,A,所以,A,=,.,(2)sin,B,+sin,C,=sin,B,+sin,=sin,B,+sin,cos,B,-cos,sin,B,=,sin,B,+,cos,B,=,sin,由(1)知0,B,所以,B,+,所以,sin,1,所以sin,B,+sin,C,取值范围为,.,37/38,填空题,(泰州中学第一学期第一次质量检测)设,a,b,均为大于1自然数,函数,f,(,x,)=,a,(,b,+sin,x,),g,(,x,)=,b,+,cos,x,若存在实数,m,使得,f,(,m,)=,g,(,m,),则,a,+,b,=,.,C,组 高考模拟创新题组,答案,4,解析,由题意得,a,(,b,+sin,m,)=,b,+cos,m,a,sin,m,-cos,m,=,b,-,ab,有解,即,a,2,+1,(,b,-,ab,),2,b,2,=1+,因为,b,2,所以,3,3,a,2,-8,a,+3,0,而,a,2,a,N,所以,a,=2,即,b,2,5,b,=2,所以,a,+,b,=,4.,38/38,