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2025年九上数学计算试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 二次函数$y = 2(x - 3)^2 + 1$的顶点坐标是（ ）
A. （3，1） B. （-3，1） C. （3，-1） D. （-3，-1）
2. 方程$x^2 - 3x = 0$的根是（ ）
A. $x = 0$ B. $x = 3$ C. $x_1 = 0$，$x_2 = 3$ D. $x_1 = 0$，$x_2 = -3$
3. 已知$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{3}{5}$，则$\cos A$的值是（ ）
A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{3}$
4. 抛物线$y = -x^2$向左平移2个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A. $y = -(x + 2)^2$ B. $y = -(x - 2)^2$ C. $y = -x^2 + 2$ D. $y = -x^2 - 2$
5. 如图，在$\odot O$中，$\angle AOB = 100^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数是（ ）
A. $50^{\circ}$ B. $80^{\circ}$ C. $100^{\circ}$ D. $130^{\circ}$
6. 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（ ）
A. $k > -1$ B. $k > -1$且$k \neq 0$ C. $k < 1$ D. $k < 1$且$k \neq 0$
7. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$BC = 3$，则$\tan A$的值是（ ）
A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{4}{5}$
8. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. $a > 0$ B. $b < 0$ C. $c < 0$ D. $b^2 - 4ac > 0$
9. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A. $15\pi cm^2$ B. $30\pi cm^2$ C. $60\pi cm^2$ D. $120\pi cm^2$
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE\parallel BC$，$AD = 1$，$DB = 2$，则$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的面积之比是（ ）
A. $1:2$ B. $1:3$ C. $1:4$ D. $1:9$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
A. $x^2 - 2x - 1 = 0$ B. $ax^2 + bx + c = 0$ C. $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 1$ D. $x^2 + \frac{1}{x^2} = 0$
2. 二次函数$y = 3(x - 1)^2 + 2$的图象的性质有（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是直线$x = 1$ C. 顶点坐标是（1，2） D. 当$x > 1$时，$y$随$x$的增大而增大
3. 已知$\sin\alpha = \frac{1}{2}$，则锐角$\alpha$的度数可能是（ ）
A. $30^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ D. $90^{\circ}$
4. 抛物线$y = 2x^2 - 4x + 3$的对称轴是（ ）
A. 直线$x = 1$ B. 直线$x = -1$ C. 直线$x = 2$ D. 直线$x = -2$
5. 如图，在$\odot O$中，弦$AB = CD$，则下列结论正确的是（ ）
A. $\widehat{AB}=\widehat{CD}$ B. $\angle AOB = \angle DOC$ C. $AB = CD$ D. $\triangle AOB\cong\triangle DOC$
6. 一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解是（ ）
A. $x_1 = 1$ B. $x_2 = 3$ C. $x_1 = -1$ D. $x_2 = -3$
7. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点（-1，0），（3，0），（0，-3），则下列结论正确的是（ ）
A. $a = 1$ B. $b = -2$ C. $c = -3$ D. 函数的最小值是-4
8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，则下列三角函数值正确的是（ ）
A. $\sin A = \frac{4}{5}$ B. $\cos A = \frac{3}{5}$ C. $\tan A = \frac{4}{3}$ D. $\sin B = \frac{3}{5}$
9. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。已知一个圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，则圆锥的侧面积公式是（ ）
A. $S = \pi rl$ B. $S = \frac{1}{2}\pi rl$ C. $S = \pi r^2$ D. $S = \frac{1}{2}\pi r^2$
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，下列条件中能判定$\triangle ADE\sim\triangle ABC$的有（ ）
A. $\angle ADE = \angle B$ B. $\angle AED = \angle C$ C. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ D. $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的图象与$x$轴交点坐标是______。
2. 已知$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$为锐角，则$\alpha =$______。
3. 抛物线$y = -2x^2 + 4x - 1$的最大值是______。
4. 如图，在$\odot O$中，弦$AB = 8cm$，圆心$O$到$AB$的距离$OC = 3cm$，则$\odot O$的半径为______cm。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 方程$x^2 + 1 = 0$没有实数根。（ ）
2. 二次函数$y = -x^2$的图象开口向下。（ ）
3. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，则$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$。（ ）
4. 抛物线$y = 3(x - 2)^2 + 1$的顶点坐标是（2，1）。（ ）
5. 圆的切线垂直于经过切点的半径。（ ）
6. 一元二次方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两根之和为$\frac{3}{2}$。（ ）
7. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$，当$a < 0$时，函数有最大值。（ ）
8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$AC = 3$，则$\sin B = \frac{3}{5}$。（ ）
9. 圆锥的底面半径扩大为原来的2倍，母线长不变，则圆锥的侧面积扩大为原来的4倍。（ ）
10. 两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 4x - 1 = 0$。
2. 已知二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$，求该函数图象与$x$轴的交点坐标。
3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$\sin A = \frac{3}{5}$，求$AB$的长。
4. 已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点（1，0），（-1，-6），（2，6），求该抛物线的解析式。

答案与解析
1. 答案：A 解析：对于二次函数顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，顶点坐标为$(h,k)$，所以$y = 2(x - 3)^2 + 1$的顶点坐标是（3，1）。
2. 答案：C 解析：$x^2 - 3x = 0$，$x(x - 3)=0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
3. 答案：B 解析：因为$\sin^2 A+\cos^2 A = 1$，$\sin A = \frac{3}{5}$，所以$\cos A=\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2}=\frac{-\sqrt{16}}{5}=\frac{4}{5}$。
4. 答案：A 解析：抛物线平移遵循“左加右减”原则，向左平移2个单位后所得抛物线的解析式是$y = -(x + 2)^2$。
5. 答案：A 解析：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 50^{\circ}$。
6. 答案：B 解析：一元二次方程$kx^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$\Delta = (-2)^2 - 4k\times(-1)>0$且$k\neq0$，解得$k > -1$且$k \neq 0$。
7. 答案：A 解析：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$BC = 3$，则$AC = 4$，所以$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
8. 答案：D 解析：由图象可知抛物线开口向下，所以$a < 0$；对称轴在$y$轴右侧，$-\frac{b}{2a}>0$，所以$b > 0$；与$y$轴交点在$y$轴正半轴，所以$c > 0$；抛物线与$x$轴有两个交点，所以$\Delta = b^2 - 4ac > 0$。
9. 答案：A 解析：圆锥侧面积公式$S=\pi rl$，其中$r = 3cm$，$l = 5cm$，所以侧面积是$15\pi cm^2$。
10. 答案：D 解析：因为$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，面积比为相似比的平方，即$1:9$。

1. 答案：ACD 解析：一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，选项A符合；选项B中当$a = 0$时不是一元二次方程；选项C化简后是一元二次方程；选项D是分式方程，不是整式方程，不符合。
2. 答案：ABCD 解析：二次函数$y = 3(x - 1)^2 + 2$，$a = 3>0$，开口向上；对称轴是直线$x = 1$；顶点坐标是（1，2）；当$x > 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
3. 答案：A 解析：$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以锐角$\alpha$的度数是$30^{\circ}$。
4. 答案：A 解析：对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$，对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，$y = 2x^2 - 4x + 3$中$a = 2$，$b = -4$，所以对称轴是直线$x = 1$。
5. 答案：ABCD 解析：在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，所对的圆心角相等，对应的三角形全等，所以选项ABCD都正确。
6. 答案：AB 解析：$x^2 - 4x + 3 = 0$，$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
7. 答案：ABCD 解析：把点（-1，0），（3，0），（0，-3）代入$y = ax^2 + bx + c$得$\begin{cases}a - b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\c = -3\end{cases}$，解得$a = 1$，$b = -2$，$c = -3$，$y = x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$，函数最小值是-4。
8. 答案：ABC 解析：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，则$AB = 5$，所以$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
9. 答案：A 解析：圆锥侧面积公式$S = \pi rl$。
10. 答案：ABC 解析：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，所以选项ABC都能判定$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。

1. 答案：（-1，0），（3，0） 解析：令$y = 0$，则$x^2 - 2x - 3 = 0$，$(x + 1)(x - 3)=0$解得$x = -1$或$x = 3$，所以交点坐标是（-1，0），（3，0）。
2. 答案：$30^{\circ}$ 解析：因为$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$为锐角，所以$\alpha = 30^{\circ}$。
3. 答案：1 解析：$y = -2x^2 + 4x - 1=-2(x - 1)^2 + 1$，所以最大值是1。
4. 答案：5 解析：在$Rt\triangle AOC$中，$OA=\sqrt{AC^2 + OC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5cm$，所以半径为5cm。

1. 答案：√ 解析：方程$x^2 + 1 = 0$，$\Delta = 0 - 4<0$，所以没有实数根。
2. 答案：√ 解析：