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[物理学3章习题解答]
3-1 用榔头击钉子，如果榔头的质量为500 g，击钉子时的速率为8.0 m×s-1，作用时间为2.0´10-3 s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。
解 对于榔头：
,
式中i1是榔头所受的冲量， 是榔头所受钉子的平均打击力；
对于钉子：
,
式中i2是钉子受到的冲量， 是钉子所受的平均打击力，显然 = - 。
题目所要求的是i2和 ：
,
i2的方向与榔头运动方向一致。
,
的方向与榔头运动方向一致。
3-2 质量为10 g的子弹以500 m×s-1 的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为400 m×s-1 。如果子弹穿过木板所需时间为1.00´10-5 s，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。
解
(1)用动能定理求解：
, (1)
其中 是木板对子弹的平均阻力，d为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：
, (2)
. (3)
由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为
&nb .
根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为
.
(2)用动量定理求解：
,
.
与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。
3-4 质量为m的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是a，如图3-3所示。若小球与桌面作用的时间为dt，求小球对桌面的平均冲力。
图3-3
解 设桌面对小球的平均冲力为f，并建立如图所示的坐标系，根据动量定理，对于小球可列出
,
.
由第一个方程式可以求得
,
由第二个方程式可以求得
.
根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为
,
负号表示小球对桌面的平均冲力沿y轴的负方向。
图3-4
3-5 如图3-4所示，一个质量为m的刚性小球在光滑的水平桌面上以速度v1 运动，v1 与x轴的负方向成a角。当小球运动到o点时，受到一个沿y方向的冲力作用，使小球运动速度的大小和方向都发生了变化。已知变化后速度的方向与x轴成b角。如果冲力与小球作用的时间为dt，求小球所受的平均冲力和运动速率。
解 设小球受到的平均冲力为f，根据题意，它是沿y方向的，小球受到撞击后，运动速率为v2。根据动量定理，在y方向上可以列出下面的方程式
,
由此得到
. (1)
小球在x轴方向上不受力的作用，动量是守恒的。故有
,
由此求得小球受到撞击后的运动速率为
. (2)
将式(2)代入式(1)，即可求得小球所受的平均冲力
.
3-7 求一个半径为r的半圆形均匀薄板的质心。
图3-5
解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立如图3-5所示的坐标系。在这种情况下，质心c必定处于y轴上，即
,
.
质量元是取在y处的长条，如图所示。长条的宽度为dy，长度为2x。根据圆方程
,
故有
.
如果薄板的质量密度为s，则有
.
令 , 则 ，对上式作变量变换，并积分，得
.
3-8 有一厚度和密度都均匀的扇形薄板，其半径为r，顶角为2a，求质心的位置。
解 以扇形的圆心为坐标原点、以顶角的平分线为y轴，建立如图3-6所示的坐标系。在这种情况下，质心c必定处于y轴上，即
图3-6
,
.
质量元可表示为
,
式中s为扇形薄板的质量密度，ds为图中黑色方块所示的扇形薄板面元。整个扇形薄板的质量为
,
于是
.
将 代入上式，得
.
3-9 一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的小水银球。其中两个以30 cm×s-1 的速率沿相互垂直的方向运动，如图3-7中的1、2两球。求第三个小水银球的速率和运动方向 (即与1球运动方向的夹角a )。
图3-8
图3-7
解 建立如图3-8所示的坐标系。在水平方向上，水银求不受力的作用，所以动量守恒，故可列出下面的两个方程式
,
.
式中v是1、2两球的运动速率，v3是第三个水银小球的运动速率。由上两方程式可解的
,
.
图3-9
3-10 如图3-9所示，一个质量为1.240 kg的木块与一个处于平衡位置的轻弹簧的一端相接触，它们静止地处于光滑的水平桌面上。一个质量为10.0 g的子弹沿水平方向飞行并射进木块，受到子弹撞击的木块将弹簧压缩了2.0 cm。如果轻弹簧的劲度系数为2000 n×m-1 ，求子弹撞击木块的速率。
解 设木块的质量为m；子弹的质量为m，速度为v；碰撞后的共同速度为v。此类问题一般分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧。
第一步遵从动量守恒，故有
. (1)
第二步是动能与弹力势能之间的转换，遵从机械能守恒，于是有
. (2)
有式(2)解得
.
将v值代入式(1)，就可求得子弹撞击木块的速率，为
.
3-11 质量为5.0 g的子弹以500 m×s-1 的速率沿水平方向射入静止放置在水平桌面上的质量为1245 g 的木块内。木块受冲击后沿桌面滑动了510 cm。求木块与桌面之间的摩擦系数。
解 这个问题也应分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑动而克服桌面的摩擦力作功的过程。
第一步遵从动量守恒，有
.
式中v是木块受冲击后沿桌面滑动的速度。
第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式
.
由以上两式可解得
3-12 一个中子撞击一个静止的碳原子核，如果碰撞是完全弹性正碰，求碰撞后中子动能减少的百分数。已知中子与碳原子核的质量之比为1:12。
解 设中子的质量为m，与碳核碰撞前、后的速度分别为v1和v2；碳核的质量为m，碰撞前、后的速度分别为0和v。因为是正碰，所以v1、v2和v必定处于同一条直线上。
完全弹性碰撞，动量守恒，故有
, (1)
总动能不变，即
(2)
以上两式可分别化为
,(3)
. (4)
式(4)除以式(3)，得
. (5)
由式(1)和式(5)解得
.
于是，可以算得中子动能的减少
,
因为m = 12m，所以
.
3-13 质量为m1的中子分别与质量为m2的铅原子核(质量m2 = 206 m1 )和质量为m3的氢原子核(质量m3 = m1 )发生完全弹性正碰。分别求出中子在碰撞后动能减少的百分数，并说明其物理意义。
解 求解此题可以利用上题的结果：
.
对于中子与铅核作完全弹性正碰的情形：
.
铅核的质量比中子的质量大得多，当它们发生完全弹性正碰时，铅核几乎保持静止，而中子则以与碰前相近的速率被反弹回去，所以动能损失极少。
对于中子与氢核作完全弹性正碰的情形：
.
氢核就是质子，与中子质量相等，当它们发生完全弹性正碰时，将交换速度，所以碰撞后，中子静止不动了，而将自身的全部动能交给了氢核。
3-14 如图3-10所示，用长度为l的细线将一个质量为m的小球悬挂于o点。手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为m的物体作完全弹性碰撞。求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角a。
图3-10
解 小球与物体相碰撞的速度v1可由下式求得
. (1)
小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞后小球的速度变为v2，物体的速度为v，在水平方向上应有
. (2)
完全弹性碰撞，动能不变，即
. (3)
碰撞后，小球在到达张角a的位置的过程中满足机械能守恒，应有
. (4)
由以上四式可解得
.
将上式代入式(4)，得
,
.
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