浙江艺术职业学院《数学模型与实验》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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浙江艺术职业学院《数学模型与实验》
2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、已知函数，求该函数的导数是多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

3、判断函数 f(x)=xsin(1/x)在 x = 0 处的连续性和可导性。（ ）
A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.不连续且不可导

4、若函数 f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则在该点处函数 f(x,y)的全增量 Δz 可以表示为（ ）
A.Ax + By + o(ρ)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) B.Ax + By + o(Δx² + Δy²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) C.Ax + By + o(ρ²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) D.Ax + By + o(Δx² + Δy²²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²)

5、设函数 f(x,y)在点(0,0)处连续，且当(x,y)→(0,0)时，lim[(x²y²)/(x²+y²)]=0。那么函数 f(x,y)在点(0,0)处是否可微？（ ）
A.可微 B.不可微 C.无法确定

6、设，则的值为（ ）
A.0 B. C. D.

7、设函数 f(x)=x³ + ax² + bx 在 x = 1 处有极小值 -2，求 a 和 b 的值（ ）
A.a=-3，b=3；B.a=-2，b=2；C.a=-1，b=1；D.a=0，b=0

8、设函数，则函数的最小正周期是多少？（ ）
A. B. C. D.

9、求微分方程的特解形式是什么？（ ）
A. B. C. D.

10、已知函数 f(x,y)=x²+y²，则在点(1,1)处沿着向量(2,1)方向的方向导数为（ ）
A.5/√5；B.3/√5；C.4/√5；D.2/√5

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、若函数，则的极小值为____。

2、设函数，则该函数的导数为______________。

3、求函数的定义域为____。

4、函数的奇偶性为_____________。

5、若，则等于______。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[0,1]上可导，且，对于任意的，有。证明：。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，，。证明：存在，使得。

3、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，，。证明：对于任意正整数，存在，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求极限。

2、（本题10分）设，求和。

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