数列的极限函数的极限.ppt

*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,大学数学教研室*,返回,后,页,下页,上页,首页,母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,数列的极限函数的极限,纵观微积分的发展史，微积分发展初期进展非常缓慢，究其原因，是因为没有形成系统的理论基础，而理论基础的核心是极限。极限的思想源远流长，庄子在,天下篇,中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的“割圆术”中说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。,2,第 一节 极限的概念,这都是极限思想的体现，古今中外一些学者虽曾有意无意地引用了一些极限方法，并隐约地体会到这种方法的重要性，但至到,17,世纪，数学家们还是觉得极限概念十分模糊。,18,世纪，法国数学家、哲学家达朗贝尔首次把极限理论作为分析的基础，并给出了比较反映其实质的极限定义，,19,世纪，法国数学家柯西出版了他的,分析教程,、,无穷小计算教程,、,微分计算教程,等具有划时代意义的著作，给出了比较严密的极限定义，从而将微积分建立在坚实的基础上，带动了微积分的飞速发展。,3,什么是极限？我们知道，微积分的研究对象是函数，函数有两个变量，极限就是研究函数当它的自变量有一个无限变化时，其因变量,(,函数值,),的变化趋势。,4,一、数列的极限,1,、割圆术：,利用圆,内接正多边形,来推算圆的,面积,(,一,),概念的引入,思路：,利用圆的内接正多边形近似替代圆的面积,随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,通过上面演示观察得,:,若正多边形边数,n,无限增大，则,正多边形周长无 限接近于圆的周长。,2,、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,出自庄子,天下篇,(,二,),数列的极限的有关知识,1.,定义,:,按一定顺序排列的一列数 称为数列,记作 数列中的每一个数叫数列的,项,第,n,项 称为数列的一般项或通项,.,数列也可称作整标函数,.,因为数列 可看成是定义在正整数集合上的函数,.,当自变量,n,按正整数,1,2,3,依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数,:,称为一个无穷数列,简称数列,.,在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看一个动点在数轴上依次取值,.,注意：,例,1,x,n,0,2,4,2,n,x,1,x,2,x,x,n,x,2,x,1,x,0,x,3,0,1,1,x,所有的奇数项,所有的偶数项,x,1,M,3,x,1,x,x,4,x,2,0,所有奇数项,1,x,n,x,3,x,2,x,1,x,0,(,三,),、数列极限的直观描述,2.,上面数列,(,2,),(,4,),收敛于,0,;,数列,(,5,),收敛于,1;,数列,(,1,),(3),发散,.,3,、举例,例,1,判断下列数列极限,2,、,3,、,4,、,解：,1,、,2,、,3,、,不存在,不存在,4,、,问题,:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值,?,如果是,如何确定,?,问题,:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值,?,如果是,如何确定,?,通过上面演示实验的观察,:,对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的,凭观察能判定数列,的极限是多少吗,显然不能,问题,:,“无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言刻划它,.,这就是“,当,n,无限增大时，,x,n,无限地接近于,1,”,的实质和精确的数学描述。,如果数列没有极限,就说数列是发散的,.,(,四,),、数列极限的,N,定义,通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：,，,如果对任意给定的正数,，总存在一,时，,恒成立，则称常数,为数列 的极限，,定义,:,对于数列,或称数列 收敛于,.,记为,否则，称数列发散。,个正整数,N,，使当,注,定义,1,习惯上称为极限的,N,定义，它用两个,动态指标,和,N,刻画了极限的实质，用,|,u,n,a,|,定量地刻画了,u,n,与,a,之间的距离任意小，即任给,0,标志着“要多小”的要求，用,n,N,表示,n,充分,大。这个定义有三个要素：,(,),正数,，,(,),正数,N,，,(,),不等式,|,u,n,a,|,（,n,N,）,定义中的,具有二重性：一是,的任意性，二是,的相对固定性。,的二重性体现了,u,n,逼近,a,时要,经历一个无限的过程（这个无限过程通过,的任意,性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，,而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通,过,的相对固定性来实现）。,定义中的,N,是一个特定的项数，与给定的,有关。,重要的是它的存在性，它是在,相对固定后才能确定的，且由,|,u,n,a,|,来选定，一般说来，,越小，,N,越大，但须注意，对于一个固定的,，合乎定义要求的,N,不是唯一的。,用定义验证,u,n,以,a,为极限时，,关键,在于设法由给定的,，求出一个相应的,N,，使当,n,N,时，不等式,|,u,n,a,|,成立。,定义中的不等式,|,u,n,a,|,（,n,N,）是指下面,一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,这就表明数列,u,n,中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种,稳定,的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“,收敛,”。,使得,N,项以后的所有项,都落在,a,点的,邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的,有限个,点,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,例,2,利用定义证明,证明：要使,，只须,故：任给,，总存在,，当,时，,恒成立，因此,注意,数列极限的定义未给出求极限的方法,只能验证某个数是不是某数列的极限,.,二、函数的极限,数列极限是一般函数极限的特殊情况,.,数列作为,定义在正整数集上的函数，其自变量是离散的，,而不是连续的,.,其自变量的变化过程只有一种，,即趋于无穷大，记作,但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化,过程可以是连续的，并出现了多种可能性,.,由于数列实际上可以看成是定义在为正整数,集上的一个函数,所以可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形,.,1.,x,时函数,(,x,),的极限,定义：,对函数,(x),当,x,取正值且无限增大时,(,即,x+,),(x),无限接近于常数,A,则称,A,是函数,(x),当,x+,时的极限,.,记为,注：函数,y=(x),当,x+,时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递增的,(,数列极限是函数极限的特殊情形,).,例如,不存在,定义：对函数,(,x,),当,x,取负值而绝对值无限增大时,(,即,x,),如果,(,x,),无限接近于常数,A,则称,A,是函数,(x),当,x,时的极限,.,记为,例如,不存在,发现问题没有,?,当,x,+,时,函数趋于,/2;,当,x,-,时,函数趋于,-/2;,那,?,例,定义：对函数,(,x,),当,x,绝对值无限增大时,(,即,x,),(,x,),无限接近于常数,A,则称,A,是函数,(x),当,x,时的极限,.,记为,充要条件：,例,不存在,2,.xx,0,时函数,(,x,),的极限,当,x,从大于,1,和小于,1,的方向趋于,1,即当,x,1,时,函数,(x),无限接近于,2.,o,x,y,1,1,(1,2),首先,考察 函数,y=(x)=,(,如右图,),(1),定义：设函数,在,的附近有定义，如果当,无限接近于,但不等于,时，,无限接近于一个确定的常数,，则称,当,时函数,以,为极限,.,记作,注意：,例：观察并求出下列极限,1,o,1,-1,=1,=0,=0,=1,=1,=-1,中所讨论的,xx,0,即,x,可从,x,0,的左右,如,(2).,函数,(,x,),的左、右极限,则只能考察,x,从,0,的右侧趋于,0,时的极限,.,因而必须引进左、右极限的概念,.,两侧趋于,x,0,.,但有时可考察,x,仅从,x,0,的左侧,趋于,x,0,或右侧,趋于,x,0,时函数,(,特别是分段函数在分段点处,),的极限,.,的左侧有定义，如果当 从 左侧,无限接近于,时的左极限为 。记为,定义：设函数,在,但不等于,时，,无限接近于一个确定的常数,，则称,当,时函数,以,为极限,.,也称 在,定义：设函数,在,的右侧有定义，如果当 从 的右,侧无限接近于 但不等于 时,无限接近于一个确定的常数,，则称当,时函数 以 为极限,也称 在,时的右极限为 记为,(1),左、右极限均存在,且相等；,(2),左、右极限均存在,但不相等；,(3),左、右极限中至少有一个不存在,.,函数在点,x,0,处的左、右极限可能出现以下,三种情况之一：,左极限和右极限统称为单侧极限,.,定理,函数,y=(x),当,xx,0,时极限存在且为,A,的充要条件是函数,y,=(,x,),的左极限和右极限都存在且等于,A,.,即,左右极限存在但不相等,证,例,例,解,？,如何求,分段点左右两边表达式相同不需分左右极限,例,已知,求,解：,1,、,2,、,即,所以,不存在,3,、,讨论分段函数在分段点的极限的步骤,:,注意：有时不需分左右极限求解,四、函数极限的几个重要性质,为了叙述方便,将,(,x,),在,x,或,xx,0,时的极限,A,统一记为,1.,唯一性,若 存在,则极限值,A,唯一,.,lim(,x,)=,A,2.,有界性 若,则在 的某空心领域内有界,下面性质以 时极限为例，其它极限有类似结果,3.,局部保号性,若 ，且 ，则在 的,某空心邻域内 ，反之若 ，则 。,最后归纳：函数极限,(,包括数列,),概念都可以叙述为：,当自变量,(,或,)_,变化时,(,即,_,或,),，函数值都无限地接近于一个确定的常数,A,，则称当,_,时，函数以,A,为极限，记为,作业：习题册,