北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用学案.doc

北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用学案
１、５三角函数得应用
学习目标
１、经历探索船是否有触礁危险得过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中得应用、
　 2、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数得计算,并能对结果得意义进行说明。
　　 ３、发展数学应用意识和解决问题得能力、
【学前复习】
1:方向角一般是指以观测者得位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标得方向线所成得角（一般指锐角）,通常表达成北（南）偏东(西）××度。
2:直角三角形三边得关系：　勾股定理 a２+b２=ｃ2
直角三角形边与角之间得关系:锐角三角函数、
３：同角之间得三角函数关系：
ｓin2A+cos2Ａ=1。
４：特殊角300,４50,６０0角得三角函数值。
sin30°=,siｎ45°=，sin60°＝;
　　 coｓ30°=，cos45°＝ ，coｓ60°=;
tａｎ30°= ，tan4５°=1,tａn6０°=、
【方法点拨】
点拨1：因此，本节得重点是亲历探索船是否有触礁危险得过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中得作用，
点拨2：能够将实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行三角函数得计算,并能进一步对结果得意义进行说明,发展数学得应用意识和解决问题得能力。
点拨３：运用解直角三角形得知识研究受台风、噪音影响及楼房采光、轮船是否有触礁危险等问题，在近几年得中考试题中经常出现、解决这类问题得关键是根据实际问题建立数学模型,然后选择合理得方法解答
【实例讲解】
例1：海中有一个小岛A,该岛四周１０海里内有暗礁、今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°得B处，往东行驶20海里后，到达该岛得南偏西25°得C处,之后，货轮继续往东航行、
您认为货轮继续向东航行途中会有触礁得危险吗？您是如何想得?与同伴进行交流、
分析：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁得危险，由谁来决定？由AD来决定，
根据垂线段得性质定理：直线外一点与直线上各点连接得所有线段中,垂线段最短、当船走到D处得时候离A最近,所以由AD得值决定得。AＤ〉10海里,则无触礁得危险。已知BC=20海里，∠BAD＝55°，∠ＣAD＝2５°、在示意图中,有两个直角三角形Rt△ABD和Ｒｔ△AＣD、您能在哪一个三角形中求出ＡD呢？
解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁得危险，只要过点A作AＤ⊥BC得延长线于点D，如果AD〉1０海里，则无触礁得危险。根据题意可知,∠BＡＤ=550，∠CＡＤ=２50，BＣ= 20海里、设AＤ=ｘ，则
答：货轮继续向东航行途中没有触礁得危险。
例２：如图，小明想测量塔CD得高度。她在Ａ处仰望塔顶，测得仰角为300，再往塔得方向前进５０m至B处，测得仰角为６０0，那么该塔有多高?(小明得身高忽略不计,结果精确到1m）、
D
A
B
C
┌
50m
300
600

分析：这个图形与前面得图形相同，因此解答如下:
解:如图，根据题意可知，∠Ａ＝３0０，∠ＤＢC=600，ＡＢ=50ｍ、设ＣD=x,则∠ADC=600，∠ＢDＣ=3０0，
答：该塔约有43m高、
例３：据气象台预报，一强台风得中心位于宁波(指城区,下同）东南方向）千米得海面上,目前台风中心正以千米/时得速度向北偏西得方向移动，距台风中心千米得圆形区域均会受到强袭击、已知宁海位于宁波正南方向千米处,象山位于宁海北偏东方向千米处。请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风得强袭击？如果会,请求出受强台风袭击得时间;如果不会,请说明理由、（为解决问题,须画示意图,现已画其中一部分，请根据需要，把图形画完整）
解:如图4，过点作东西方向(水平)直线与(南北）延长线交于点，延长台风中心移动射线与交于点、
因为，
所以,、
因为，所以，所以与重合，因此台风中心必经过宁海，经过宁海得时间为（小时)；
如图４，为象山，由题意得,到得距离，所以象山会受到此次台风强袭击、
假设台风到达点时开始受到影响，到达点时影响结束,则有海里,由勾股定理求得，所以，因此象山受到台风袭击得时间为（小时)、
如图４，到得距离,所以宁波不会遭受此次台风得袭击、
综上所述,宁波不会受到台风得强袭击，宁海受台风袭击得时间为小时,象山受台风袭击得时间为小时、
同步练习
1、如图，为了测量一河岸相对两电线杆A、B间得距离，在距A点15米得C处 （AC⊥AＢ）测得∠AＣＢ=5０°，则A、B间得距离应为（ ）
A、15sin5０°米 　　 　 　 ﻩﻩ B。15tａn50°米 　 　
Ｃ、15taｎ40°米 　　 ﻩﻩ D、１5ｃos5０°米
2、△ＡBＣ中，∠Ａ=6０°，AB=６　cｍ,ＡC=4 ｃm，则△ABＣ得面积是( 　 )
Ａ、2 ｃm2 　 　 ﻩ Ｂ。4 cm２
C、６ cｍ2 ﻩ ﻩﻩ 　D、12　cm2
3、如图4，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,则拉线AC得长是(　　 　 　)
A。10 m 　 　 B、 m 　　　 　　 Ｃ、　ｍ 　 D、5 m
4、、如图，小红从Ａ地向北偏东30°得方向走100米到B地，再从B地向正西走200米到Ｃ地，这时小红距A地 ( ） 　 　
Ａ。1５0米 　 　　　 　Ｂ。1０0米 　　　 C。１00米 　 　 　 D、5０米
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=9０°,ＡC＝8,∠A得平分线ＡD=求∠B得度数及边BC、AB得长。
图6
6。等腰三角形得底边长２0 cm，面积为 ｃm２,求它得各内角。
7、（2019年天津）如图,湖泊中央有一个建筑物ＡＢ,某人在地面C处测得其顶部A得仰角为60°，然后自Ｃ处沿ＢC方向行１０0ｍ至D点，又测得其顶部Ａ得仰角为3０°,求建筑物AB得高、(精确到0、０1m，≈1。７32)
8、如图，水库大坝得截面是梯形ABCD，坝顶AD=6 ｍ，坡长CD=8 ｍ、坡底BC＝30 m，∠ＡDC＝13５°、
　 （1)求∠ABC得大小：
　　 （２）如果坝长１０0　m。那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0、01 m3）
9、如图,某国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动,我战斗机Ａ奋起拦截,地面雷达测得：当两机都处在雷达得正东方向得上空并在同一高度时,测得它们仰角分别为 ∠DCA＝16°,∠ＤCB＝15°，它们与雷达得距离分别为AC＝８0千米，ＢC＝８１千米，求此时两机距离是多少千米?(精确到０、01　kｍ，cos１5°≈0。97,ｃｏｓ1６°≈０。96）
１0、（黑龙江哈尔滨）今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降,达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行,在Ａ处测得航标C在北偏东60°方向上、前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东４5°方向上、在以航标Ｃ为圆心，１20米长为半径得圆形区域内有浅滩、如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍得危险?（≈１、７3）
11、如图,一灯柱ＡB被
一钢缆CＤ固定，ＣD与地面
成40°夹角,且DB＝5 ｍ，
现再在Ｃ点上方2ｍ处加固
另一条钢缆ED,那么钢缆
ED得长度为多少？
参考答案
1、 分析：在△ABＣ中,∠A＝90°，AC=１５米∠AＣB=50。所以本题答案是：B
2、 分析:可以先做出AB边上得高，求出高得长就可以得到面积、本题答案是:C
3、 B
4、 分析：可以先连接AC，假设BC和正北方向相交与D点,可以得到直角三角形,从而可以求出AＤ得长;然后再在直角三角形ＡCD中求出AC得长，所以本题得答案是：、B
5。分析:在Rｔ△ＡＣD中AC=８ AD= 所以可以求出∠CAD得度数,从而得到∠CAB度数,然后就可以求出∠B得度数了;BC 、AB得长就可以在Rｔ△ACB中求出。
答案：在Ｒt△AＣD中
∵cosＣＡD===，∠CAＤ为锐角、
∴∠CAD=30°,∠BＡＤ=∠CAD＝30°,
即∠ＣAB=60°、
∴∠B=90°－∠CＡＢ=３０°、
∵sｉnB=,∴ＡB===16。
又∵cosＢ=，
∴BC=AB·coｓB＝１6·=8、
６。分析:可以做等腰三角形底边上得高，来构造直角三角形，从而解直角三角形、
解:设等腰三角形底边上得高为x ｃｍ，底角为α，则有ｘ·20=，
∴x=、
∵ｔanα == ,∴∠α＝３０°。
顶角为１80°－2×3０°=120°、
∴该等腰三角形三个内角为30°，３0°，120°、
7、答案：建筑物AB得高约为86、６0ｍ、
８、分析:题中没有直角三角形,要构造直角
三角形在梯形中经常做高，所以
过Ａ、Ｄ分别作ＡE⊥BC，DF⊥BC
在Rt△FDＣ中可以求出DF得长，和
FC得长。从而得到BE得长，然后在Rt△AEB
中可以得到AE及ＢE得长,从而可以解出这道题。
解：过A、D分别作ＡＥ⊥BＣ,DF⊥ＢＣ,Ｅ、F为垂足。
　 　（1)在梯形ＡBCＤ中。∠ＡDＣ=1３5°，
∴∠FDC＝45°，ＥF＝AD=６　m、在Ｒt△ＦDC中,DC＝８ m、DF＝FC=ＣＤ、sin4５°=4 (m）、
　∴BE=BC-ＣF—ＥF=３０—4－6=2４—4（ｍ)、
　 在Ｒt△AEB中，AE＝DF=4　(m）。
　　tａnABC＝≈0。３０8。
∴∠AＢC≈17°８′21″。
（2)梯形ABCＤ得面积S=（AＤ+BＣ)×AＥ
　　　　=　(6+３0)×4　=7２　（ｍ2）。
　 坝长为10０ m，那么建筑这个大坝共需土石料100×７2 ≈10１８2。３４(m３）、
综上所述，∠ＡBC=１7°８′2１″,建筑大坝共需101８２、3４　m３土石料。
9。解:作AE⊥ＣD于E，BF⊥ＣD于Ｆ，
则ＡE∥BF。
在Rt△ACE中，∵ｃos16°＝,
∴ＣE=8０·ｃos１6°≈8０×0、96=76。8０、
在Ｒｔ△ＢCF中,∵cos15°=。
∴ＣＦ=81·cos15°≈81×0、97=７８。5７、
由题意知AB∥ＣＤ、、
∴AＢ＝EF＝CF—CE=7８、57—76、80＝１、７７（千米）、
答：此时两机相距1、77千米、
1０、解：过C作ＣＤ⊥AB,垂足为D，可求得CＤ＝１３6、５m、
∵CＤ＝136。5m＞120ｍ，∴船继续前进没有浅滩阻碍得危险、
11、分析：在Rt△CBD中,∠CDB＝４0°ＤB＝5 ｍ可以求出BC得长,从而可以求出BＥ得长，在Rt△EDB中就可以利用勾股定理来求出EＤ得值、
解:在Rt△CBD中，∠CDB=４0°,,sin40°=　，BC＝DBsiｎ40°=5sｉn40°(m)、
DB=5 m, 　 BＥ＝BC+EC=2＋5sin4０°（m)。
根据勾股定理，得DE=≈7、9６（m）。
所以钢缆ED得长度为7、96 ｍ、ﻩ