高考数学深化复习+命题热点提分专题21坐标系与参数方程理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 21 坐标系与参数方程1已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为sin(6)12，曲线 C的参数方程为x22cos，y2sin.(1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线 C上的点到直线l 的距离的最大值解：(1)sin(6)12，(32sin12cos)12，32y12x12，即 x3y10.故直线 l 的直角坐标方程是x3y10.(2)方法一：由已知可得，曲线C 上的点的坐标为(2 2cos，2sin)，曲线C 上的点到直线l 的距离d|2 2cos 2 3sin 1|24cos（3）3272，故最大距离是72.方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2 为半径的圆，圆心到直线l 的距离为32，最大距离为32272.2在直角坐标系xOy中，圆 C的参数方程为x32cos，y 42sin(为参数)(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知 A(2，0)，B(0，2)，圆 C上任意一点M(x，y)，求 ABM 面积的最大值解：(1)圆 C的参数方程为x32cos，y 4 2sin(为参数)，所以其普通方程为(x 3)2(y 4)24，所以圆 C的极坐标方程为26cos8sin210.(2)点 M(x，y)到直线 AB：xy20 的距离 d|2cos 2sin9|2，故 ABM的面积 S12|AB|d|2cos 2sin9|2 2sin(4)9|，所以 ABM 面积的最大值为92 2.3在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x 212t，y32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos.(1)将直线 l 的参数方程化为极坐标方程；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)求直线 l 和曲线 C交点的极坐标(0，0 2)解：(1)将直线 l：x212t，y32t(t 为参数)消去参数t，化为普通方程3xy2 30，将xcos，ysin代入3xy2 30，得3cos sin2 30.4已知曲线C的极坐标方程为2cos4sin.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为x1tcos，y 1 tsin(t 为参数)(1)判断直线l 与曲线 C的位置关系，并说明理由；(2)若直线 l 和曲线 C相交于 A，B两点，且|AB|3 2，求直线l 的斜率解：(1)2cos4sin，22cos4sin，曲线 C的直角坐标方程为x2y22x4y，即(x 1)2(y 2)25.直线 l 过点(1，1)，且该点与圆心间的距离为（11）2（12）20，0 0，sincos 0，又 0，)，所以(0，2)，所以 t10，t20，而|PM|PN|t1|t2|t1t24(sincos)4 2sin(4)(0，2)，4(4，34)，220)，已知过点P(2，4)的直线l的参数方程为：x 222t，y 422t(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值13已知曲线C1的参数方程是x2cos，y3sin(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学排列，点A的极坐标为(2，3)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解析：(1)由已知可得A(2cos 3，2sin 3)，B(2cos(32)，2sin(32)，C(2cos(3)，2sin(3)，D(2cos(332)，2sin(332)，即A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1)(2)设P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为 0sin21，所以S的取值范围是 32,5214在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是1，将C1向上平移 1 个单位得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|TN|的取值范围解析：(1)依题，因为2x2y2，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y21，所以曲线C2的直角坐标方程为x2(y1)21，又y sin，所以 22sin 0，即曲线C2的极坐标方程为 2sin.(2)解法一由题令T(x0，y0)，y0(0,1，切线MN的倾斜角为，所以切线MN的参数方程为xx0tcos yy0tsin(t为参数)联立C2的直角坐标方程得，t22(x0cos y0sin sin)t12y00，即由直线参数方程中t的几何意义可知，|TM|TN|1 2y0|，因为 12y0 1,1)，所以|TM|TN|0,1 解法二设点T(cos，sin)，则由题意可知当(0，)时，切线与曲线C2相交，由对称性可知，当 0，2时切线的倾斜角为 2，则切线MN的参数方程为小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学xcos tcos 2 cos tsin ysin tsin 2 sin tcos(t为参数)，与C2的直角坐标方程联立，得t22tcos 12sin 0，则|TM|TN|t1t2|1 2sin|，因为 0，2，所以|TM|TN|0,1 15将曲线C1：x2y21 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|BD|.16已知点P的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，0)，其中 0是常数设点Q的直角坐标是(m，n)(1)用x，y，0表示m，n；(2)若m，n满足mn1，且 04，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程解析：(1)由题意知x cos，y sin，且m0，n0，所以mcos cos 0sin sin 0，nsin cos 0cos sin 0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以mxcos 0ysin 0，nxsin 0ycos 0.(2)由(1)可知m22x22y，n22x22y，又mn1，所以22x22y22x22y1.整理得x22y221.x22y22 1 即为所求方程