四川护理职业学院《微积分D》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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四川护理职业学院《微积分D》
2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设函数，求是多少？（ ）
A.
B. 6xy
C.
D. 3xy

2、设函数 z = x² + y²，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂θ =（ ）
A.-2r²sinθcosθ B.2r²sinθcosθ C.-r²sin2θ D.r²sin2θ

3、设函数 f(x,y)=sin(x² + y²)，求在点(π/2,π/2)处沿方向向量(1,1)的方向导数。（ ）
A.√2cos(π²/2) B.√2sin(π²/2) C.2√2cos(π²/2) D.2√2sin(π²/2)

4、设函数，当时，函数的值是多少？考查特殊值下函数的取值。（ ）
A. B. C. D.

5、设函数，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.

6、求由曲线 y = x²和直线 y = 2x 所围成的平面图形的面积为（ ）
A.4/3 B.2/3 C.1/3 D.1/2

7、对于函数，求其定义域是多少？函数定义域的确定。（ ）
A. B. C. D.

8、设，则y'等于（ ）
A.
B.
C.
D.

9、设函数，求函数在区间[0,1]上的平均值。（ ）
A. B. C. D.

10、求微分方程的通解为（ ）
A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、曲线在点处的曲率为_____________。

2、设向量，，若向量与向量垂直，则的值为____。

3、计算定积分的值为______________。

4、已知函数，求该函数的导数，利用复合函数求导法则，即若，则，结果为_________。

5、设函数，则为____。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）求曲线与直线在第一象限所围成图形的面积。

2、（本题10分）设函数，证明：在上单调递增。

3、（本题10分）求函数的定义域，并判断其奇偶性。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，，。证明：对于任意正整数，存在，使得。

2、（本题10分）设函数在区间[0,1]上连续，在内可导，且，。证明：存在，使得。

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