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2025年高三概率综合试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( )
A. 1/8 B. 1/4 C. 2/5 D. 1/2
2. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
3. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
|广告费用x(万元)|4|2|3|5|
|----|----|----|----|----|
|销售额y(万元)|49|26|39|54|
根据上表可得回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)中的\(\hat{b}\)为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元
4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
5. 已知离散型随机变量X的分布列为
|X|0|1|2|
|----|----|----|----|
|P|a|1/2|1/4|
则X的数学期望E(X)=( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 某射手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是( )
A. 2/5 B. 4/7 C. 6/7 D. 7/10
7. 若随机变量X的分布列如下表，且E(X)=6.3，则a的值为( )
|X|4|a|9|
|----|----|----|----|
|P|0.5|0.1|b|
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知随机变量X~B(6,1/3)，则P(X=2)=( )
A. 80/243 B. 4/243 C. 13/243 D. 13/16
9. 已知随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=( )
A. 1/3 B. 2/3 C. 1/2 D. 3/4
10. 设随机变量X~N(1,5²)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，则实数a的值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

二、多项选择题(总共'10题，每题2分)
1. 下列说法正确的是( )
A. 事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B. 事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2. 若随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则下列结论正确的是( )
A. P(X<μ)=0.5
B. P(|X-μ|≤σ)≈0.6827
C. P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545
D. P(|X-μ|≤3σ)≈0.9973
3. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数\(\overline{x}=3\)，\(\overline{y}=3.5\)，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A. \(\hat{y}=0.4x+2.3\)
B. \(\hat{y}=2x-2.4\)
C. \(\hat{y}=-2x+9.5\)
D. \(\hat{y}=-0.3x+4.4\)
4. 设离散型随机变量X的分布列为
|X|0|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|P|0.2|0.1|0.1|0.3|m|
若随机变量Y=X-2，则下列结果正确的是( )
A. m=0.3
B. E(X)=2，D(X)=1.4
C. E(X)=2，D(X)=1.8
D. E(Y)=0，D(Y)=1.8
5. 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A. 1/6 B. 1/4 C. 1/3 D. 1/2
6. 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=1/3，k=1,2,3，则E(X)=( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
7. 设随机变量X~B(n,p)，且E(X)=1.6，D(X)=1.28，则( )
A. n=8，p=0.2
B. n=4，p=0.4
C. P(X=2)=0.256
D. P(X=1)=0.4096
8. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
9. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则( )
A. P(A)=2/5
B. P(B)=1/10
C. P(B|A)=1/4
D. P(B|A)=1/2
10. 已知随机变量X的分布列为
|X|1|2|3|
|----|----|----|----|
|P|1/2|1/3|1/6|
则X的方差D(X)=( )
A. 1/9 B. 1/3 C. 5/9 D. 2/3

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 若随机变量X~B(5,0.1)，则P(X≤2)=______.
2. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(X<4)=0.8，则P(X<0)=______.
3. 已知变量x，y具有线性相关关系，测得(x,y)的一组数据如下：(0,1)，(1,2)，(2,4)，(3,5)，其回归方程为\(\hat{y}=1.4x+a\)，则a的值是______.
4. 从1,2,3,4,5中任取2个不同偶数和2个不同奇数，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数有______个.

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件。( )
2. 若随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则P(X<μ)=0.5。( )
3. 线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)必过点(\(\overline{x}\)，\(\overline{y}\))。( )
4. 若事件A，B相互独立，则P(A|B)=P(A)。( )
5. 若随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1 - p)。( )
6. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件。( )
7. 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=1/3，k=1,2,3，则E(X)=2。( )

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，求P(X>4)的值。
2. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集到的数据如下表：
|零件数x(个)|10|20|30|40|50|
|----|----|----|----|----|----|
|加工时间y(min)|62|68|75|81|89|
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)；
(2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测加工70个零件所花费的时间。
3. 已知事件A，B，C相互独立，若P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，求P(A∩B∩C)的值。
4. 从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，求这个三位数是偶数的概率。

答案与解析
1. 单项选择题
- 1. 答案：B
解析：从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，所取的2个数均为偶数或均为奇数，所以\(P(A)=\frac{C_{2}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{2}{5}\)；事件B为“取到的2个数均为偶数”，则\(P(AB)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{1}{10}\)，所以\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{4}\)。
- 2. 答案：C
解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，所以正态曲线的对称轴是x = 2，\(P(X<4)=0.8\)，则\(P(X>4)=1 - 0.8 = 0.2\)，所以\(P(0<X<2)=\frac{1}{2}-P(X>4)=0.3\)。
- 3. 答案：B
解析：\(\overline{x}=\frac{4 + 2 + 3 + 5}{4}=3.5\)，\(\overline{y}=\frac{49 + 26 + 39 + 54}{4}=42\)，因为回归直线过样本中心点\((\overline{x},\overline{y})\)，把\(\overline{x}=3.5\)代入\(\hat{y}=9.4x+\hat{a}\)得\(42 = 9.4×3.5+\hat{a}\)，解得\(\hat{a}=9.4×3.5 - 42 = 9.4×3.5 - 42 = 65.5 - 42 = 23.5\)，所以回归方程为\(\hat{y}=9.4x + 23.5\)，当\(x = 6\)时，\(\hat{y}=9.4×6 + 23.5 = 65.5\)万元。
- 4. 答案：C
解析：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件；“至少有一个黑球”与