科尔沁艺术职业学院《高等数学（一）》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………

科尔沁艺术职业学院《高等数学（一）》
2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、已知曲线 C：x = e^tcos(t)，y = e^tsin(t)，求曲线 C 在 t = π/2 处的切线方程。（ ）
A.x = 0，y = e^(π/2) B.x = e^(π/2)，y = 0 C.x = -y + e^(π/2) D.x = y - e^(π/2)

3、函数，则该函数的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

4、已知向量 a=(2,1,-1)，向量 b=(1,-1,2)，求向量 a 与向量 b 的叉积。（ ）
A.(1,-5,-3) B.(-1,5,3) C.(1,5,3) D.(-1,-5,-3)

5、已知向量 a=(2,1,-1)，向量 b=(1,-2,1)，求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值。（ ）
A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.1/4

6、设函数，则等于多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

7、设函数，求和。( )
A. ， B. ， C. ， D. ，

8、曲线的拐点是（ ）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

9、设函数 z = e^(x + y)，求全微分 dz。（ ）
A.e^(x + y)(dx + dy) B.e^(x + y)(dx - dy) C.e^(x - y)(dx + dy) D.e^(x - y)(dx - dy)

10、若函数在点处可导，且，则当趋近于 0 时，趋近于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、若函数，求该函数在点处的切线方程，已知导数公式，结果为_________。

2、若向量，向量，且向量与向量垂直，则的值为____。

3、若级数绝对收敛，那么级数______________。

4、设函数，则在点处沿方向的方向导数为______。

5、已知函数，则的导数为____。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在区间[0,1]上二阶可导，且，设，证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，且对于任意的，有。证明：。

3、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内二阶可导，且，，证明：存在，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）已知向量，，求向量与向量的夹角。

2、（本题10分）求函数在区间$[1,4]$上的定积分。

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