数学第四章排列、组合与概率02.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学第四章 排列、组合与概率02,4.3 组 合,列出各次握手的双方名单就是要从4个人中选出两人，且不计两人间的顺序，并将各种选法罗列出来,要从甲、乙、丙3名工人中选取2名，共同值晚班，有多少种选择方法？请逐一列出,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,个元素（,n,，,m,N*，,m,n,），不考虑顺序组成一组，称为从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素的所有组合的个数，称为从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数，用符号C 表示,m,n,4,.3,组 合,一、组合与组合数的概念,例题解析,（1）在人数为60人的班级中，选出5人参加专业知识竞赛，有多少种选法？（2）由20人组成的足球队中，除守门员外，还需选10人作为首发阵容，可组成多少种不同的首发阵容？又要在50名拉拉队员中挑选20人前往助阵，有多少种挑选方案？,4.3 组 合,例,把下列的问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号：,4.3 组 合,（2）除去守门员，从19位球员中选10人出阵，因为10人将分别担当右后卫、左前锋等不同职责，因此与顺序有关，是排列问题，共有 种不同的首发阵容；选助阵拉拉队员与顺序无关，是组合问题，共有 种挑选方案,10,19,20,50,5,60,解（1）一般来说，专业知识竞赛的选手之间无分工问题所以选择过程与顺序无关，是组合问题，共有C 种选法,课堂练习,1把下列的问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号：（1）6位朋友互相握手道别，共握手多少次？（2）6道习题任意选做4道题，有多少种不同的选法？（3）正16边形有多少条对角线？,4.3 组 合,2按要求写出下列组合：（1）从5个元素,a,，,b,，,c,，,d,，,e,中任取2个元素的所有组合 （2）从4个元素,a,，,b,，,c,，,d,中任取3个元素的所有组合,4.3 组 合,4,.3,组 合,二、组合数公式,3,4,第1步，从个不同元素中取出个元素作组合，共有,种。,3,4,从个不同元素中取个元素的排列数 ：,4,.3,组 合,通常，从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数P ，可以按以下两步求得：第1步，先求出从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数C .,m,n,m,n,3,3,第2步，对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有P 6种,根据分步计数原理，得,因此,由此得到,组合数公式,：,4.3 组 合,m,n,第2步，求每一个组合中,m,个元素的全排列数P .,根据分步计数原理，得,4,.3,组 合,组合数C 同样也可以利用计算器直接计算，其按键顺序是：,m,n,因为,所以组合数公式还可写成,根据组合数公式，当,m,n,时有,例题解析,4.3 组 合,例1,计算：,解,4.3 组 合,解 因为12个点中任何3个点都不在同一直线上，所以任取3个点都可以画出一个三角形因此所求三角形的个数，就是从12个不同的元素中取出3个元素的组合数，即,所以一共可画220个三角形,例,2,平面内有,12,个点，任何,3,个点不在同一直线上，以每,3,个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形？,解 设与会的人数为,n,根据题意，互相握手的次数为C 15，即,解得,所以，共有6人参加这次集会,2,n,4.3 组 合,例,3,一次小型聚会，每一个与会者都和其他与会者握一次手，共有,15,次握手，问有多少人参加这次聚会？,例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，从中任取3件：,（1）3件都是正品，有多少种不同的取法？（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？,解,（）,因为,3,件都是正品,，,所以应从,97,件正品中取,，,所有不同取法的种数是,4.3 组 合,4.3 组 合,解 从,97,件正品中取,2,件，有,C,种取法；从,3,件次品中取,1,件，有,C,种取法因此，根据分步计数原理，任取的,3,件中恰有,1,件次品的不同取法的种数是,2,97,1,3,（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？,解 件中最多有件次品的取法，包括只有件是次品和没有次品两种，其中只有件是次品的取法有C C 种，没有次品的取法有C 种，因此，3件中最多有1件次品的取法的种数是,1,3,2,97,3,97,4.3 组 合,（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？,解 3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的种数是,4.3 组 合,（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？,课堂练习 2,4.3 组 合,计算：,2平面内有8个点，其中只有3个点在一条直线上，过每2个点作一条直线，一共可以作几条直线？,3从2，3，5，7，11这5个数中任取2个相加，可以得到多少个不同的和？,4,.3,组 合,三、组合数的性质,在一般情况下：从,n,个元素中选出,m,个元素的组合数，与从,n,个元素中选出,n,m,个元素的组合数是相等的 由此，得到组合数的一种重要性质：,例题解析,4.3 组 合,解,例1,计算,例题解析,4.3 组 合,例2,已知 ，求,n,解 为使 ，可令,n,=3,n,2，即,n,=1,又因为 ，所以 成立,又因此也可令10,n=3n,2，即,n,=3,因此，,n,=1或,n,=3,课堂练习 3,4.3 组 合,1.计算：,（1）（2）,2.已知 ，求,n,.,专题阅读,抽屉原理,与电脑算命,一:引子,晏子春秋里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。,但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。,三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃子；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。,公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。,古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。,如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。,晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子!”,值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理抽屉原理。,抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个,元素,，假如有n1或多于n1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个,集合,里至少有两个元素。”,二、抽屉原理常识,桌上有十个,苹果,，要把这十个苹果放到九个,抽屉,里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。,在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免。,三、抽屉原理应用,抽屉原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。,例：400人中至少有两个人的生日相同.,解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理可以得知：至少有两人的生日相同.,又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.,“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”,十九世纪德国数学家狄里克雷（Dirichlet，18051859）,首先利用抽屉原理来建立有理数的理论，以后逐渐地应用,到引数论、集合论、组合论等数学分支中，所以现在抽屉,原理又称为狄里克雷原理。,1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛,中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：,任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个,互不认识的人。”这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。,但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的：,我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，,例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个,“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。,不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。,如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认,识的人；如果B、C、D三人中,有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个,互相认识的人。不管哪种情况,，本题的结论都是成立的。,四、抽屉原理与电脑算命,所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。,其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。,如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70365251100，我们把它作为“抽屉”数。我国人口按11亿计，我们把它作为“物体”数。由于1.1亿=2152651100+21400，根据原理，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！,1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？,4个,2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？,9只,3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？,13个,4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？,61个,5.一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？,9块,6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？,是,六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？,分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。,总共有331=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为1001472。根据抽屉原理，至少有14115（人）所订阅的报刊种类是相同的。,例题1：一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，,为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出多少张牌？,34113张。,例题2：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，,为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？,例题3：从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张牌，,才能保证至少6张牌的花色相同？,542123张，,