高考数学全真模拟试题第12661期.docx

高考数学全真模拟试题

1

单选题(共8个，分值共：)
1、已知值域为的函数在上单调递增，且，则下列结论中正确的是（       ）
A．B．
C．D．
2、港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为

A．，B．，
C．，D．，
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（       ）

A．B．C．D．
4、已知复数，则的虚部为（       ）
A．B．C．D．
5、数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）

A．B．
C．D．
6、已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（       ）
A．3B．C．D．
7、已知向量，若，则（       ）
A．B．C．D．4
8、某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为人，则样本容量为（       ）
A．B．C．D．
多选题(共4个，分值共：)
9、已知角的终边与单位圆相交于点，则（       ）
A．B．
C．D．
10、下列命题为真命题的是（       ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，则
11、已知函数，且，则（       ）
A．的值域为
B．的最小正周期可能为
C．的图象可能关于直线对称
D．的图象可能关于点对称
12、已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（        ）
A．B．C．D．
双空题(共4个，分值共：)
13、已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是______________.
14、已知，则________，=_________.
15、已知，其中，则___________，___________.
解答题(共6个，分值共：)
16、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.

（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求三棱锥P－EBC的体积.
17、已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
18、已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求的值域.
19、已知角的终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
20、已知非空集合．
（Ⅰ）当时，求
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
21、设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
双空题(共4个，分值共：)
22、某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.

由图中数据可知___________；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为___________.

12

高考数学全真模拟试题参考答案
1、答案：A
解析：
由函数在上单调递增，且，得，整理即可判断A，根据题意可设，则值域为，在上单调递增，从而可判断BCD.
解：对于A，因为函数在上单调递增，且，
所以，即，
所以，故A正确；
根据题意可设，则值域为，在上单调递增，
则，故B、C错误；
，故D错误.
故选：A.
2、答案：D
解析：
由频率分布直方图中最高矩形的中点可得众数，先计算行驶速度超过90 km/h的矩形面积，再乘以组距即可得频率.
由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：87.5，
由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：
（0.05+0.02）×5＝0.35，
∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35，
故选D．
小提示：
本题考查众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
3、答案：C
解析：
把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
根据几何体的三视图，可知该几何体为半圆柱，
如图所示：

该几何体的高为2，底面为半径为1的半圆形，
该几何体的侧面积为：．
故选：C．
4、答案：C
解析：
根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.
复数
所以的虚部为，
故选：C.
5、答案：D
解析：
由题设可得，法1：求三个弓形的面积，再加上三角形的面积即可；法2：求出一个扇形的面积并乘以3，减去三角形面积的2倍即可.
由已知得：，则，故扇形的面积为，
法1：弓形的面积为，
∴所求面积为．
法2： 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：D
6、答案：B
解析：
根据三棱锥外接球的表面积以及三棱锥的几何特点，求得的长，再根据线面角的定义，求得其正切值的表达式，求其最大值即可.
根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示：

因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得；
对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即，
故在中，因为，设外接圆半径为，
则，解得；
在中，因为，且，故可得，即，
再由正弦定理可得，则，又为锐角，故；
则，即是以为顶角的等腰三角形；
因为平面，故与平面的夹角即为，则，
又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则.
故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为.
故选：B.
小提示：
本题综合考查棱锥外接球问题、解三角形问题以及线面角的求解，处理问题的关键是对每种问题都能熟练的掌握，从而可以灵活的转化，属综合困难题.
7、答案：A
解析：
用向量平行坐标运算公式.
因为，，
所以，
故选:A
8、答案：A
解析：
结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量
由题意得样本容量为
故选：A
9、答案：ABC
解析：
根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.
根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；
，C正确；
，D错误.
故选：ABC
10、答案：BC
解析：
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
解：选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，则，所以本命题是真命题；
选项C: ，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题.
故选：BC．
11、答案：ACD
解析：
先通过诱导公式将函数化简，进而通过三角函数的图象和性质求得答案.
，A正确；
由，得或，即或，因为，所以或，当时，，则的图象关于直线对称，C正确；当时，，则，B错误，D正确.
故选：ACD.
12、答案：AD
解析：
对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，分析即在区间上单调，利用二次函数的单调区间判断.
二次函数图象的对称轴为直线，
∵任意且，都有，
即在区间上是单调函数，∴或，
∴或，即实数的取值范围为.
故选：AD
小提示：
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．
13、答案：     ##0.5     ##0.75
解析：
根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式直接得解.
设事件：取出的球为白球，事件：该球选自甲盒，
所以，，
若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是，
故答案为：，.
14、答案：         
解析：
利用对数的运算性质和指数的运算性质求解即可
由，得，
所以，所以.
故答案为：，
15、答案：         
解析：
（1）利用诱导公式求解；
（2）利用二倍角的正弦公式求解.
因为，
所以，
，
因为，
所以，，
所以
，
，
，
故答案为：，
16、答案：（1）证明见解析；（2）.
解析：
（1）取PC的中点F，连接EF，BF，由三角形中位线定理可得EF∥CD，CD＝2EF，再结合已知条件可得AB∥EF，且EF＝AB，从而可得四边形ABFE为平行四边形，所以AE∥BF，进而由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由于AE∥平面PBC，所以VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，取AB的中点O，连接PO，则可证得OP⊥平面ABCD，在等腰直角三角形PAB可求得OP＝1，在等腰梯形ABCD中可求出S△ABC＝1，从而可求出三棱锥P－EBC的体积
(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，

∵PE＝DE，PF＝CF，
∴EF∥CD，CD＝2EF，
∵AB∥CD，CD＝2AB，
∴AB∥EF，且EF＝AB.
∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.
∵BF⊂平面PBC，AE平面PBC.
故AE∥平面PBC.
(2)由(1)知AE∥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，
∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.
如图，取AB的中点O，连接PO，
∵PA＝PB，∴OP⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD.
∵△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，
∴OP＝1.
∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，
∴梯形ABCD的高为1，
∴S△ABC＝×2×1＝1.
故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.
小提示：
关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，解题的关键是利用等体积法转化，即VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，考查推理能力和计算能力，属于中档题
17、答案：（1），；（2）.
解析：
（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；
（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．
（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
18、答案：(1)函数的最小正周期是，单调递增区间是，
(2)
解析：
（1）首先化简函数，再求函数的性质；
（2）由（1）先求的范围，再求函数的值域.
(1)

，
，函数的最小正周期是，
令，，解得：，
所以函数的单调递增区间是，；
(2)
，，
，所以的值域是
19、答案：（1）；（2）
解析：
（1）先求任意角的三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式化简，再代值计算即可，
（2）利用诱导公式化简即可
∵角的终边经过点，
∴，，．
（1）原式．
（2）原式．
20、答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）
解析：
（Ⅰ）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；
（Ⅱ）由得到不等式组，求出参数的取值范围即可；
解：（Ⅰ）当时，又
所以，
（Ⅱ）因为，
所以解得；
即
21、答案：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
解析：
（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，

.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
小提示：
本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
22、答案：     0.1     50
解析：
利用频率之和为1可求，由图求出完成作业时间不少于的频率，由频数=总数频率可求.
由可求；由图可知，全校高中学生中完成作业时间不少于的频率为，则对应频数为.
故答案为：；50