高中数学构造法求数列通.doc

构造法求数列通项例题分析
型如a n+1=pa n+f(n) (p为常数且p≠0， p≠1)的数列
(1)f(n)= q (q为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pan+q (p、q为常数，且p≠0，p≠1)等价与，则{}为等比数列，从而可求．
例1、已知数列满足，（），求通项．
解：由，得，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
∴．
练习：已知数列的递推关系为，且，求通项．
答案：．
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q为常数) ，两边同除以q n，得，
令，则可转化为bn+1=pbn+q的形式求解．
例1、已知数列{a n}中，a1=，，求通项．
解：由条件，得2 n+1a n+1=(2 na n)+1，令b n=2 na n，
则bn+1=bn+1，bn+1-3=（bn-3）
易得 b n=，即2 na n=，
∴ an=．
练习、已知数列满足，，求通项．
答案：．
(3) f(n)为等差数列，如型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）
例1、已知数列满足，（），求．
解：令，则，
∴，代入已知条件，
得，
即，
令，，解得A=－4，B=6，
所以，且，
∴是以3为首项、以为公比的等比数列，
故，故．
点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．
练习：在数列中，，，求通项．
答案：．
解：由，得，
令，
比较系数可得：A=－6，B=9，令，则有，又，
∴是首项为，公比为的等比数列，所以，故．
(4) f(n)为非等差数列，非等比数列
法一、构造等差数列法
例1、在数列中，，其中，求数列的通项公式．
解：由条件可得，
∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故，
∴．
练习：在数列{an}中，，求通项。
答案．
解：由条件可得：，
∴数列是首项为、公差为2的等差数列。
法二、构造等比数列法
例1、⑴在数列中，，，，求；
⑵在数列中，，，，求．
解：⑴由条件
∴
故， 叠加法得：；
⑵由条件可得（等比数列）， 故=．
点拨：形如的复合数列，可把复合数列转化为等差或等比数列，再用初等方法求得．
例2、已知数列满足，，求数列的通项公式．
解：设，将已知条件代入此式，整理后得
，令，解得，
∴有，
又，
且，故数列
是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴，故．

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