2025年圆锥曲线试题及答案2.doc

2025年圆锥曲线试题及答案2

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的离心率为（ ）
A. \(\frac{5}{4}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\frac{3}{2}\) D. \(\frac{\sqrt{5}}{4}\)
2. 抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点坐标是（ ）
A. \((0,2)\) B. \((0,1)\) C. \((2,0)\) D. \((1,0)\)
3. 双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程是（ ）
A. \(y=\pm\frac{3}{4}x\) B. \(y=\pm\frac{4}{3}x\) C. \(y=\pm\frac{3}{5}x\) D. \(y=\pm\frac{5}{3}x\)
4. 已知点\(P\)是抛物线\(y^{2}=2x\)上的一个动点，则点\(P\)到点\((0,2)\)的距离与\(P\)到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) B. \(3\) C. \(\sqrt{5}\) D. \(\frac{9}{2}\)
5. 设椭圆\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(P\)是\(C\)上的点，\(PF_2\perp F_1F_2\)，\(\angle PF_1F_2 = 30^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为（ ）
A. \(\frac{\sqrt{3}}{6}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
6. 已知双曲线\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且与椭圆\(\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1\)有公共焦点，则\(C\)的方程为（ ）
A. \(\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{10}=1\) B. \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\) C. \(\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1\) D. \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)
7. 设抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，\(P\)为抛物线上一点，\(PA\perp l\)，\(A\)为垂足，如果直线\(AF\)的斜率为\(-\sqrt{3}\)，那么\(|PF| = \)（ ）
A. \(4\sqrt{3}\) B. \(8\) C. \(8\sqrt{3}\) D. \(16\)
8. 已知椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)上一点\(P\)到椭圆一个焦点的距离为\(3\)，则\(P\)到另一焦点的距离为（ ）
A. \(2\) B. \(3\) C. \(5\) D. \(7\)
9. 双曲线\(\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(mn\neq0)\)的离心率为\(2\)，有一个焦点与抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点重合，则\(mn\)的值为（ ）
A. \(\frac{3}{16}\) B. \(\frac{3}{8}\) C. \(\frac{16}{3}\) D. \(\frac{8}{3}\)
10. 已知椭圆\(C_1:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)与双曲线\(C_2:x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1\)有公共的焦点，\(C_2\)的一条渐近线与以\(C_1\)的长轴为直径的圆相交于\(A,B\)两点，若\(C_1\)恰好将线段\(AB\)三等分，则（ ）
A. \(a^{2}=\frac{13}{2}\) B. \(a^{2}=13\) C. \(b^{2}=\frac{1}{2}\) D. \(b^{2}=2\)

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>0,b>0)\)，则以下说法正确的是（ ）
A. 实轴长为\(2a\) B. 虚轴长为\(2b\) C. 离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距） D. 渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)
2. 对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，下列说法正确的是（ ）
A. 焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\) B. 准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\) C. 抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离 D. 过焦点垂直于对称轴的弦长为\(2p\)
3. 椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)的性质有（ ）
A. 长轴长为\(2a\) B. 短轴长为\(2b\) C. 离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距） D. 左右顶点坐标分别为\((\pm a,0)\)
4. 已知双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1\)，则（ ）
A. 实半轴长为\(2\) B. 虚半轴长为\(2\sqrt{3}\) C. 离心率为\(2\) D. 渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{3}x\)
5. 抛物线\(y = ax^{2}(a\neq0)\)的性质有（ ）
A. 焦点坐标为\((0,\frac{1}{4a})\) B. 准线方程为\(y = -\frac{1}{4a}\) C. 开口向上时\(a>0\) D. 开口向下时\(a<0\)
6. 已知椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，则（ ）
A. 长轴长为\(6\) B. 短轴长为\(4\) C. 离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\) D. 焦点坐标为\((\pm\sqrt{5},0)\)
7. 双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a>0,b>0)\)可能具有的性质是（ ）
A. 实轴长为\(2a\) B. 虚轴长为\(2b\) C. 离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距） D. 渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)
8. 对于抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)，正确的是（ ）
A. 焦点坐标为\((0,\frac{p}{2})\) B. 准线方程为\(y = -\frac{p}{2}\) C. 抛物线上点到焦点距离等于到准线距离 D. 过焦点垂直于对称轴的弦长为\(2p\)
9. 椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m>0,n>0,m\neq n)\)，若\(m>n\)，则（ ）
A. 长轴在\(x\)轴 B. 长轴长为\(2\sqrt{m}\) C. 短轴长为\(2\sqrt{n}\) D. 离心率\(e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}\)
10. 已知双曲线\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)，则（ ）
A. 实半轴长为\(4\) B. 虚半轴长为\(3\) C. 离心率为\(\frac{5}{4}\) D. 渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦距为______。
2. 抛物线\(y = -2x^{2}\)的准线方程为______。
3. 双曲线\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)的渐近线方程为______。
4. 已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则\(\frac{b^{2}}{a^{2}}=\)______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 椭圆的离心率\(e\)越大，椭圆越圆。（ ）
2. 抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)上一点到焦点的距离等于到准线距离。（ ）
3. 双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，则其离心率为\(\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)。（ ）
4. 椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)的长轴长是\(2b\)。（ ）
5. 抛物线\(x^{2}=2py(p>0)\)的焦点坐标是\((0,\frac{p}{2})\)。（ ）
6. 双曲线\(\frac{x^{