山东石油化工学院《数学分析Ⅰ（3）》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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山东石油化工学院
《数学分析Ⅰ（3）》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、求微分方程 xy'' + y' = 0 的通解。（ ）
A.y = C1ln|x| + C2 B.y = C1xln|x| + C2 C.y = C1x²ln|x| + C2 D.y = C1x³ln|x| + C2

2、求微分方程的通解是多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

3、求曲线在点处的曲率半径是多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

4、求微分方程的通解是什么？（ ）
A. B. C. D.

5、设函数 z = f(xy,x² + y²)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y。（ ）
A.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 2xf₁₂'' + f₂₁'' + 2yf₂₂'') B.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + xf₁₂'' + f₂₁'' + yf₂₂'') C.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 3xf₁₂'' + f₂₁'' + 3yf₂₂'') D.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 4xf₁₂'' + f₂₁'' + 4yf₂₂'')

6、若函数 f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则在该点处函数 f(x,y)的全增量 Δz 可以表示为（ ）
A.Ax + By + o(ρ)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) B.Ax + By + o(Δx² + Δy²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) C.Ax + By + o(ρ²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²) D.Ax + By + o(Δx² + Δy²²)，其中 ρ = √(Δx² + Δy²)

7、设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，使得（ ）
A.
B.
C.
D.

8、已知向量 a=(2,1,-1)，向量 b=(1,-2,1)，求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值。（ ）
A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.1/4

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、已知函数，则在点处沿向量方向的方向导数为____。

2、设，则为____。

3、设，求的导数为____。

4、判断函数在处的连续性与可导性______。

5、求函数在处的导数为____。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数，求函数的单调区间和极值。

2、（本题10分）计算三重积分，其中是由平面，，和所围成的区域。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在内可导，且，证明：存在，使得。

2、（本题10分）已知函数在区间[0,1]上二阶可导，且，设，证明：存在，使得。

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