反思型教学的实施与思考——以图形解决问题为例.pdf

-中学数学教学参考（中旬）-112023年第6 期谈学论教反思型教学的实施与思考一以“图形解决问题”为例何君青（江苏省南京市致远初级中学）摘要：针对一节市级公开课，基于反思型教学理念，通过课堂中学生深度思考、反思剖析，教师深度引领、有效点拔，使学生更为清晰地了解图形在数学内容中的作用和价值，并以此提出关于反思型教学流程与素材的诸多思考。关键词：反思型教学；教学实践；教学理念文章编号：10 0 2-2 17 1（2 0 2 3)6-0 0 11-0 3反思是对已经发生的事件进行回顾、思考的过程，它能使已发生的事件更明了，并从中产生新的思想和认识。反思可以更好地理解事物的本质和规律，把握事物的内在联系，形成新的判断，获得新的启迪，产生新的知识11。我国在古代就强调了反思的重要性。学记有言，“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。”国外也一直把反思作为一种重要的学习方式。杜威认为，反思是识别我们所尝试的事和所发生的结果之间的联系，价值在于使自己置身所观察的材料之外，是对个体思维活动的再加工过程。2020年初，笔者在马复教授的指导下提出“反思型教学”的构想，并在中学数学教学参考等期刊上发表了一系列文章。近期笔者又开设了一节以反思型教学理念为指引的市级展示课，收获颇丰，现撰文与读者交流。1反思型教学的内涵笔者所提倡的反思型教学，并不是教师的教学反思，而是一种课堂教学方式，是教师与学生通过反思性的思维活动进行教与学的过程。在反思型教学中，教师指导学生通过反思，不断对各种知识信息进行加工转换，使其获得的知识更清晰、更完善，同时教学生“学会思考”。反思型教学能促进教与学的同频共振，既有利于教师教学水平的提升，也有利于学生思维水平的提升，从而总体提升课堂教学质量。反思型教学指向学生反思型学习习惯的养成。在反思型教学中，借助一系列反思途径，使学生以自身的学习过程、学习结果为反思对象，通过一系列操作活动来调整、优化认知结构，提高学习效率，这是促进自我学习合理性的一种积极、主动、有效的方式。2反思型教学的实施2.1教学分析本节课的内容为“图形解决问题”，旨在用图形研究公式、不等式、方程等。为了能更好地贯彻反思型教学，笔者从三方面对这节课进行定位：（1)回顾初中阶段图形在数学学习过程中的应用，整体比较、观察，反思这些图形的作用和价值，明晰学习图形的意义，建立起“数”与“形”之间的联系；（2)在系列问题的分析、解决及从无到有的构图过程中，回顾反思解决的方案，为后续灵活应用建构策略，并建立起研究相关问题的一般思路；（3)在研究过程中反思图形的不足，深层次理解其优劣，深化学生对图形的认识，使其感受到研究数学问题需要有辩证统一的眼光。基于此，笔者制订了本节课的教学目标：（1)通过用图形研究公式、方程和不等式的探索、反思活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决问题的经验；*江苏省教育科学“十三五”规划2 0 2 0 年度立项课题“初中数学反思型教学的设计与实践研究”（课题编号：D/2020/02/67，主持人：何君青，康叶红）的阶段性研究成果。谈学论教2023年第6 期12中学数学教学参考（中旬）（2)建立“形”与“数”的联系，构建数学问题的直观模型，体会数量关系与图形之间的内在联系；（3）通过对几何图形面积、长度关系的观察、分析、比较、研究和反思，形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。2.2教学活动活动1用图形研究公式活动1用图形研究公式问题1：经历两年多的数学学习，同学们一定发现在很多问题中常有图形的身影，你能举几个例子吗？追问1：我们借助图形解释过很多公式的正确性，你是否记得当时我们是如何一步步研究的？又是如何想到用图形去解释的？追问2：还有其他例子吗？追问3：在这些例子中，你发现图形的优势了吗？这些例子有什么共同的特点？追问4：用图形还可以研究什么？教学说明：问题1是对之前数学学习的回顾，其实初中三年的学习，在学生的脑海中留下了用图形解决问题的深刻印象，如七年级的用图形解释单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式等，八年级用“赵爽弦图”“总统证法”解释勾股定理。追问1一追问3 是一组反思型问题，是对学习过程的反思，使学生在回忆、交流、比较中逐步体会“数缺形时少直观，形缺数时难人微”。图形能十分直观地表示数量之间的关系，“借助图形解释这些问题，都是用同一个图形面积的不同方式（整体看和部分看)去解释公式的”，使学生对图形的认识更深刻，为“图形能描述一些数量关系”“图形可能还有其他的应用”做铺垫。经过反思，学生便能提出“图形还可能用来研究一些特殊的等式（方程）”“除了研究等量关系，还可能用来研究不等关系”等设想。这一系列的反思，让学生的眼界从数进阶到式，从等式进阶到不等式，提供创造新结论的可能性。活动2 用图形研究不等式问题2：在八年级学习“二次根式”时，我们知道了V2十V3V5，还记得是怎么解决的吗？追问1：想一想，Va+/6Va+6(a0，b 0)是否成立呢？刚刚同学们说图形还可能用来研究不等式，那么能用图形分析这个问题吗？追问2：你的困难在哪里？这与问题1有什么区别和联系？追问3：观察式子的两边，你想到了什么？反思型问题，让学生在反思的过程中体会几何图形研究问题的一般思路和规律，即从简单到复杂、从平面到空间，也让其感悟遇到数学学习困难时，可将问题拆解来分析、联想可能关联的知识等，发展学生分析和解决问题的能力。追问4：这个问题能推广吗？还可能研究什么问题？追问5：回顾这一问题的研究过程，我们是如何一步步得到更广泛的结论的？教学说明：/2+/3/5 这一结论当时是从算的角度得到的。追问1引发学生对旧知的再次思考，反思方法的多样性。追问2 学生会说出构图的难度在于“建构什么样的图形才能解决问题”，这和问题1不同，学生在反思的过程中，会感受到“平方即图形的面积”这一结论。追问3 做破题之用，提示学生看式子的两边，当他们看到“左边两式相加不等于右边”时，自然联想到三角形三边的关系。如图1所示，在RtA BC中，ZA=90,AB=Na,AC=6,从而得到结论Va+/6Va+6（a 0,b 0）。追问4 比较开放，较好地拓展了这一图形解释的问题：Va十6 十/a+b2+ca0,60,c0)。追问5 也是B图1活动3用图形研究方程问题3：同学们说借助图形还能研究方程，那么请大家构造图形求+6=55(0)的解。追问1：看到这个式子，你想到了什么图形？为什么会这样想？追问2：大家想到了面积，那么什么图形的面积最容易求？追问3：大家说正方形的面积容易求，那么现在构造的图形是正方形吗？如果不是，该怎么办？追问4：有没有发现这个题目有个括号，里面写着 0，你是否感受到图形有时解决问题的“无力”？追问5：回顾这个题目的研究过程，你是否又有了新的想法和用图形解决更多方程的设想？追问6：解决这个问题，你还有其他办法吗？教学说明：学生在学习“一元二次方程”时，掌握了解一元二次方程的四种方法卡一一直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，对图形解法却不了解。问题3 对学生来说有一定的困难，于是追问1一追问3起到台阶的作用。追问1中，学生根据问题1的经中学数学教学参考（中旬）-132023年第6 期谈学论教验能说出“用面积解决这一问题”的想法。追问2 是关键的提示，当看到?十6 时，学生很容易想到长方形的面积，虽然这样也能构图解决，但一语点破“什么图形的面积最容易求”，让其体会构造正方形的意义。追问3 让学生根据“平方差公式”的研究经验，将图形分割、拼接，构造如图2 所示的三幅图，将两边长分别为，十6 的矩形转化成一个边长为十3 的正方形，从而用“最好求的图形”解决问题。追问4 是反思型问题，让学生用辩证的眼光看问题，发现其中的不足，即“图形只能解决正根”，于是学生对图形的作用及优劣理解更深刻。追问5 是反思型问题的拓展，将获得的经验举一反三，广泛运用，学生会提出“用立体图形的体积解决一元三次方程的正根”的设想，真正指向学生未来的发展。追问6 也是反思型问题，方法多样化是解题过程中重要的反思环节。这一系列的反思型问题，从原有的经验到合理运用，从反思、比较到得到最优策略，让学生的思维更合理、推理更严谨、运算更简捷，并能从中归纳、概括、总结出新的经验和规律。X3x+6X33X3X55X33x33x3”x(x+6)=55x(x+3+3)=55(x+3)=55+32图2活动4回顾反思问题4：通过今天的学习和研究，你对图形有了哪些新认识？追问：想一想，还可能借助图形研究什么呢？教学说明：这一环节是整节课的反思，帮助学生对本节课所学有一个系统全面的认识，从而更好地掌握知识，体会图形的作用与优劣，以及研究数形结合问题的一般思路与方法，学会学习，提升学习能力，并再一次深化认知，让其提出图形研究的领域，扩宽研究的范围，真正达到一节课“从一个问题开始，到多个领域研究，再回到起点重新出发”的境界。3对反思型教学的思考3.1反思型教学的流程本节课的问题都很精妙，追问不断，环环相扣，直指本质，每个环节都注意对过程、新旧知识关联的反思，把知识、方法、策略作为对象再思考，进行比较、分析，抽象概括其中的联系和规律，促使学生更深刻地理解解决问题的过程、数学活动所蕴含的思想方法，实现理解的深刻和认知的飞跃。反思型教学一般有三步：一是解决问题环节，教师提出问题，学生解决问题，得出结论；二是反思环节，学生对前面的过程再思考，反思研究的过程、知识间的关联、方法多样性等，从而再次得到结论；三是升华环节，学生根据反思形成新认识，加深对新知的理解，从而提炼规律，为后续相关问题提供策略基础，并形成反思习惯，促进后续反思型教学更好地开展。3.2反思型教学的素材本节课中，笔者多次引导学生进行反思，回顾解决问题的某个具体环节，把这个过程当作对象再思考。事实上，课堂教学中解决某个具体问题并非教学的目的，而通过对具体问题解决过程的反思达到认知的再提升才是目的。课堂中对关键环节的反思，有助于学生获得新认识及解决问题的一般策略和方法，体会到智慧生长的喜悦。本节课反思的对象主要是研究的过程和知识间的关联。对研究过程的反思，一般引导学生对学习过程进行回顾，常在一个数学活动完成后进行，培养其学会思考的能力，激发学习潜能，如本节课中提出“在这些例子中，你发现图形的好处了吗？这些例子有什么共同的特点呢？”“回顾这一问题的研究过程，我们是如何一步步得到更为广泛的结论的？”等帮助学生回顾。对知识间关联的反思，目的在于追求对知识间的结构化理解，把新知识与旧问题联系起来，从而对原问题有新的认识，同时让学生学会举一反三，触类旁通，融会贯通。如本节课中提出“这个问题能推广吗？还可能研究什么问题？”“回顾这个题目的研究过程，你是否又有了新的想法和用图形解决更多方程的设想？”“用图形还可以研究什么？”等引导学生反思。教学时，教师不仅要注意引导学生对当前的学习活动及时进行反思，还要让反思成为其学习的一种常态，并把课堂上开展反思作为教学的一个重要环节，促使学生反思习惯的养成。反思的目的一定是追求知识的内在发展价值，赋予学生“成长的意义”，这一做法需要教师不断思考、不断完善，参考文献：1何君青.“初中数学反思型教学的设计与实践研究”开题报告 J.中学数学教学参考（中旬），2 0 2 1（4）：7 5-7 8.