资源描述
广安市2024年初中学业水平考试试题
数学
注意事项：
1.本试卷分为试题卷（1－4页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分120分．
2.考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否一致．
3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑．
4.考试结束，监考人员必须将缺考学生和参考学生的答题卡、试题卷一并收回．
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数最大的是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
2. 代数式的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
5. 如图，在中，点，分别是，中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 将580000用科学记数法表示：
B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8
C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D. “五边形的内角和是”是必然事件
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
8. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11 ______．
12. 分解因式：＝________________．
13. 若，则______．
14. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______．
15. 如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
16. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第、、小题各6分，共23分）
17. 计算：．
18. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
19. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
20. 如图，一次函数（，为常数，）图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第、、小题各8分，共30分）
21. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
学生类别
学生平均每天睡眠时间（单位：小时）
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______．
（2）请补全条形统计图．
（3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
22. 某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元．
（1）求，两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）
24. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．
五、推理论证题（9分）
25. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
六、拓展探究题（10分）
26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
广安市2024年初中学业水平考试试题
数学
注意事项：
1.本试卷分为试题卷（1－4页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分120分．
2.考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否一致．
3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑．
4.考试结束，监考人员必须将缺考学生和参考学生的答题卡、试题卷一并收回．
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数最大的是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵，
∴最大的数是1
故选：D．
2. 代数式的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可．
【详解】解：代数式的意义可以是与x的积．
故选C．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A、和不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
5. 如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 将580000用科学记数法表示为：
B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8
C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D. “五边形的内角和是”是必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可．
【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为：，故本选项不符合题意；
B、这列数据从小到大排列为，，，，，中，8出现了3次，故众数是8，中位数是，故本选项不符合题意；
C、，则，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意；
D、“五边形的内角和是”是必然事件，故本选项符合题意．
故选：D．
7. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
8. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段．
【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长，
最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短．
故选：B．
9. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
又，
∵
∴，
∴的长度为，
故选：C．
10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. ______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可.
【详解】解：，
故答案为：
12. 分解因式：＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 若，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到，再整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案：7．
14. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，
，，
绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
四边形是正方形．
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
16. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，
∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第、、小题各6分，共23分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，掌握相应的运算法则是解本题的关键.
18. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
【答案】，时，原式，时，原式.
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
且
∴当时，原式；
当时，原式.
19. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．
20. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积大于12，
∴，即，
当时，则,
解得：，
当时，则，
解得：；
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第、、小题各8分，共30分）
21. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
学生类别
学生平均每天睡眠时间（单位：小时）
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______．
（2）请补全条形统计图．
（3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
（1）根据类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以类的人数占比即可求出类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数；
（2）根据（1）所求，求出类的人数即可补全统计图；
（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人）；
；
故答案为：50；；
【小问2详解】
解：类的人数为（人），
补全条形统计图，如图，
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种．
．
22. 某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元．
（1）求，两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株
（2）当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
（1）设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，根据题意列出不等式，得出，进而根据题意，得到，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，
由题意得：，
解得：，
答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株．
【小问2详解】
解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，
由题意得：，
，
解得：，
在中，
，
随的增大而减小，
当时的值最小，
，
此时．
答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）
【答案】32m
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案.
【详解】解：过点作于点，作于点
由题意得：，
在中，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中.
，
答：该风力发电机塔杆的高度为.
24. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.
【详解】解：如图，
五、推理论证题（9分）
25. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线；
（2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键．
六、拓展探究题（10分）
26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，点的坐标为
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可；
（3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可.
小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
设，
∴，
∴
；
当时，有最大值；
此时；
【小问3详解】
解：如图，以为对角线作正方形，
∴，
∴与抛物线的另一个交点即为，
如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∴,
∴，
由可得：
∴，
解得：，
∴，
设为：，
∴，解得：，
∴直线为：，
∴，
解得：或，
∴，
∵，，，正方形，
∴，
同理可得：直线为，
∴，
解得：或，
∴，
综上：点的坐标为或.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
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