梅河口康美职业技术学院《高等数学2》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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梅河口康美职业技术学院
《高等数学2》2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、求级数的和是多少？（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

2、设函数 f(x,y)=x²y³，求在点(1,2)处的梯度。（ ）
A.(4,12) B.(2,6) C.(1,3) D.(3,9)

3、判断级数∑(n=1 到无穷)(-1)^n * (1/n²)的敛散性。（ ）
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法确定

4、对于函数，求函数的单调递增区间是多少？通过求导确定函数单调区间。（ ）
A. B. C. D.

5、求函数的驻点为（ ）
A.(1,0)和(-3,0) B.(1,0)和(-3,2) C.(1,2)和(-3,0) D.(1,2)和(-3,2)

6、已知曲线在某点处的切线方程为，求该点的坐标。（ ）
A.(1,1) B.(-1,-3) C.(0,1) D.(2,3)

7、设曲线，求该曲线的拐点坐标是多少？拐点的确定。（ ）
A.(2,0) B.(0,2) C.(1,0) D.(0,1)

8、设函数，求函数在区间[0,1]上的平均值。（ ）
A. B. C. D.

9、设函数 f(x)=x³ + ax² + bx 在 x = 1 处有极小值 -2，求 a 和 b 的值（ ）
A.a=-3，b=3；B.a=-2，b=2；C.a=-1，b=1；D.a=0，b=0

10、函数的极大值点是（ ）
A.
B.
C.
D. 不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设函数，求的值为____。

2、求由曲线，直线和轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体体积为____。

3、设向量，向量，求向量与向量之间夹角的余弦值，根据向量夹角公式，结果为_________。

4、已知函数，求函数的极大值为____。

5、定积分。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）计算二重积分，其中是由轴、轴和直线所围成的区域。

2、（本题10分）求幂级数的收敛半径和收敛区间。

3、（本题10分）求由曲线与直线所围成的图形的面积。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在上可导，且，。证明：当时，。

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