重庆电讯职业学院《实变函数B》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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重庆电讯职业学院
《实变函数B》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、求由曲线，轴以及区间所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体体积为（ ）
A. B. C. D.

2、求曲线在点处的切线方程是什么？利用导数求切线方程。（ ）
A. B. C. D.

3、已知向量 a=(1,2,3)，向量 b=(2,-1,1)，求向量 a 与向量 b 的夹角（ ）
A.arccos(2/7)；B.arccos(3/7)；C.arccos(4/7)；D.arccos(5/7)

4、函数的极大值点是（ ）
A.
B.
C.
D. 不存在

5、计算定积分∫(0 到 1)x²e^x dx（ ）
A.e - 2；B.e - 1；C.2e - 2；D.2e - 1

6、求由曲面 z = xy 和平面 x + y = 2，z = 0 所围成的立体体积。（ ）
A.2/3 B.4/3 C.8/3 D.16/3

7、设函数 f(x)=ln(x² + 1)，则 f'(x)的表达式为（ ）
A.2x/(x² + 1) B.1/(x² + 1) C.2x/(x² - 1) D.1/(x² - 1)

8、已知向量 a=(1,-1,2)，向量 b=(2,1,-1)，求向量 a 与向量 b 的向量积。（ ）
A.(-1,5,3) B.(1,-5,-3) C.(-1,-5,-3) D.(1,5,3)

9、已知函数 f(x,y)=x²+y²，则在点(1,1)处沿着向量(2,1)方向的方向导数为（ ）
A.5/√5；B.3/√5；C.4/√5；D.2/√5

10、求由曲线 y = x³和直线 x = 2，y = 0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。（ ）
A.8π B.16π C.32π/5 D.64π/5

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、求由曲线，轴以及区间所围成的图形的面积为____。

2、设，求的值为______。

3、若函数在区间[0,2]上有最小值 2，则实数的值为____。

4、若函数，则的定义域为____。

5、判断级数的敛散性，并说明理由______。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数，已知曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式。

2、（本题10分）计算曲线积分，其中是由从点到点的一段弧。

3、（本题10分）已知函数，求函数的单调区间。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）已知函数在区间[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：对于任意的正整数，存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，，。证明：。

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