北京外国语大学《点集拓扑与泛函分析》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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北京外国语大学《点集拓扑与泛函分析》
2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、级数的和为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、若向量，向量，且向量与向量垂直，则的值是多少？（ ）
A.2 B. C. D.-2

3、已知曲线，求该曲线在点处的切线方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

4、已知函数，在区间[0,1]上，函数的最小值是多少？分析函数在特定区间的最值。（ ）
A. B. C. D.

5、设函数在[a,b]上可积，且，则（ ）
A. 在[a,b]上恒正
B. 在[a,b]上至少有一点大于零
C. 在[a,b]上恒负
D. 在[a,b]f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-3}的间断点是（ ）
A. 和
B.
C.
D.

6、设函数，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.

7、设函数 z = f(xy,x² + y²)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y。（ ）
A.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 2xf₁₂'' + f₂₁'' + 2yf₂₂'') B.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + xf₁₂'' + f₂₁'' + yf₂₂'') C.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 3xf₁₂'' + f₂₁'' + 3yf₂₂'') D.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 4xf₁₂'' + f₂₁'' + 4yf₂₂'')

8、求微分方程的通解是什么？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设，则为____。

2、求极限的值为____。

3、已知函数，求函数的傅里叶级数展开式为____。

4、求曲线在点处的切线方程为____。

5、已知函数，求在处的导数，根据求导公式，结果为_________。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求函数的单调区间和极值。

2、（本题10分）求函数在区间[0,4]上的最大值和最小值。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在闭区间[a,b]上可微，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在上可导，且，证明：存在，使得。

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