资源描述
2024-2025 学年第一学期教学质量监测二八年级数学
第一部分：选择题（30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上）
1. 中国 “二十四节气” 已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表 “立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ）
A. 10cm B. 25cm C. 50cm D. 55cm
3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A. 105° B. 75° C. 65° D. 55°
4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这 一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
第 5页，共 6页
A a2 + a4 = a6 B. a3 × a3 = 2a3
C. (a3 )2 = a6
D. (-2xy )3 = -6x3 y3
6. 一个多边形每一个外角都等于 45°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
7. 已知 xa=2，xb=5，则 xa+b 等于 （ ）
A. 7 B. 10 C. 20 D. 50
8. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，ÐC = 30° ，点 D 在 BC 上， AB ^ AD ， AD = 2 ，则 BC 等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是（ ）
A AC = 3 ， AB = 4 ， BC = 8 B. ÐA = 50° ， ÐB = 30° ， AB = 2
C. ÐC = 90° ， AB = 90 D. AC = 4 ， AB = 5 ，ÐB=60°
10. 如图，在 Rt△ABC 中，ÐACB = 90°, AC = 6, BC = 8 ，AB = 10, AD 是ÐBAC 的平分线．若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC + PQ 的最小值是（ ）
A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5
第二部分：填空与解答题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上）
11. 在V ABC 中， AB = AC,ÐC = 65° ，则ÐB = ．
12. 凸七边形的内角和是 度．
13. 计算：(15x2 y -10xy2 ) ¸ 5xy = ．
14. 如图，已知V ABC 的周长是 21 ， OB ， OC 分别平分ÐABC 和ÐACB ， OD ^
BC 于点 D ，且
OD = 4 ， V ABC 的面积是 ．
15. 如图，已知ÐB = 20° ， ÐC = 25°，若 PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则ÐPAQ = °．
16. 如图，在等边三角形 ABC 中，DE ∥ BC ，EB = EF ．若 BD = 4 ，BF = 8 ，则线段 DE 的长为 ．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简： (x - y)(x + 3y) - x(x + 2 y) .
18. 一个多边形的内角和与外角和的差为 1260 度，求它的边数．
19. 如图，点A ，F ，B ，E 在同一条直线上，ÐA = ÐD ，DE ∥ BC ，AB = DE ．求证：ÐC = ÐDFE ．
20. 在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标分别为 A (5, 2) ， B (3,5)， C (-1, -1) ，
（1） 画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
（2） 求△A1B1C1 的面积．
21. （1）已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高．尺规作图：作ÐABC 的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若 l 与 AD 交于点 E，且 BE = AC, BD = AD ，求证： AB = BC ．
22. 如图，一个小长方形的长为 a + b ，宽为 a，把 6 个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
（1） 大长方形的宽 m = ，长 n = （长和宽都用含 a，b 的式子来表示）．
（2） 求在大长方形中，阴影部分的面积（用含 a，b 的式子来表示）
（3） 若b = 2a ，大长方形面积为 S ，大长方形内阴影部分的面积为 S ，则 S2
= ．
S
1 2
1
23. 已知在V ABC 中， AB = AC ，点 D 是边 AB 上一点， ÐBCD = ÐA．
（1） 如图 1，试说明CD = CB 的理由；
（2） 如图 2，过点 B 作 BE ^ AC ，垂足为点 E， BE 与CD 相交于点 F．
①试说明ÐBCD = 2ÐCBE 的理由；
②如果V BDF 是等腰三角形，求ÐA 的度数．
24. 在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．
（1） 当 BD = DE 时，连接CF ，
① ÐABF = ．
② 求证： △ABE≌△CBF
（2） 连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时ÐDBF 的度数；若没有请说明理由．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， A(a, 0), B (0,b) ，且 a，b 满足(a - 4)2 + b - 4 = 0 ，连接 AB ， ÐOBA = 45°．
（1） 求点 A、点 B 的坐标．
（2） 动点 P 从点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度沿 y 轴正半轴运动，运动时间为 t 秒，连接 AP ，过点 P 作
PM ^ AP ，且 PM = PA，点 M 在第一象限，请用含有 t 的式子表示点 M 的坐标．
（3） 在（2）的条件下，连接 MB 并延长交 x 轴于点 Q，连接 AM ，过点 B 作 PM 的平行线交 x 轴于点 R， 当 SVMQA = 28 时，求点 R 的坐标．
2024-2025 学年第一学期教学质量监测二八年级数学
第一部分：选择题（30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上）
1. 中国 “二十四节气” 已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表 “立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是 解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ）
A. 10cm B. 25cm C. 50cm D. 55cm
【答案】B
第 15页，共 22页
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小 于第三边．首先设第三根木条的长度为 xcm ，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得30 - 20 < x < 30 + 20 ，再解即可．
【详解】解：设第三根木条的长度为 xcm ，根据三角形的三边关系可得：
30 - 20 < x < 30 + 20 ， 即：10 < x < 50 ，
只有选项 B 符合要求， 故选：B
3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A. 105° B. 75° C. 65° D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题 的关键．
4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这 一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方
法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法SSS,SAS,AAS,ASA,HL ，以及全等三角形对应角相等，即可解答．
【详解】解：由作图可知 AC = AB = DE = DF ,BC = EF ，
在V ABC 和VDEF 中，
ì AC = DF
í
ï AB = DE ，
î
ïBC = EF
∴ V ABC≌VDEF (SSS) ，
∴ ÐBAC = ÐEDF ， 故选：D．
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. a2 + a4 = a6 B. a3 × a3 = 2a3
C. (a3 )2 = a6
D. (-2xy )3 = -6x3 y3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分 别对各项进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】A 、a2 与 a4 不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
B 、 a3 × a3 = a3+3 = a6 ，原选项计算错误，不符合题意；
C 、(a3 )2 = a6 ，原选项计算正确，符合题意；
D 、(-2xy )3 = -8x3 y3 ，原选项计算错误，不符合题意；故选： C ．
6. 一个多边形每一个外角都等于 45°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的 关系，是解题关键．
根据多边形的外角和是 360 度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：多边形的边数是： 360 = 8 ，
45
故选：C．
7. 已知 xa=2，xb=5，则 xa+b 等于 （ ）
A. 7 B. 10 C. 20 D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可．
【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10． 故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键．
8. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，ÐC = 30° ，点 D 在 BC 上， AB ^ AD ， AD = 2 ，则 BC 等于（ ）
A 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根 据等腰三角形的性质求出ÐB 和ÐBAC 度数，利用直角三角形中含30° 所对应的边是斜边的一半求出 BD 的长度，根据角度相等求出 AD = CD 以及对应长度，从而求出 BC 长度．
【详解】解：Q AB = AC ， ÐC = 30° ，
\ÐB = ÐC = 30° ， ÐBAC = 120° ，
Q AB ^ AD ， AD = 2 ，
\ BD = 2AD = 4 ， ÐBAD = 90° ，
\ÐCAD = ÐBAC - ÐBAD = 120° - 90° = 30° ，
\ÐCAD = ÐDCA = 30° ，
\ AD = CD = 2 ，
\ BC = BD + CD = 4 + 2 = 6 ． 故选：C．
9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是（
）
A. AC = 3 ， AB = 4 ， BC = 8
C. ÐC = 90° ， AB = 90
B.
D.
ÐA = 50° ， ÐB = 30° ， AB = 2
AC = 4 ， AB = 5 ，ÐB=60°
【答案】B
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误；
D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题 关键．
10. 如图，在Rt△ABC 中，ÐACB = 90°, AC = 6, BC = 8 ，AB = 10, AD 是ÐBAC 的平分线．若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC + PQ 的最小值是（ ）
A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可以把Q 关于 AD 对称到 AB 的O 点，如此 PC + PQ 的最小值问题即变为C 与线段 AB 上
某一点O 的最短距离问题，最后根据“ 垂线段最短” 的原理得解．
【详解】解：如图，作Q 关于 AD 的对称点O ，则 PQ = PO ，连接 PO ，过点C 作CM ^
AB于点 M ，
所以O 、 P 、C 三点共线时， CO = PC + PO = PC + PQ ，此时 PC + PQ 有可能取得最小值，
Q当CO 垂直于 AB 即CO 移到CM 位置时， CO 的长度最小，
\ PC + PQ 的最小值即为CM 的长度，
Q SV ABC
= 1 AB ´ CM = 1 AC ´ CB ，
2 2
\ CM = 6 ´ 8 = 4.8 ，即 PC + PQ 的最小值为4.8 ．
10
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一 点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
第二部分：填空与解答题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上）
11. 在V ABC 中， AB = AC,ÐC = 65° ，则ÐB = ．
【答案】65°
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角 直接求解即可．
【详解】解：如图：
Q AB = AC ，∠C = 65° ，
\ÐB = ÐC = 65° ，
故答案为： 65°．
12. 凸七边形的内角和是 度．
【答案】900
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：七边形的内角和= (n - 2)´180° = (7 - 2)´180° = 900°， 故答案为：900．
13. 计算：(15x2 y -10xy2 ) ¸ 5xy = ．
【答案】3x - 2 y
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式= 15x2 y ¸ 5xy -10xy2 ¸ 5xy
= 3x - 2 y ，
故答案为： 3x - 2 y ．
14. 如图，已知V ABC 的周长是 21 ， OB ， OC 分别平分ÐABC 和ÐACB ， OD ^
OD = 4 ， V ABC 的面积是 ．
【答案】42
【解析】
BC 于点 D ，且
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关 键．
根据角平分线的性质可得OE = OF = OD = 4 ，从而可得到V ABC 的面积等于周长的一半乘以 2，代入求出
即可．
【详解】如下图，连接OA ，过O 作OE ^ AB 于 E ， OF ^ AC 于 F ，
Q OB 、OC 分别平分ÐABC 和ÐACB ，
∴ OA 是ÐBAC 的平分线，
∵ OE ^ AB ， OF ^ AC ， OD ^ BC
∴ OE = OF = OD = 4 ，
QV ABC 的周长是 21 ，
\ SV ABC
= 1 ´ AB ´ OE + 1 ´ BC ´ OD + 1 ´ AC ´ OF
2 2 2
= 1 ( AB + BC + AC) ´ 4 2
= 1 ´ 21´ 4
2
= 42 ，
故答案为： 42 ．
15. 如图，已知ÐB = 20° ， ÐC = 25°，若 PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则ÐPAQ = °．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由 PM 和
QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，得出Ð2 = ÐB ， Ð1 = ÐC ，根据三角形内角和性质列式作答即可．
【详解】解：如图：
Q PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，
\ AP = PB ， AQ = QC ，
\Ð2 = ÐB ， Ð1 = ÐC ，
QÐB = 20° ， ÐC = 25°，
\Ð3 = 180° - 2(ÐB + ÐC) = 90° ， 故答案为：90．
16. 如图，在等边三角形 ABC 中，DE ∥ BC ，EB = EF ．若 BD = 4 ，BF = 8 ，则线段 DE 的长为 ．
【答案】2
【解析】
【分析】过点 E 作 EH ^BC 于点 H，根据V ABC 是等边三角形， DE ∥ BC ，得到V ADE 是等边三角形，
已知 EB = EF ，得到 BH = FH = 1 BF = 4 ，结合 BD = 4 ，得到 EC = BD = 4 ，在△EHC 中，求得
2
HC = 1 EC = 2 ，表示出 BC = BH + HC = 6 ，根据 AC = BC = 6 = EC + EA = 4 + AE 即可求得线段
2
AE = 2 的长，继而得到 DE 的长．
本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有30° 角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：过点 E 作 EH ^BC 于点 H，
∵V ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A = 60°， AB = BC = CA ，
∵ DE ∥ BC ，
∴ ÐADE = ÐAED = ÐABC = ÐACB = ÐA = 60° ，
∴V ADE 是等边三角形，
∴ DE = AE = AD ，
∴ AC - AE = AB - AD ，
∴ CE = BD ，
∵ BD = 4 ，
∴ CE = 4 ，
∵ EB = EF ， EH ^BC ， BF = 8 ，
∴ BH = FH = 1 BF = 4 ， ÐHEC = 30° ，
2
∴ HC = 1 EC = 2 ，
2
∴ BC = BH + HC = 6 ，
∴ AC = BC = 6 = EC + EA = 4 + AE ，
∴ AE = 2 ，
∴ DE = 2 ． 故答案为：2．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简： (x - y)(x + 3y) - x(x + 2 y) .
【答案】-3y2
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式计算以后，再合并即可．
【详解】解： (x - y)(x + 3y) - x(x + 2 y)
=x2+3xy-xy-3y2-x2-2xy
=-3y2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18. 一个多边形的内角和与外角和的差为 1260 度，求它的边数．
【答案】11
【解析】
【详解】分析：设多边形的边数是 n，则内角和为(n－2)·180，外角和为 360°，然后根据内角和与外角和
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的差为 1260 度列方程求解即可. 详解：设多边形的边数是 n，则
(n－2)·180－360＝1 260.解得 n＝11. 答：它的边数为 11.
点睛：本题考查了多边形的内外角和的应用，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解答本题的关键.
19. 如图，点A ，F ，B ，E 在同一条直线上，ÐA = ÐD ，DE ∥ BC ，AB = DE ．求证：ÐC = ÐDFE ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据 DE ∥ BC 得出ÐABC = ÐE ，进而证明VABC≌VDEF (ASA) ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：Q DE ∥ BC ，
\ÐABC = ÐE ．
又QÐA = ÐD ， AB = DE ，
\VABC≌VDEF (ASA) ．
\ÐC = ÐDFE ．
20. 在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标分别为 A (5, 2) ， B (3,5)， C (-1, -1) ，
（1） 画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
（2） 求△A1B1C1 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，求三角形面积，
（1） 根据轴对称的性质，描出点 A，B，C 的对应点 A1 ， B1 ， C1 ，顺次连接即可；
（2） 利用分割法求 A1B1C1 的面积即可．
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求，
；
【小问 2 详解】
解; S = 6 ´ 6 - 1 ´ 6 ´ 3 - 1 ´ 2 ´ 3 - 1 ´ 6 ´ 4 = 12 ．
V A1B1C1
2 2 2
21. （1）已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高．尺规作图：作ÐABC 的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若 l 与 AD 交于点 E，且 BE = AC, BD = AD ，求证： AB = BC ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可．
（2）过点 E 作 EH⊥AB 于 H，将 AB 分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证．
【详解】（1）∠ABC 的角平分线如图所示：
（2）如图，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，
∵BE 平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，
∴EH=ED，
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BHE（HL），
∵ВH=BD，
ìBD = AD
î
在 Rt△BDE 和 Rt△ADC 中íBE = AC ，
∴△BDE≌△ADC（HL），
∴DE=DC，
∴HE=CD，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°，
∵HE⊥AB，
∴∠HEA=∠HAE=45°，
∴HE=AH=CD，
∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形 的判定定理和正确作出辅助线是解题关键．
22. 如图，一个小长方形的长为 a + b ，宽为 a，把 6 个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
（1） 大长方形的宽 m = ，长 n = （长和宽都用含 a，b 的式子来表示）．
（2） 求在大长方形中，阴影部分的面积（用含 a，b 的式子来表示）
2
（3） 若b = 2a ，大长方形面积为 S ，大长方形内阴影部分的面积为 S ，则 S2
= ．
S
1
1
【答案】（1） 2a + b ， 4a + b
（2） 2a2 + b2
（3） 1
4
【解析】
【分析】（1）利用整式的加减即可求解；
（2） 利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去 6 个小长方形的面积即可求解；
（3） 当b = 2a 时，分别用 a 表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解．
【小问 1 详解】
解：大长方形的宽 m = a + b + a = 2a + b ， 长 n = 3a + a + b = 4a + b ，
故答案为： 2a + b ， 4a + b ；
【小问 2 详解】
解：大长方形面积为= (2a + b)(4a + b ) = 8a 2 + 2ab + 4ab + b 2 = 8a 2 + 6ab + b 2 ， 故阴影部分的面积= 8a2 + 6ab + b2 - 6a (a + b )
= 8a2 + 6ab + b2 - 6a2 - 6ab
= 2a2 + b2 ；
【小问 3 详解】
解：当b = 2a 时， S1
= 8a2 + 6ab + b2 = 8a2 +12 a2 + 4 a2 = 24 a2 ；
2
S = 2a2 + b2 = 2a2 + (2a )2 = 6a 2 ；
S 6a2 1
∴ 2 = = ，
1
S 24a 2 4
故答案为： 1 ．
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【点睛】此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合 并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
23. 已知在V ABC 中， AB = AC ，点 D 是边 AB 上一点， ÐBCD = ÐA．
（1） 如图 1，试说明CD = CB 的理由；
（2） 如图 2，过点 B 作 BE ^ AC ，垂足为点 E， BE 与CD 相交于点 F．
①试说明ÐBCD = 2ÐCBE 的理由；
②如果V BDF 是等腰三角形，求ÐA 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 45°或36°
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是 解决问题的关键．
（1） 根据等腰三角形的性质可得∠ABC = ÐACB ，再利用三角形的外角性质可得∠ BDC = ÐA + ÐACD ，
从而可得ÐBDC = ÐACB ，然后根据等量代换可得ÐABC = ÐBDC ．再根据等角对等边可得CD = CB ， 即可解答；
（2） ①根据垂直定义可得ÐBEC = 90°，从而可得ÐCBE + ÐACB = 90°，然后设ÐCBE = a，则
ÐACB = 90° -a，利用（1）的结论可得ÐACB = ÐABC = ÐBDC = 90° -a，最后利用三角形内角和定理 可得ÐBCD = 2a，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得ÐBFD = 3a，然后分三种情况：当 BD = BF 时；当 DB = DF 时；当 FB = FD
时；分别进行计算即可解答．
【小问 1 详解】
解：∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ÐACB ，
∵ ÐBDC 是△ADC 的一个外角，
∴ ÐBDC = ÐA + ÐACD ，
∵ ÐACB = ÐBCD + ÐACD ， ÐBCD = ÐA，
∴ ÐBDC = ÐACB ，
∴ ÐABC = ÐBDC ．
∴ CD = CB ；
【小问 2 详解】
解：①∵ BE ^ AC ，
∴ ÐBEC = 90°，
∴ ÐCBE + ÐACB = 90°，
设ÐCBE = a，则ÐACB = 90° -a，
∴ ÐACB = ÐABC = ÐBDC = 90° -a，
∴ ÐBCD = 180° - ÐBDC - ÐABC = 180° -(90° -a) -(90° -a) = 2a，
∴ ÐBCD = 2ÐCBE ；
②∵ ÐBFD 是V CBF 的一个外角，
∴ ÐBFD = ÐCBE + ÐBCD =a+ 2a= 3a， 分三种情况：
当 BD = BF 时，
∴ ÐBDC = ÐBFD = 3a，
∵ ÐACB = ÐABC = ÐBDC = 90° -a，
∴ 90° -a= 3a，
∴a= 22.5°，
∴ ÐA = ÐBCD = 2a= 45° ； 当 DB = DF 时，
∴ ÐDBE = ÐBFD = 3a，
∵ ÐDBE = ÐABC - ÐCBE = 90° -a-a= 90° - 2a，
∴ 90° - 2a= 3a，
∴a= 18° ，
∴ ÐA = ÐBCD = 2a= 36° ； 当 FB = FD 时，
∴ ÐDBE = ÐBDF ，
∵ ÐBDF = ÐABC > ÐDBF ，
∴不存在 FB = FD ，
综上所述：如果V BDF 是等腰三角形，ÐA 的度数为 45°或36° ．
24. 在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．
（1） 当 BD = DE 时，连接CF ，
① ÐABF = ．
② 求证： △ABE≌△CBF
（2） 连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时ÐDBF 的度数；若没有请说明理由．
【答案】（1）① 75°，②证明过程
（2） 30°
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得ÐABC = ÐEBF = 60° ， ÐADB = 90° ，再根据等腰直角三角
形的性质可得ÐEBD = ÐBED = 45° ，求得ÐCBF = 15° ，再利用ÐABF = ÐABC + ÐCBF 求解即可；
②根据等边三角形的性质可得ÐABC = ÐEBF = 60° ， AB = BC ， BE = BF ，再利用等量代换可得
ABE = ÐCBF ，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）连接CF ，由②同理可证VABE≌VCBF (SAS ) ，可得ÐBCF = ÐBAD = 30° ，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、DG ，则 DF = FG ，当 B、F、G 三点共线，BF + DF 的最小值为 BG ，且 BG ^ CG 时， V BDF 的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可．
【小问 1 详解】
解：①∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ÐABC = ÐEBF = 60° ，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD ^BC ，即ÐADB = 90° ，
∵ BD = DE ，
∴ ÐEBD = ÐBED = 45° ，
∴ ÐCBF = ÐEBF - ÐEBD = 60° - 45° = 15° ，
∴ ÐABF = ÐABC + ÐCBF = 60° + 15° = 75° ， 故答案为： 75°；
②证明：∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ÐABC = ÐEBF = 60° ， AB = BC ， BE = BF ，
∵ ÐABE + ÐEBD = 60°， ÐCBF + ÐEBD = 60° ，
∴ ÐABE = ÐCBF ，
∴ VABE≌VCBF (SAS )；
【小问 2 详解】解：连接CF ，
∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ÐABC = ÐEBF = 60° ， AB = BC ， BE = BF ，
∵ ÐABE + ÐEBD = 60°， CBF + ÐEBD = 60° ，
∴ ABE = ÐCBF ，
∴ VABE≌VCBF (SAS )；
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ ÐBCF = ÐBAD = 30° ，
如图，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、 DG ，则 DF = FG ，
∴当 B、F、G 三点共线， BF + DF 的最小值为 BG ，且 BG ^ CG 时， V BDF 的周长最小， 由轴对称的性质得， ÐDCG = 2ÐBCF = 60°， CD = CG ，
∴△DCG 是等边三角形，
∴ DG = DC = DB ，
∴ ÐCGD = ÐCDG = 60° ，
∵ BG ^ CG ，即ÐCGB = 90°，
∴ ÐCBF = 90° - 60° = 30°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性 质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， A(a, 0), B (0,b) ，且 a，b 满足(a - 4)2 + b - 4 = 0 ，
连接 AB ， ÐOBA = 45°．
（1） 求点 A、点 B 的坐标．
（2） 动点 P 从点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度沿 y 轴正半轴运动，运动时间为 t 秒，连接 AP ，过点 P 作
PM ^ AP ，且 PM = PA，点 M 在第一象限，请用含有 t 的式子表示点 M 的坐标
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