解线性方程组的迭代方法名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,迭代法研究主要问题,1）迭代格式结构；,2）迭代收敛性分析；,3）收敛速度分析；,4）复杂性分析；（计算工作量）,5）初始值选择。,3.5 大型方程组迭代方法,第1页,定义:,设,x,k,是,R,n,上向量序列，,又设,x,*,（,x,1,*,，,x,2,*,，,x,n,*,),是,R,n,上向量.,则称向量,x,*,是向量序列,x,k,极限，,若一个向量序列有极限,称这个向量序列是,收敛,.,向量序列极限,假如,向量序列,x,k,收敛于向量x,*,充分必要,定理1,（,i,=1,2,n,）,条件是,第2页,矩阵序列极限,定义:,设,A,k,是,上矩阵序列.若存在矩阵,则称矩阵,A,是矩阵序列,A,k,极限，记为,若一个矩阵序列有极限,称这个矩阵序列是,收敛,.,使得,矩阵序列,A,k,收敛于矩阵,A,充分必要,定理2,（,i,j,=1,2,n,）,条件是,这里,第3页,证：,依次取,x,为 ，其中,则,所以,定理3,充要条件是对任何,x,R,n,，有,设矩阵,定理4,，则,充要条件是,(,A,),0,记,x,T,L,T,x=a,则有,x,T,L,T,x=x,T,(,D L,),x,x,T,Ax=x,T,(,D L L,T,),x=p a a=p,2,a,0,所以,第26页,所以,迭代矩阵,B,G-S,谱半径,(,B,G-S,)1,从而当方程组,Ax=b,系数矩阵,A,是实对称正定矩阵时,G-S 迭代法收敛,Remark:,G-S迭代法计算过程比Jacobi迭代法更简单。计算过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。,G-S迭代不一定比Jacobi迭代收敛快。,Jacobi迭代和G-S迭代收敛范围并不一致，即Jacobi迭代收敛，G-S迭代不一定收敛，反之亦然。,前面定理1、定理2对于Jacobi迭代和G-S迭代都适用。,第27页,(,i,=1,2,n,;,k=,1,2,3,),四 超松驰(SOR),迭代法,G-S迭代格式,第28页,定理7.,若,A,是对称正定矩阵,则当0,2时SOR迭代法解方程组,A x=b,是收敛,定理8.,若,A,是严格对角占优矩阵,则当0,0,计算,r,(,k,-1),=,b Ax,(0),若|,r,0,|,结束;,不然,p,(1,),r,(,k,-1),k,1,转第二步;,共轭梯度算法：,第二步,:,计算,t,k,=,(,p,(,k,),r,(,k,-1),),/,(,A p,(,k,),p,(,k,),),x,(,k,),=,x,(,k-,1),+,t,k,p,(,k,),;,第三步,:,假如,k=n,则结束;,不然,计算,r,(,k,-1),=,b Ax,(,k,),;,转第四步;,第四步:,假如|,r,(,k,-1),|,则,结束;,不然,计算:,b,kj,=,(,A,p,(,j,),r,(,k,),)/(,A,p,(,j,),p,(,j,),),(,j=,1,k,),p,(,k+,1,),=,r,(,k,-1),(,b,k,1,p,(1,),+,b,kk,p,(,k,),),k,k+,1,转第二步。,第40页,