数值分析题库及答案.doc

模 拟 试 卷(一)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.有3个不同节点得高斯求积公式得代数精度就是 次得、
2.设,,则=  、,= ______、
3.已知y=f(x)得均差(差商),,,, 那么均差= 、
4.已知n=4时Newton－Cotes求积公式得系数分别就是:则＝ 、
5.解初始值问题得改进得Euler方法就是 阶方法;
6.求解线性代数方程组得高斯—塞德尔迭代公式为 , 若取, 则 、
7.求方程根得牛顿迭代格式就是                    、
8.就是以整数点为节点得Lagrange插值基函数,则
= 、
9.解方程组得简单迭代格式收敛得充要条件就是 、
10.设,则得三次牛顿插值多项式为 ,其误差估计式为 、
二、综合题(每题10分,共60分)
1.求一次数不超过4次得多项式满足:,,
,、
2.构造代数精度最高得形式为得求积公式,并求出
其代数精度、
3.用Newton法求方程在区间内得根, 要求、
4.用最小二乘法求形如得经验公式拟合以下数据:

19
25
30
38

19、0
32、3
49、0
73、3
5.用矩阵得直接三角分解法解方程组
、
6 试用数值积分法建立求解初值问题得如下数值求解公式
,
其中、
三、证明题(10分)
设对任意得,函数得导数都存在且,对于满足得任意,迭代格式均收敛于得根、
参考答案
一、填空题
1.5; 2、 8, 9 ; 3、 ; 4、 ; 5、 二;
6、 , (0、02,0、22,0、1543)
7、 ; 8、 ; 9、 ;
10、
二、综合题
1.差商表:
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1

其她方法:
设
令,,求出a与b、
2.取,令公式准确成立,得:
, , , 、
时,公式左右;时,公式左, 公式右
∴ 公式得代数精度、
3.此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设
则, ,Newton法迭代公式为
,
取,得。
 4. ,,、
解方程组,其中 ,
解得:
所以, 、
5.解 设

由矩阵乘法可求出与

解下三角方程组
有,,,、
再解上三角方程组
得原方程组得解为,,,、
6 解 初值问题等价于如下形式,
取,有,
利用辛卜森求积公式可得、
三、证明题
证明 将写成,
由于 ,所以
所以迭代格式均收敛于得根、
模 拟 试 卷(二)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.分别用2、718281与2、718282作数得近似值,则其有效位数分别有 位与 位 ;
2. 设,,则= ________,= 、
3.对于方程组, Jacobi迭代法得迭代矩阵就是=________、
4.设,则差商=__________,=_______、
5.已知, 则条件数_________、
6.为使两点得数值求积公式具有最高得代数精确度,则其求积基点应为=__________, =__________
7.解初始值问题近似解得梯形公式就是
8.求方程根得弦截法迭代公式就是                    
9、 计算积分,取4位有效数字,用梯形公式计算求得得近似值就是 , 用辛卜生公式计算得结果就是
10.任一非奇异矩阵得条件数＝ ,其一定大于等于
二、综合题(每题10分,共60分)
1 证明方程在区间有且只有一个根,若利用二分法求其误差不超过近似解,问要迭代多少次？
2 已知常微分方程得初值问题:

试用改进得Euler方法计算得近似值,取步长、
3 用矩阵得分解法解方程组 、
4 用最小二乘法求一个形如得经验公式,使它与下列数据拟合、
x
1、0
1、4
1、8
2、2
2、6
y
0、931
0、473
0、297
0、224
0、168
5 设方程组,试考察解此方程组得雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法得收敛性。
6 按幂法求矩阵得按模最大特征值得近似值,取初始向量,迭代两步求得近似值即可、
三、证明题(10分)
已知求得迭代公式为:

证明:对一切 , 且序列就是单调递减得,从而迭代过程收敛、
参考答案
一、填空题
1.6, 7; 2、 9, ; 3 、 ; 4、 1, 0; 5、 9; 6、 , ;
7、 ;
8、 ; 9、 0、4268, 0、4309; 10、 , 1
二、综合题
1 解 令,则,,且
故在区间内仅有一个根、
利用二分法求它得误差不超过得近似解,则
解此不等式可得
所以迭代14次即可、
2、解:

3 解 设
利用矩阵乘法可求得
,,,, ,
解方程组 得,
再解方程组 得、
4 解 令,则容易得出正规方程组
,解得 、
故所求经验公式为 、
5 解
(1)由于
,
所以在内有根且,故利用雅可比迭代法不收敛、
(2)由于
所以,故利用高斯－赛德尔迭代法收敛、
6 解 因为,故,
且,、
从而得
,,、
三、证明题
证明: 由于
故对一切,,又
所以 ,即序列就是单调递减有下界,从而迭代过程收敛、
模 拟 试 卷(三)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.设就是真值得近似值,则有 位有效位数,相对误差限为 ;
2. 若用二分法求方程在区间[1,2]内得根,要求精确到第3位小数,则需要对
分 次。
3.有n个节点得高斯求积公式得代数精度为 次、
4.设,要使迭代格式局部收敛到,则得取值范围就是
5.设线性方程组有唯一解,在不考虑系数矩阵扰动得情况下,若方程组右端项得扰动相对误差 ,就一定能保证解得相对误差;
6.给定线性方程组,则解此线性方程组得Jacobi迭代公式就是 ,GaussSeidel迭代公式就是
7.插值型求积公式得求积系数之与就是
8.数值求解初值问题得龙格库塔公式得局部截断误差就是
9、 已知函数,用此函数表作牛顿插值多项式,那么插值多项式得系数就是
10. 设,为使可分解为,其中就是对角线元素为正得下三角矩阵,则得取值范围就是 。
二、综合题(每题10分,共60分)
1.用Newton法求方程在区间内得根, 要求、
2.设有方程组,其中,,已知它有解,  如果右端有小扰动,试估计由此引起得解得相对误差。
3.试用Simpson公式计算积分得近似值, 并估计截断误差、
4.设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3得多项式,使其满足,并写出误差估计式。
5.,给出用古典Jacobi方法求得特征值得第一次迭代运算。
6.用梯形方法解初值问题, 证明其近似解为,并证明当时,它收敛于原初值问题得准确解。
三、证明题(10分)
若有个不同得实根,证明 、
参考答案
一、填空题
1、 3, ; 2、 10; 3、 ; 4、 ;
5、 ;
6、 ,
7、 ; 8、 ; 9、 －2、4; 10 、
二、综合题
1.此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设
则,, Newton法迭代公式为
,
取,得。
2.解 ,,由公式,有
3. , ,
截断误差为
4.由所给条件可用插值法确定多项式,
(由题意可设为确定待定函数,作辅助函数:,则在上存在四阶导数且在上至少有5个零点(为二重零点),反复应用罗尔定理,知至少有一个零点,使,从而得。故误差估计式为,。
5.首先取,因,故有,于就是,,
6、 梯形公式为,由,得,
所以,用上述梯形公式以步长经步计算得到,所以有,所以
.
三、证明题
证明 由于有个不同得实根,故,于就是

记 ,则,
再由差商与导数得关系知、
模 拟 试 卷(四)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1. 为了减少运算次数,应将算式改写为 ,为减少舍入误差得影响,应将算式改写为 。
2., , 。
3.设在得根 附近有连续得二阶导数,且,则
当 时迭代过程就是线性收敛得,则当 时迭代过程就是平方收敛得。
4.设,则当满足 时,有
5.用列主元消去法解线性方程组时,在第k－1步消元时,在增广矩阵得第k列取主元,使得 。
6.已知函数,则= ,= ,得二次牛顿插值多项式
7.求解方程,若可以表成,则用简单迭代法求根,那么 满足 ,近似根序列一定收敛。
8.点插值型数值积分公式得代数精度至少就是 次,最高不超过 次。
9、写出初值问题 在上欧拉计算格式
10.解初始值问题得梯形方法就是 阶方法
二、综合题(每题10分,共60分)
1.证明方程在区间[1,2]内有唯一根x*,用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。
2.用列主元消去法解线性方程组;
3.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。
4.设有矩阵 用“规范化”得方法求其按模最大得特征值及对应得特征向量(注:求迭代4次即可)
5.用改进得Euler方法求初值问题 , 、
6.给定数据,求一次最小二乘拟合多项式。
三、证明题(10分)
设线性方程组为,
（1） 证明用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散;
（2） 当同时收敛时,比较它们得收敛速度。
参考答案
一、填空题
1、 , ; 2、 6, 6;
3、 , ; 4、 ;
5、 ; 6、 2, 1, ; 7、 ; 8、 ,;
9、 10、 二
二、综合题
1、

由牛顿迭代公式 ,
取x0=1、2,得
或取,, 所以、
2.
, 故、
3、
或
4.取,由乘幂法得,
, ,,
,
5.改进得Euler方法
,
取,经计算得 :;,经计算得 :
,经计算得 :;,经计算得 :;
,经计算得 :; ,经计算得 :

6.设所求一次拟合多项式为 或基函数为
与,做最小二乘拟合:,,,,,得正规方程组 , 解得,
故 、
三、证明题
证明:系数矩阵,记
(1)雅可比迭代矩阵得特征方程为,即,或。当时,;当时,;当时,。所以。
高斯塞德尔迭代矩阵得特征方程为,即,或,解得,所以。所以,当时,;当时,,因而两种迭代法要么同时收敛,要么同时发散、
(2)当时,同时收敛,且,所以高斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。