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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.1 任意角,问题提出,1.角是平面几何中的一种基本图形，角是能够度量大小的.在平面几何中，角的取值范畴如何？,生活中实例：,体操运动员转体720，,跳水运动员向内、向外转体1080；,扳手拧螺母；,这些例子不仅不在范畴0,360,因此仅有0360范畴内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.,角的范畴:00,3600.,锐角,直角,钝角,平角,周角,思考1：对于角的图形特点有以下两种认识：,图2,图1,角是由平面内一条射线绕其端点从一种位置旋转到另一种位置所构成的图形（图2）.,角是由平面内一点引出的两条射线所构成的图形(图1)；,(1)定义：平面内一条射线绕着其端点从一种位置旋转到另一种位置所构成的图形，叫做角.,其中，射线的起始位置叫做角的始边；,射线的终止位置叫做角的终边；,射线的端点叫做角的顶点.,A,O,B,1.任意角的概念,在不引起混淆的情况下，角 或,，可简记成,；,注1：角的四个“要素”是：顶点、始边、终边和,旋转方向,.,思考2：普通地，一条射线绕其端点旋转，既能够按逆时针方向旋转，也能够按顺时针方向旋转.,你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角与否相等？,思考3：为了分辨形成角的两种不同的旋转方向，可作如何的规定？,60,60,如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一种角吗？,60,(2)角的分类，规定：,按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;,若一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一种零角.,A,O,B,1.任意角的概念,注2：角度的范畴不再限于003600；,拟定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数；,当角的始边相似时，角相等则终边相似，但终边相似的角不一定相等.,引入正、负角的概念后，角的加减运算类似于实数的加减运算.,练习,2.象限角和轴线角,为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角：,我们使角的顶点与原点重叠,始边与x轴的正半轴重叠，,x,o,y,角,的终边落在第几象限，则称角,为第几象限角；,角,的终边落在坐标轴上，则称角,为轴线角；,练1：,-,50，405，210,-,200，,-,450分别是第几象限的角？,50,x,y,o,x,y,o,210,450,x,y,o,405,x,y,o,200,x,y,o,练2：精确分辨“锐角”和“第一象限角”，“钝角”和“第二象限角”,第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,锐角是第一象限角，钝角是第二象限角;反之否则.,问：集合M=不大于90的角，N=锐角的关系如何？,精确分辨：,（涉及负角）,思考4:在直角坐标系中，与135角的终边相似的角有多少个呢？这些角之间存在什么内在联系？,x,y,o,终边相似的角，度数相差360的整数倍,可用集合S=|=135+k360,kZ来表达全部与135的角终边相似的角：,当k=0时，表达135的角；,当k=1时，表达495的角；,当k=-1时，表达225的角；,这些角与135在数量上相差多少度？,思考5,注3：,一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构成的集合S可以表示为：,即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.,3.终边相似的角,例1 在 范围内，找出与 角终边相同的角，并判断它是第几象限角.,练1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 的角写出来.,解,:,思考5:,集合M,=,|,=495+,k,360,k,Z,与集合N,=,|,=135+,k,360,k,Z等价么？,集合M=|=495+k360,kZ和,集合N=|=135+k360,kZ都,表达全部与135的角终边相似的角：,x,y,o,对集合N，,当k=0时，表达135的角；,当k=1时，表达495的角；,当k=-1时，表达225的角；,对集合M，,当k=-1时，表达135的角；,当k=0时，表达495的角；,当k=1时，表达225的角；,思考4,例2 写出终边在直线,y=x,上的角的集合S，并将S中满足不等式 的元素写出来.,练2 若角 的终边落在经过点 的直线上，写出 的集合.,练3,集合 ，则,M,与,N,的关系如何?,集合,则集合,A,B,C,的关系是,_,.,集合,则集合,M,N,的关系是_.,解决与角有关的集合问题核心是搞清集合中含有哪些元素.办法有：将集合中表达角的式子化为同一形式；,用列举法把集合具体化.,4.与角有关的集合,角的终边所在的位置,角的集合,x,轴正半轴,x,轴负半轴,y,轴正半轴,y,轴负半轴,x,轴,y,轴,坐标轴,（1）轴线角的集合,练习,第一象限角的集合,第二象限角的集合,第三象限角的集合,第四象限角的集合,练习,4.与角有关的集合,（2）象限角的集合,（3）区间角：介于两个角之间的全部角，如,注4：象限角和轴线角的集合表达形式不唯一，尚有其它形式.,小结,1.,任意角的概念；,2.,象限角；,3.终边相似的角；,画图表达一种大小一定的角：,先画一条射线作为角的始边（在直角坐标系中，以x轴正半轴为始边），,再由角的正负拟定角的旋转方向，,再由角的绝对值大小拟定角的旋转量，最后画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.,B,2,A,B,1,O,练1：对于 ，如图所示.,练2：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，应当将分针分别旋转多少度才干将时间校准？,120,，450,负角,问：,钟表的指针旋转所成的角总是_.,back,练3：任意两个角的数量大小能够相加、相减.,130,是,以50,角的终边为始边，逆时针旋转80,所成的角.,30,是,以50,角的终边为始边，顺时针旋转80,所成的角.,back,例如50,80=130,5080=30，,你能解释一下这两个式子的几何意义吗？,终边和始边重叠的角不一定是零角，又如360,720等.,问：终边与始边重叠的角是零角吗？表达出符合条件的全部角构成的集合.,back,练习：写出终边落在阴影处的角的集合.,x,y,o,30,0,240,0,x,y,o,60,0,240,0,x,y,o,30,0,315,0,back,
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