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2025年太原联考数学试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 若集合A={x|x² - 3x + 2 = 0}，B={x|x² - ax + a - 1 = 0}，且A∪B = A，则a的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 1或2或3
2. 函数y = log₂(x² - 4x + 3)的单调递增区间是（ ）
A. (3, +∞) B. (-∞, 1) C. (2, +∞) D. (1, 2)
3. 已知向量a=(1, -2)，b=(3, 4)，则a在b方向上的投影为（ ）
A. -1 B. 1 C. -√5 D. √5
4. 等差数列{an}中，a₁ + a₅ = 10，a₄ = 7，则数列{an}的公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 若sinα = 3/5，α∈(π/2, π)，则tanα =（ ）
A. -3/4 B. 3/4 C. -4/3 D. 4/3
6. 圆x² + y² - 4x + 6y = 0的圆心坐标是（ ）
A. (2, 3) B. (-2, 3) C. (2, -3) D. (-2, -3)
7. 已知函数f(x) = 2x + 1/x - 1(x > 1)，则f(x)的最小值为（ ）
A. 2√2 + 2 B. 2√2 - 2 C. 2√2 + 1 D. 2√2 - 1
8. 双曲线x²/4 - y²/9 = 1的渐近线方程为（ ）
A. y = ±3/2x B. y = ±2/3x C. y = ±9/4x D. y = ±4/9x
9. 从1, 2, 3, 4, 5中任取2个不同的数，事件A = “取到的2个数之和为偶数”，事件B = “取到的2个数均为偶数”，则P(B|A) =（ ）
A. 1/8 B. 1/4 C. 2/5 D. 1/2
10. 已知函数f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0, ω > 0, |φ| < π/2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（ ）
A. f(x) = 2sin(2x + π/3)
B. f(x) = 2sin(2x - π/3)
C. f(x) = 正弦函数图像略
D. f(x) = 2sin(2x + π/6)

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是（ ）
A. y = x³ B. y = |x| + 1 C. y = -x² + 1 D. y = 2^|x|
2. 已知直线l₁：ax + 2y + 6 = 0，l₂：x + (a - 当两直线平行时，a的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 1 D. -2
3. 若a > 0，b > 0，且a + b = 4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. ab ≤ 4 B. √(ab) ≥ 2 C. 1/a + 1/b ≥ 1 D. a² + b² ≥ 8
4. 已知等比数列{an}的公比q = -1/2，前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A. a₃ = -1/2a₂ B. S₃ = 3/4a₁ C. a₃ = 1/2a₂ D. S₃ = 1/4a₁
当两直线平行时，a的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 1 D. -2
3. 若a > 0，b > 0，且a + b = 4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. ab ≤ 4 B. √(ab) ≥ 2 C. 1/a + 1/b ≥ 1 D. a² + b² ≥ 8
4. 已知等比数列{an}的公比q = -1/2，前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A. a₃ = -1/2a₂ B. S₃ = 3/4a₁ C. a₃ = 1/2a₂ D. S₃ = 1/4a₁
5. 已知函数f(x) = sin(2x + φ)(0 < φ < π)，其图象的一条对称轴是直线x = π/8，则φ的值为（ ）
A. π/4 B. 3π/4 C. π/8 D. 5π/8
6. 已知椭圆x²/a² + y²/b² = 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，且PF₂⊥x轴，若|PF₂| = 3/2，|F₁F₂| = 2√3，则椭圆的标准方程为（ ）
A. x²/4 + y² = 1 B. x²/8 + y²/4 = 1 C. x²/16 + y²/12 = 1 D. x²/12 + y²/9 = 1
7. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 1，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)有两个极值点 B. f(x)的极大值为1 C. f(x)的极小值为 -3 D. f(x)在区间(0, 2)上单调递减
8. 已知向量a=(1, 1)，b=(2, -1)，则（ ）
A. (a + b)⊥a B. |a + b| = 5 C. 向量a与b的夹角为π/4 D. a在b方向上的投影为√2/2
9. 已知数列{an}满足a₁ = 1，an₊₁ - an = n + 1，则数列{1/an}的前n项和为（ ）
A. 2n/(n + 1) B. n/(n + 1) C. 2n/(n - 1) D. n/(n - 1)
10. 已知函数f(x) = x² - 2x + 2，g(x) = ax² + bx + c，若f(x)与g(x)的图象关于点(2, 0)对称，则（ ）
A. a = -1 B. b = 6 C. c = -10 D. g(x)的对称轴为x = 2

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知集合A={x|x² + 2x - 3 < 0}，B={x|x > 0}，则A∩B = ________。
2. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2在区间[-1, 1]上的最大值是________。
3. 已知直线l过点(1, 2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________。
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn = n² + 2n，则数列{an}的通项公式为an = ________。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 若集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。（ ）
2. 函数y = sinx的最小正周期是2π。（ ）
3. 若直线l的斜率为k = 1，则直线l的倾斜角为45°。（ ）
4. 若a > b，则a² > b²。（ ）
5. 等比数列{an}中，若a₁ = 1，q = 2，则a₃ = 4。（ ）
6. 椭圆x²/9 + y²/4 = 1的离心率为√5/3。（ ）
7. 函数y = log₂(x + 1)的定义域是(-1, +∞)。（ ）
8. 若向量a=(1, 2)，b=(2, m)，且a⊥b，则m = -1。（ ）
9. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(2) = 5。（ ）
10. 数列{an}满足an₊₁ = 2an + 1，a₁ = 1，则a₅ = 31。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数f(x) = 2sin(2x - π/6)，求函数f(x)的单调递增区间。
2. 已知椭圆x²/25 + y²/16 = 1，直线l过点(1, 1)且与椭圆相交于A、B两点，求弦AB中点的轨迹方程。
3. 已知数列{an}是等差数列，a₁ = 1，a₃ = 5，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn。
4. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -1)，求向量a与b的夹角θ的余弦值。

答案及解析

一、单项选择题
1. 答案：C。解析：A={1, 2}，由A∪B = A得B⊆A，B={x|(x - a + 1)(x - 1)=0}={1, a - 1}，所以a - 1 = 1或a - 1 = 2，解得a = 2或3。
2. 答案：A。解析：由x² - 4x + 3 > 0得x > 3或x < 1，函数y = log₂u单调递增，u = x² - 4x + 3在(3, +∞)上单调递增，所以函数y = log₂(x² - 4x + 3)的单调递增区间是(3, +∞)。
3. 答案：A。解析：a·b = 1×3 - 2×4 = -5，|b| = √(3² + 4²)=5，a在b方向上的投影为a·b/|b| = -1。
4. 答案：B。解析：设公差为d，由a₁ + a₅ = 10得2a₁ + d = 10，又a₄ = 7即a₁ + 3d = 7，联立解得d = 2。
5. 答案：A。解析：因为α∈(π/利用三角函数关系可得tanα = -3/4。
6. 答案：C。解析：将圆方程化为标准方程(x - 2)² + (y + 3)² = 13，圆心坐标为(2, -3)。
7. 答案：A。解析：f(x) = 2x + 1/x - 1 = 2(x - 1)+1/(x - 1)+2≥2√2 + 2，当且仅当2(x - 1)=1/(x - 1)即x = 1 + √2/2时取等号。
8. 答案：A。解析：由双曲线渐近线方程公式可得渐近线方程为y = ±3/2x。
9. 答案：B。解析：P(A) = C₂₃ + C₂₂/C₂₅ = 4/10，P(AB) = C₂₂/C₂₅ = 1/10，所以P(B|A) = P(AB)/P(A) = 1/4。
10. 答案：B。解析：由图象可知A = 2，T = 2π/ω = 2(5π/12 - π/6)，解得ω = 2，f(π/将点代入解析式可得φ = -π/3，又|φ| < π/2，所以f(x) = 2sin(2x - π/3)。

二、多项选择题
1. 答案：BD。解析：y = x³是奇函数；y = |x| + 1是偶函数且在(0, +∞)上单调递增；y = -x² + 1是偶函数在(0, +∞)上单调递减；y = 2^|x|是偶函数且在(0, +∞)上单调递增。
2. 答案：AD。解析：由两直线平行可得a(a - 1)-2 = 0且2(a - 1)-6a≠0，解得a = -1。
3. 答案：ACD。解析：由基本不等式可得ab≤(a + b)²/4 = 4，当且仅当a = b = 2时取等号，所以√(ab)≤2，B错误；1/a + 1/b = a + b/ab = 4/ab≥1；a² + b² = (a + b)² - 2ab = 16 - 2ab≥8。
4. 答案：AB。解析：a₃ = a₂q = -1/2a₂，S₃ = a₁(1 - q³)/(1 - q)=a₁(1 + 1/8)/(1 + 1/2)=3/4a₁。
5. 答案：B。解析：因为函数图象的一条对称轴是直线x = π/8，所以2×π/8 + φ = kπ + π/2，k∈Z，又0 < φ < π，解得φ = 3π/4。
6. 答案：B。解析：由|PF₂| = b²/a = 3/2且|F₁F₂| = 2c = 2√3，可得c = √3，又a² = b² + c²，联立解得a² = 8，b² = 4，椭圆标准方程为x²/8 + y²/4 = 1。
7. 答案：ABC。解析：f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)，令f'(x)=0得x = 0或x = 2，所以f(x)有两个极值点，f(x)极大值为f(0)=1，极小值为f(2)= -3，f(x)在(0, 2)上单调递减。
8. 答案：AC。解析：a + b=(3, 0)，(a + b)·a = 3×1 + 0×1 = 3≠0，A错误；|a + b| = 3，B错误；cos<a, b> = a·b/|a||b| = 1×2 - 2×1/√5×√5 = 0，向量a与b夹角为π/4，C正确；a在b方向上的投影为a·b/|b| = 1×3 - 2×1/√5 = √5/5，D错误。
9. 答案：A。解析：由an₊₁ - an = n + 1可得an - an₋₁ = n，an₋₁ - an₋₂ = n - 1，……，a₂ - a₁ = 2，累加得an - a₁ = n(n + 1)/2 - 1，又a₁ = 1，所以an = n(n + 1)/2，1/an = 2/n(n + 1)=2(1/n - 1/(n + 1))，数列{1/an}前n项和为2(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + …… + 1/n - 1/(n + 1)) = 2n/(n + 1)。
10. 答案：ABC。解析：设g(x)图象上一点(x, y)关于点(2, 0)对称的点为(x₀, y₀)在f(x)图象上，则x₀ = 4 - x，y₀ = -y，代入f(x)可得y = -(4 - x