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2025年专升本数学三试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 函数$f(x)=\frac{1}{x - 2}$的定义域是（ ）
A. $x\neq2$ B. $x\gt2$ C. $x\lt2$ D. $x\geq2$
2. 已知函数$y = 2x^2 + 3x - 1$，则$y^\prime$等于（ ）
A. $4x + 3$ B. $4x - 3$ C. $2x + 3$ D. $2x - 3$
3. 极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在
4. 定积分$\int_{0}^{1}x^2dx$等于（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. 1 D. 2
5. 向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（ ）
A. 5 B. 10 C. 11 D. 14
6. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$与$\int_{a}^{b}f(t)dt$的关系是（ ）
A. 不相等 B. 相等 C. 互为相反数 D. 不确定
7. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$，则该数列的前$n$项和$S_n$等于（ ）
A. $n^2$ B. $n^2 - 1$ C. $n^2 + 1$ D. $2n^2$
8. 曲线$y = x^3$在点$(1,1)$处的切线方程为（ ）
A. $y = 3x - 2$ B. $y = 3x + 2$ C. $y = -3x + 2$ D. $y = -3x - 2$
9. 函数$f(x)=\ln(x + 1)$的单调递增区间是（ ）
A. $(-1,+\infty)$ B. $(0,+\infty)$ C. $(-\infty,-1)$ D. $(-\infty,0)$
10. 若行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&x\end{vmatrix}=0$，则$x$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，是奇函数的有（ ）
A. $f(x)=x^3$ B. $f(x)=\sin x$ C. $f(x)=x + \frac{1}{x}$ D. $f(x)=x^2 + 1$
2. 下列求导运算正确的有（ ）
A. $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$ B. $(\sin x)^\prime = \cos x$ C. $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$ D. $(e^x)^\prime = e^x$
3. 下列极限存在的有（ ）
A. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + x)}{x}$ B. $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$ C. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ D. $\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}$
4. 下列积分值为0的有（ ）
A. $\int_{-1}^{1}x^3dx$ B. $\int_{-\pi}^{\pi}\sin xdx$ C. $\int_{0}^{1}x^2dx$ D. $\int_{-1}^{1}xdx$
5. 下列向量组中，线性无关的有（ ）
A. $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$ B. $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,4)$ C. $\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(1,-1)$ D. $\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$
6. 下列函数中，在定义域内连续的有（ ）
A. $y = x^2$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = \ln x$ D. $y = \sin x$
7. 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，其公差$d\neq0$，则下列说法正确的有（ ）
A. $a_n = a_1 + (n - 1)d$ B. $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ C. 若$m,n,p,q\in N^+$，且$m + n = p + q$，则$a_m + a_n = a_p + a_q$ D. 数列$\{a_n\}$一定有通项公式
8. 曲线$y = f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线与曲线$y = f(x)$的关系有（ ）
A. 相切于点$(x_0,y_0)$ B. 相交于点$(x_0,y_0)$ C. 可能有多个交点 D. 一定只有一个交点
9. 下列函数中，有极值的有（ ）
A. $y = x^3$ B. $y = x^2 + 1$ C. $y = \sin x$ D. $y = e^x$
10. 若矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则下列说法正确的有（ ）
A. $|A|=-2$ B. $A$可逆 C. $A$的伴随矩阵存在 D. $A$的逆矩阵为$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 函数$f(x)=\sqrt{4 - x^2}$的定义域为______。
2. 已知函数$f(x)=x^3 - 3x^2 + 1$，则$f(x)$的极大值为______。
3. 定积分$\int_{-1}^{1}(x^3 + \sin x)dx$的值为______。
4. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，则向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影为______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 函数$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$在定义域内单调递减。（ ）
2. 若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处连续。（ ）
3. 极限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$。（ ）
4. 定积分$\int_{a}^{b}kdx = k(b - a)$（$k$为常数）。（ ）
5. 向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$。（ ）
6. 若数列$\{a_n\}$是等比数列，则其通项公式一定是$a_n = a_1q^{n - 1}$。（ ）
7. 曲线$y = x^2$与直线$y = x$只有一个交点。（ ）
8. 函数$f(x)=\ln x$在定义域内有最大值。（ ）
9. 若行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc = 0$，则向量$\vec{a}=(a,b)$与向量$\vec{b}=(c,d)$线性相关。（ ）
10. 矩阵的乘法满足交换律。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 简述函数单调性的判定方法。
2. 简述等差数列的通项公式及前$n$项和公式的推导过程。
3. 简述向量数量积的几何意义。
4. 简述行列式的性质。

答案与解析
一、单项选择题
1. A。分母不能为0，所以$x - 2\neq0$，即$x\neq2$，选A。
2. A。根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，$y = 2x^2 + 3x - 1$，则$y^\prime = 4x + 3$，选A。
3. C。根据重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2$，选C。
4. A。根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^ndx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\vert_{a}^{b}$，则$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\vert_{0}^{1}=\frac{1}{3}$，选A。
5. C。向量数量积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2 + b_1b_2$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3 + 2\times4 = 11$，选C。
6. B。定积分的值与积分变量无关，所以$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$，选B。
7. A。由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，$a_n = 2n - 1$，$a_1 = 1$代入可得$S_n = n^2$，选A。
8. A。先求导$y^\prime = 3x^2$，当$x = 1$时，$y^\prime = 3$，切线方程为$y - 1 = 3(x - 1)$，即$y = 3x - 2$，选A。
9. A。$f^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}\gt0$，解得$x\gt - 1$，所以单调递增区间是$(-1,+\infty)$，选A。
10. D。由行列式计算可得$x - 6 = 0$，则$x = 6$，选D。

二、多项选择题
1. ABC。根据奇函数定义$f(-x)=-f(x)$，逐一判断选项，A、B、C满足，D不满足，选ABC。
2. ABCD。这些都是基本的求导公式，均正确，选ABCD。
3. ACD。逐一分析选项，A、C、D极限存在，B极限不存在，选ACD。
4. ABD。奇函数在关于原点对称区间上积分为0，A、B、D满足，C不满足，选ABD。
5. AC。判断向量组线性无关，可看对应行列式是否为0，A、C线性无关，B、D线性相关，选AC。
6. AD。$y = x^2$和$y = \sin x$在定义域内连续；$y = \frac{1}{x}$在$x = 0$处间断，$y = \ln x$定义域为$x\gt0$，选AD。
7. ABC。等差数列的这些性质都是正确的，选ABC。
8. AB。曲线在某点处的切线与曲线相切于该点，也相交于该点，选AB。
9. BC。对函数求导找极值点，$y = x^2 + 1$有极小值，$y = \sin x$有极值，选BC。
10. AC。计算可得$|A|=-2$，$A$可逆伴随矩阵存在，$A$的逆矩阵为$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$，选AC。

三、填空题
1. $[-2,2]$。要使根式有意义，则$4 - x^2\geq0$，解得$-2\leq x\leq2$。
2. 1。先求导$f^\prime(x)=3x^2 - 6x$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x = 0$或$x = 2$，再判断极大值为$f(0)=1$。
3. 0。被积函数$x^3 + \sin x$是奇函数，在关于原点对称区间上积分为0。
4. $\frac{8\sqrt{13}}{13}$。向量投影公式为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}$，计算可得结果。

四、判断题
1. √。$y^\prime = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\lt0$，所以单调递减。

2. √。可导必连续。

3. ×。$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$。

4. √。根据定积分性质。

5. √。向量数量积满足交换律。

6. ×。等比数列通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$（$q\neq0$），当$q = 1$时不满足。

7. ×。联立方程可得两个交点。

8. ×。$y = \ln x$在定义域内单调递增无最大值。

9. √。根据行列式与向量线性关系。

10. ×。矩阵乘法不满足交换律。

五、简答题
1. 首先对函数求导，然后根据导函数的正负来判断单调性。若导函数大于0，则函数单调递增；若导函数小于0，则函数单调递减。例如对于函数$y = x^2$，求导得$y^\prime = 2x$，当$x\gt0$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$x\lt0$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减。
2. 设等差数列$\{a_n\}$首项为$a_1$，公差为$d$。通项公式推导：$a_2 = a_1 + d$，$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$，以此类推可得$a_n = a_1 + (n - 1)d$。前$n$项和公式推导：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，将$a_n = a_1 + (n - 1)d$代入，通过倒序相加可得$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
3. 向量数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$，其几何意义为$\vert\vec{a}\vert$与$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上投影$\vert\vec{b}\vert\cos\theta$的乘积，或者$\vert\vec{b}\vert$与$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上投影$\vert\vec{a}\vert\cos\theta$的乘积。它可以用来计算向量的模长、夹角等，在几何和物理中有广泛应用。
4. 行列式性质有：互换两行（列），行列式变号；某行（列）元素都乘以同一个数$k$，等于用数$k$乘此行列式；某行（列）的元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和；把某行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。这些性质可用于简化行列式的计算。