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2025年外接球试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 一个正方体的棱长为2，则其外接球的半径为（ ）
A. $\sqrt{3}$ B. $2\sqrt{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. $2\sqrt{2}$
2. 长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则其外接球的表面积为（ ）
A. $25\pi$ B. $50\pi$ C. $125\pi$ D. $75\pi$
3. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若正三棱柱的底面边长为$2\sqrt{3}$，则球的表面积为（ ）
A. $4\pi$ B. $8\pi$ C. $12\pi$ D. $16\pi$
4. 正四面体的棱长为$a$，则其外接球的体积为（ ）
A. $\frac{\sqrt{6}}{8}\pi a^3$ B. $\frac{\sqrt{6}}{4}\pi a^3$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3$ D. $\frac{\sqrt{3}}{4}\pi a^3$
5. 一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则其外接球的半径为（ ）
A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{7}{6}$
6. 已知三棱锥$P - ABC$的三条侧棱两两垂直，且$PA = PB = PC = 1$，则其外接球的表面积为（ ）
A. $3\pi$ B. $2\pi$ C. $\pi$ D. $\frac{3\pi}{2}$
7. 直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的底面是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 2$，$AA_1 = 3$，则其外接球的半径为（ ）
A. $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{29}}{4}$ C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{13}}{4}$
8. 一个圆柱的底面半径为1，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A. $4\pi$ B. $8\pi$ C. $12\pi$ D. $16\pi$
9. 已知三棱锥$S - ABC$的所有顶点都在球$O$的球面上，$\triangle ABC$是边长为1的正三角形，$SC$为球$O$的直径，且$SC = 2$，则此三棱锥的体积为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
10. 正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为$\sqrt{5}$，则其外接球的半径为（ ）
A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{5}{4}$ C. $\frac{4}{3}$ D. $\frac{7}{5}$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列关于外接球的说法正确的是（ ）
A. 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长
B. 长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长
C. 正三棱柱的外接球半径与底面边长和高有关
D. 正四面体的外接球半径与棱长有关
2. 一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，其棱长分别为$a$、$b$、$c$，则其外接球的半径可能是（ ）
A. $\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{c^2 + a^2}}{2}$
3. 已知球$O$的半径为$R$，一个圆柱内接于球$O$，则圆柱的（ ）
A. 底面半径的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$
B. 高的最大值为$2R$
C. 体积的最大值为$\frac{\pi R^3}{2}$
D. 表面积的最大值为$2\pi R^2$
4. 正三棱锥$P - ABC$的底面边长为$a$，侧棱长为$b$，则其外接球的半径可能满足（ ）方程
A. $9R^2 = 3b^2 - a^2$ B. $9R^2 = 3a^2 - b^2$ C. $9R^2 = 2b^2 - a^2$ D. $9R^2 = 2a^2 - b^2$
5. 一个圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，则其外接球的半径可能是（ ）
A. $\frac{l^2}{2(l - r)}$ B. $\frac{l^2}{2(l + r)}$ C. $\frac{l^2}{4(l - r)}$ D. $\frac{l^2}{4(l + r)}$
6. 直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的底面是等腰直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2$，$AA_1 = 3$，则其外接球的（ ）
A. 半径为$\frac{\sqrt{29}}{2}$
B. 表面积为$29\pi$
C. 球心到平面$ABC$的距离为$\frac{3}{2}$
D. 球心到平面$A_1B_1C_1$的距离为$\frac{3}{2}$
7. 已知三棱锥$A - BCD$的四个顶点都在球$O$的球面上，$AB = AC = AD = 2$，$BC = CD = DB = 2\sqrt{2}$，则球$O$的（ ）
A. 半径为$\sqrt{3}$
B. 表面积为$12\pi$
C. 球心到平面$BCD$的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D. 球心到平面$ABC$的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
8. 正四棱锥$S - ABCD$的底面边长为$a$，高为$h$，则其外接球的（ ）
A. 半径$R = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$
B. 表面积$S = 4\pi R^2 = \frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{16h^2}$
C. 球心在高所在直线上
D. 球心到顶点的距离等于球心到底面中心的距离
9. 一个三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形且直角顶点为同一个顶点，其棱长为$m$，则其外接球的（ ）
A. 半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}m$
B. 表面积为$3\pi m^2$
C. 体积为$\frac{\sqrt{3}}{12}m^3$
D. 球心与直角顶点重合
10. 已知球$O$的半径为$R$，一个正方体的八个顶点都在球$O$的球面上，则正方体的（ ）
A. 棱长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
B. 表面积为$8R^2$
C. 体积为$\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$
D. 体对角线长为$2R$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 一个正方体的外接球表面积为$48\pi$，则正方体的棱长为______。
2. 正三棱锥的底面边长为$2\sqrt{3}$，高为3，则其外接球的半径为______。
3. 已知三棱锥$P - ABC$的三条侧棱两两垂直，且$PA = 2$，$PB = 3$，$PC = 4$，则其外接球的表面积为______。
4. 圆柱的底面半径为$r$，高为$h$，其外接球的表面积为$S = 4\pi(\frac{r^2}{4} + \frac{h^2}{4})$，当$r = 1$，$h = 2$时，$S =$______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 所有三棱锥都有外接球。（ ）
2. 正方体的外接球半径是棱长的$\sqrt{3}$倍。（ ）
3. 正三棱柱的外接球半径只与底面边长有关。（ ）
4. 正四面体的外接球半径是棱长的$\frac{\sqrt{6}}{4}$倍。（ ）
5. 一个圆锥的外接球半径一定大于圆锥的母线长。（ ）
6. 直三棱柱的外接球半径等于其体对角线长的一半。（ ）
7. 三棱锥的三条侧棱两两垂直时，其外接球半径等于三条侧棱平方和的算术平方根的一半。（ ）
8. 正四棱锥的外接球半径与底面边长和高都有关系。（ ）
9. 圆柱的外接球半径等于其底面半径与高的平方和的算术平方根的一半。（ ）
10. 若一个多面体所有顶点都在球面上，则该球是这个多面体的外接球。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 简述求正方体外接球半径的方法。
2. 如何求正三棱锥外接球的半径？
3. 对于一个三棱锥三条侧棱两两垂直的情况，怎样求其外接球半径？
4. 说明求圆柱外接球半径的思路。

答案与解析
一、单项选择题
1. A。正方体棱长为2，体对角线长为$2\sqrt{3}$，外接球半径是体对角线长的一半，即$\sqrt{3}$。
2. B。长方体长、宽、高分别为3、4、5，体对角线长为$5\sqrt{2}$，外接球半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，表面积为$50\pi$。
3. C。正三棱柱底面边长为$2\sqrt{3}$，内切球半径为$\sqrt{3}$对应的球半径为2，表面积为$12\pi$。
4. A。正四面体棱长为$a$，外接球半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}a$，体积为$\frac{\sqrt{6}}{8}\pi a^3$。
5. A。圆锥底面半径为1，母线长为3，设外接球半径为$R$，利用关系可求得$R=\frac{9}{8}$。
6. A。三棱锥三条侧棱两两垂直且棱长为1，外接球半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，表面积为$3\pi$。
7. A。直三棱柱底面直角三角形，$AB = AC = 2$，$AA_1 = 3$，外接球半径为$\frac{\sqrt{29}}{2}$。
8. B。圆柱底面半径为1，高为2，外接球半径为$\sqrt{2}$，表面积为$8\pi$。
9. A。三棱锥底面正三角形边长为1，高为$\sqrt{3}$，体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$。
10. B。正四棱锥底面边长为2，侧棱长为$\sqrt{5}$，外接球半径为$\frac{5}{4}$。

二、多项选择题
1. ABCD。正方体、长方体、正三棱柱、正四面体的外接球都有相应的确定方法，都与各自棱长等有关。
2. A。三棱锥三条侧棱两两垂直，外接球半径为$\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$。
3. ABC。圆柱内接于球，底面半径最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，高最大值为$2R$，体积最大值为$\frac{\pi R^3}{2}$。
4. A。正三棱锥外接球半径满足$9R^2 = 3b^2 - a^2$。
5. A。圆锥外接球半径可能是$\frac{l^2}{2(l - r)}$。
6. ABCD。直三棱柱外接球半径为$\frac{\sqrt{29}}{2}$，表面积为$29\pi$，球心到平面$ABC$、$A_1B_1C_1$距离都为$\frac{3}{2}$。
7. ABC。三棱锥棱长情况可求得球半径为$\sqrt{3}$，表面积为$12\pi$，球心到平面$BCD$、$ABC$距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
8. ABC。正四棱锥外接球半径$R = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$，表面积为$\frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{16h^2}$，球心在高所在直线上。
9. ABD。三棱锥三个侧面是等腰直角三角形且直角顶点相同，外接球半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，表面积为$3\pi m^2$，球心与直角顶点重合。
10. ACD。正方体棱长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$，表面积为$6\times(\frac{2\sqrt{3}}{3}R)^2 = 8R^2$，体积为$(\frac{2\sqrt{3}}{3}R)^3 = \frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$，体对角线长为$2R$。

三、填空题
1. 4。正方体外接球表面积为$48\pi$，半径为$2\sqrt{3}$，正方体棱长为4。
2. 2。正三棱锥底面边长为$2\sqrt{3}$，高为3，可求得外接球半径为2。
3. $29\pi$。三棱锥三条侧棱两两垂直，棱长分别为2、3、4，外接球半径为$\frac{\sqrt{29}}{2}$，表面积为$29\pi$
4. $5\pi$。圆柱底面半径为1，高为2，代入公式可得外接球表面积为$5\pi$。

四、判断题
1. √。所有三棱锥都有外接球。
2. ×。正方体的外接球半径是棱长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍。
3. ×。正三棱柱的外接球半径与底面边长和高都有关。
4. √。正四面体的外接球半径是棱长的$\frac{\sqrt{6}}{4}$倍。
5. ×。一个圆锥的外接球半径不一定大于圆锥的母线长。
6. √。直三棱柱的外接球半径等于其体对角线长的一半。
7. √。三棱锥的三条侧棱两两垂直时，其外接球半径等于三条侧棱平方和的算术平方根 的一半。
8. √。正四棱锥的外接球半径与底面边长和高都有关系。
9. ×。圆柱的外接球半径等于其底面半径平方与高的一半的平方和的算术平方根。
10. √

五、简答题
1. 正方体的外接球半径等于正方体体对角线长的一半。先求出正方体体对角线长，再除以2即可得到外接球半径。因为正方体体对角线长是棱长的$\sqrt{3}$倍，所以用棱长乘以$\frac{\sqrt{3}}{2}$就是外接球半径。
2. 求正三棱锥外接球半径，可先找到正三棱锥的高与底面中心到底面顶点的距离关系。设底面边长为$a$，利用勾股定理求出底面中心到底面顶点的距离。再设外接球半径为$R$，高为$h$，通过建立方程求解。比如利用球心到顶点距离等于球心到底面中心距离加上底面中心到底面顶点距离来列方程求解。
3. 对于三棱锥三条侧棱两两垂直的情况，设三条侧棱长分别为$a$、$b$、$c$。其外接球半径$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$。这是因为此时可以把三棱锥补成长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，而长方体的体对角线长就是外接球直径，从而得出此公式。
4. 求圆柱外接球半径，先明确圆柱底面半径为$r$，高为$h$。其外接球半径可通过底面半径与高的关系来求。可以利用公式$R = \sqrt{r^2 + (\frac{h}{2})^2}$，即球心到圆柱底面圆心的距离与底面半径构成直角三角形，利用勾股