截面应力的计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,.,【任务,2】,：圆轴扭转横截面上的应力与应变,模块四：截面应力计算,【任务,3】,：平面弯曲正应力计算,【任务,1】,：轴心拉压的应力与应变,【任务,4】,：平面弯曲剪应力计算,【任务,5】,：组合变形应力计算,【任务,6】,：平面应力状态应力计算,模块四,;,截面应力的计算,（,1,）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位；,（,2,）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律；,（,3,）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力；,（,4,）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算；,（,5,）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算；,（,6,）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式；,（,7,）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式；,（,8,）掌握斜弯曲、拉,(,压,),弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心；,（,9,）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。,学习目标：,（,1,）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力；,（,2,）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径，,能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。,（,3,）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。,（,4,）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。,重点：,轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。,难点：,剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力状态分析的解析法、图解法。,学习内容：,【任务1】：轴心拉压,知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律,及低碳钢拉伸性能。,能力目标,：,能求解轴心拉压杆的应力和应变,任务引领：图示支架，,AB,杆为圆截面杆，,L,1,=4m,d=30mm,BC,杆为正方形截面杆，其边长,a=60mm,，,F=10KN,，弹性模量,E=200Mpa,。试求,AB,杆和,BC,杆横截面上的正应力和伸缩量。,C,d,A,B,F,a,A=10mm,2,A=100mm,2,10KN,10KN,10KN,10KN,哪个杆先破坏,?,一、应力的概念,受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度,.,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为,“,破坏,”,或,“,失效,”,往往从内力集度最大处开始。,应力就是单位面积上的力,?,F,1,F,2,A,D,F,垂直于截面的应力称为,“,正应力,”,位于截面内的应力称为,“,切应力,”,应力的国际单位为,N/m,2,（帕斯卡）,1N/m,2,=1Pa,1MPa=10,6,Pa,1N/mm,2,1GPa=10,9,Pa,P,（总应力）,F,P,F,P,变形规律试验,：,观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。,二、拉（压）杆横截面上的应力与应变,s,F,N,F,P,当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；,当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。,两个假设：,平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动,。,纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等 。,可知：横截面上只有正应力,，且大小相等。,轴心拉压应力公式：,轴心拉压应变公式：,完成,任务：,图示支架，AB,杆为圆截面杆，,L,1,=4m,d=30mm,BC,杆为正方形截面杆，其边长,a=60mm,，,F=10KN,，弹性模量,E=200Mpa,。试求,AB,杆和,BC,杆横截面上的正应力和伸缩量。,C,d,A,B,F,a,F,NBC,F,NBA,F=10,解：,1,、以,B,点为研究对象,2,、求应力,3,、求变形量,材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度条件有关）,是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。,在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能。,拉伸标准试件：,圆截面,l=10d l=5d,矩形截面,k=11.3 k=5.6,三、低碳钢拉伸性能,1,.,拉伸图和应力,应变图,试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程中，自动绘出试件所受应力,=,P/A,与标距 段相应的伸长量,l/L,的关系曲线。通常称它为,拉伸图,。下图为低碳钢的拉伸图。,2,、低碳钢拉伸时的力学性能,O,O,变形发展的四个阶段,:,ob;bc;cd;de,明显的四个阶段,1,、弹性阶段,ob,比例极限,弹性极限,2,、屈服阶段,bc,（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3,、强化阶段,ce,（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4,、局部径缩阶段,ef,两个塑性指标,:,断后伸长率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,3,、卸载定律及冷作硬化,1,、弹性范围内卸载、再加载,2,、过弹性范围卸载、再加载,即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。,材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。,2,、其它材料拉伸时的力学性质,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限,0.2,来表示。,四、材料压缩时的力学性质,试件和实验条件,常温、静载,2-5,1,、塑性材料（低碳钢）的压缩,屈服极限,比例极限,弹性极限,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,E,-,弹性摸量,2,、脆性材料（铸铁）的压缩,脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同,压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限,低碳钢压缩,愈压愈扁,铸铁压缩,约,45,开裂,建筑专业用的混凝土，压缩时的应力,应变,图，如图示。,混凝土的抗压强度要比抗拉强度大,10,倍左右。,任务引领：图示的阶梯圆轴。,AB,段直径,d,1,=120mm,，,BC,段直径,d,2,=100mm,，外力偶矩,M,eA,=22kNm,，,M,eB,=,36kNm,，,M,eC,=14kNm,。试求该轴的最大切应力。,【,任务,2】,圆轴扭转横截面上的应力应变,观察变形,一、,圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：,应力分布规律,应力和变形公式,物理关系,静力学关系,（,1,）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。,（,2,）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变成了平行四边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况下），只是夹角发生了改变。,对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改变，只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的距离也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。,M,e,M,e,根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于半径的切应力,，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,R,dx,a,G,c,d,O,G,d,d,p,此式表明距圆心为,任一点处的,与到圆心的距离,成正比。,等直圆杆扭转实验观察,：,1.,几何变形方面,T,t,max,t,max,2.,物理关系,胡克定律：,代入上式得：,3.,静力学关系,代入物理关系式,T,O,d,A,横截面上距圆心为,处任一点切应力计算公式。,讨论：,1,）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,2,）式中：,T,横截面上的扭矩。,该点到圆心的距离。,I,p,极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,3,）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是,I,p,值不同。,剪应力的计算公式：,1,、横截面上任意一点剪应力计算：,2,、最大剪应力计算,当 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大,I,P,截面对形心的极惯性矩,是一个几何量，与截面形状及,尺寸有关，单位,m,4,mm,4,W,P,抗扭截面系数，几何量,单位,m,3,mm,3,圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数,d,D,o,空心圆轴,实心圆轴,D,o,极惯,性矩,p,=,),1,(,32,4,4,a,p,-,D,I,抗扭截,面系数,),1,(,16,4,3,a,p,-,=,D,W,P,a,=d/D=0,32,4,D,I,p,p,=,16,3,D,W,P,p,=,判断下图扭转切应力的分布,对的是哪些,?,错的是哪些,?,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,T,t,max,t,max,二、极惯性矩和抗扭截面系数,1.,极惯性矩,O,d,对于空心圆轴：,D,式中,W,P,只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数，单位为,mm,3,或,m,3,。,横截面上边缘点的切应力最大，其值为,令,三、最大切应力,：,T,t,max,t,max,完成任务：,图示的阶梯圆轴。,AB,段直径,d,1,=120mm,，,BC,段直径,d,2,=100mm,，外力偶矩,M,eA,=22kNm,，,M,eB,=,36kNm,，,M,eC,=14kNm,。试求该轴的最大切应力。,解（,1,）作扭矩图,用截面法求得,AB,段、,BC,段的扭矩分别为,T,1,=,M,eA,=22kNm,T,2,=,M,eC,=,14kNm,作出该轴的扭矩图如图示。,(2),计算最大切应力,由扭矩图可知，,AB,段的扭矩较,BC,段的扭矩大，但因,BC,段轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。,AB,段：,BC,段：,比较上述结果，该轴最大切应力位于,BC,段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力为,max,=71.3MPa,。,【,任务,3】,平面弯曲的正应力,任务引领：一外伸,T,型钢梁，梁上荷载如图所示。已知,L,1,=6m;L,2,=2m F=20kN,，,q=10kN,m,，截面尺寸如图所示，试求梁最大正应力。,学习目标：,1,、平面弯曲；,2,、,3,、,4,、,一、,弯曲和平面弯曲,1.,弯曲,:,以,弯曲变形为主的构件通常称为梁。,受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。,变形特点,：杆轴线由直变弯。,F,P,q,M,2,、单跨静定梁的几种形式,F,P,悬臂梁,F,P,q,M,简支梁,M,F,P,外伸梁,3.,平面弯曲,工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、,T,形、十字形、槽形等,它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面。,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,1,、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。,2,、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。,1,、平面假设：,变形前杆件的横截面变形后仍为平面。,2.,单向受力假设：,各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。因此梁横截面上只有正应力,而无剪应力,二、梁横截面上的应力分布规律,2,、物理条件,：,1,、几何条件,：,3,、静力条件,：,正应力公式：,横截面上正应力分布规律：,1,、受拉区,拉应力，受压区,压应力,2,、中性轴上应力为零,3,、沿,y,轴线性分布，同一坐标,y,处，正应力相等。既沿截面宽度均匀分布,4,、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。,若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力,简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式,惯性矩,弯曲截面系数,型钢查型钢表,【,任务完成,】,任务引领：一外伸,T,型钢梁，梁上荷载如图所示。已知,L,1,=6m;L,2,=2m F=20kN,，,q=10kN,m,，截面尺寸如图所示，试求梁最大正应力。,解：,（,1),求危险截面内力,：,MB=-202=-40KN.m;Mc=1062/8-40/2=25KN.m,Mmax,=MB=40KN.m,(2),计算截面性质,(3),最大应力,思考题：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,200,100,竖放,横放,知识拓展：梁的合理截面,1,、,根据抗弯截面系数选择合理截面,从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是,在横截面面积,A,相等的条件下，比值,W,z,/,A,尽量大些。,1),通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积,A,相等的情况下，比值,W,z,/A,从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形；,z,z,z,z,2),通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的,W,z,/A,总是大于实心截面的,W,z,/A,。,z,z,z,z,3,）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。立放的矩形截面,W,z,/,A,值比平放的矩形截面,W,z,/,A,值大,。,z,y,b,h,y,z,b,h,若,h,=2,b,，梁平放时,W,z,/A,=,b,/6,，梁竖放时,W,z,/,A,=,b,/3,。,2,、根据材料特性选择截面,对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、工字形等。,对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如,T,形、槽形等。,3,、采用变截面梁,为了充分利用材料，理想的梁应该是在弯矩大的部位采用大截面，而在弯矩小的部分就采用小截面，使弯矩与截面相对应，这种梁的横截面尺寸在全梁范围内不是一个常数，而是沿着轴线有一定变化的梁称为,变截面梁,。,最理想的变截面梁应该是：梁的每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力，这种变截面梁称为,等强度梁,。,注意：在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。,【,任务,4】,平面弯曲的剪应力,任务引领：一外伸,T,型钢梁，梁上荷载如图所示。已知,L,1,=6m;L,2,=2m F=20kN,，,q=10kN,m,，截面尺寸如图所示，试求梁最大剪应力。,学习目标：,1,、纯剪切、弯曲剪切；,2,、,纯剪切应力,3,、,弯曲剪切应力,4,Fs,M,F,S,剪切分为纯剪切和弯曲剪切。它们的应力分布规律不同。,一、纯剪切,1,、切应力的分布规律：,1),切应力的方向与剪力同向平行。,2),切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中性轴等距离的点切应力均相等。,3),切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为,二、弯曲剪切应力,2,、横截面上任一点处的剪应力计算公式,(,推导略,),为,F,S,横截面上的剪力,I,z,整个横截面对中性轴的惯性矩,S,*,Z,横截面上需求剪应力处的水平线,以外,(,以下或以上,),部分面积,A*(,如图）对,中性轴的静矩,b,需求剪应力处横截面的宽度,3,、矩形截面剪应力沿截面高度的分布按,二次抛物线规律分布。上下边缘处,剪应力为零，中性轴上剪应力最大。,2,、工字形截面梁的剪应力,腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物,线规律变化,4,、圆截面梁的最大剪应力,最大剪应力发生在中性轴上,最大剪应力发生在中性轴上，工字钢翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板,上承担绝大部分剪力。,【,任务完成,】,任务引领：一外伸,T,型钢梁，梁上荷载如图所示。已知,L,1,=6m;L,2,=2m F=20kN,，,q=10kN,m,，截面尺寸如图所示，试求梁最大剪应力。,解：,（,1),求危险截面内力,：,FSmax,=FB,左,=60KN,(2),计算截面性质,(3),剪应力计算,【,任务,5】,组合变形应力计算,任务驱动：所示的起重架，,14,号工字钢，,(,W,Z,=102cm,3,A=21.5cm,2,),横梁长,5m,自重,G,1,=10kN,起吊重物,G,2,=20KN,，,=30,0,;l,AD,=4m,。试求横梁最大正应力。,复习回顾：,.,四种基本变形计算,：,变形 轴向拉压 剪切 扭转 平面弯曲,A,外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶,内力 轴力,(,),剪力,(,Q,),扭矩,(,z,),剪力,(,Q,),弯矩,(,M,),应力,正应力,剪应力,剪应力 剪应力 正应力,计算公式,分布规律,一、组合变形,1,、组合变形：,受力构件产生的变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的。,斜弯曲,B,2m,1m,1.5m,P,A,C,拉伸（压缩）与弯曲组合,偏心拉伸（压缩）,2,、叠加原理及方法,：,1).,叠加原理：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。,2).,计算方法：,“,先分解，后叠加。,”,先分解,-,应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。,后叠加,-,将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。,危险点的确定：对于具有凸角又有两条对称轴,的截面（矩形、工字形）最大拉压应力在,D,1,、,D,2,点。且,+,max,=,-,max,二,.,斜弯曲变形计算,：,B,2m,1m,1.5m,P,A,C,三、弯压（拉）组合,：,C,A,B,P,Y,A,X,A,T,T,x,T,y,+,=,min,max,P,x,y,z,P,M,y,四、偏心拉伸（压缩）,外力与杆轴线平行但不重合，杆件产生轴向拉压与纯弯曲组合的变形,1),、单向偏心拉伸（压缩）,外力作用在截面的一条形心主轴上,单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也可能是压应力,.,2),、双向偏心拉伸（压缩）,（,1,）,.,外力分析,（,2,）,.,内力分析,（,3,）,.,应力计算,A,B,C,D,任务完成,：,所示的起重架，,14,号工字钢，,(,W,Z,=102cm,3,A=21.5cm,2,),横梁长,5m,自重,G,1,=10kN,起吊重物,G,2,=20KN,，,=30,0,;l,AD,=4m,。试求横梁最大正应力。,解,1,、计算横梁的外力，以,D,点为研究对象,X,A,=72.7kN,Y,A,=9kN ;T=42KN,2,、计算横梁的内力,M,max,=22.5kN ;F,N,=72.7KN,Y,A,X,A,B,A,D,T,G,2,G1,3,、计算横梁的最大应力,1,2,3,3,【,任务,6】,平面应力状态,一、应力状态,低碳钢拉伸试验,试验表明：,45,度方向的剪应力引起“滑移”产生屈服,铸铁扭转试验,试验表明：,45,度方向的拉应力引起断裂破坏,1,2,F,X,F,F,斜截面上的正应力,；,斜截面上的切应力,F,F,F,拉,(,压,),杆斜截面上的应力,横截面,-,是指垂直杆轴线方向的截面,；,斜截面,-,是指任意方位的截面。,及,均是角,的函数，,（,1,）当,=0,，即为横截面时，,（,2,）当,（,3,）当,即在平行与杆轴的纵向截面上无任何应力,轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成,45,0,截面上。,讨论,1,、应力状态的概念,引入：当危险点处既有正应力，又有切应力存在时，前述的强度条件就不再适用。强度条件如何建立？,需要分析危险点的应力状态，即,“,一点处的应力状态,”,，并在此基础上建立新的强度条件,一点处的应力状态：一点各个方向面上的应力情况的 总称。,单元体：围绕某点取出一个微小的正六面体。,y,x,z,2,、应力状态分类：,1.,三向应力状态,2.,平面应力状态,3.,纯剪应力状态,4.,单向应力状态,二 平面应力状态分析,（一）平面应力状态分析解析法,x,y,a,正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：,使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由,x,轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,n,t,x,q,q,s,x,-,cos,),cos,(,d,A,-,s,y,q,q=0,d,A,(,sin,),sin,t,yx,d,A,q,d,A,+,t,q,q,d,A,(,cos,),sin,xy,+,t,q,q,d,A,(,sin,),cos,yx,n,d,A,-,t,d,A,+,s,x,q,q,d,A,(,cos,),sin,+,t,xv,q,q,d,A,(,cos,),cos,-,s,y,q,q,d,A,(,sin,),cos,-,t,xy,q,q,d,A,(,sin,),sin,=0,力应面截斜,t,yx,d,A,q,x,d,A,(,主平面,(,(,)=0,),),(,确定两个主平面,0,、,0,+,/2,相互垂直,),极值剪应力方位：,(,确定两个极值剪应力面,1,、,1,+,/2,相互垂直,),主应力与主平面,主平面：在单元体内切应力等于零的面,主应力：主平面上的正应力。分别用,1,、,2,、,3,表示，且,1,2,3,主应力公式,切应力极值所在平面与主平面相差,45,主应力方位：,剪应力方位：,切应力极值,t,t,-,(,),2,4,2,1,2,t,0,0,0,s,3,+,-,+,=,=,0,s,3,t,s,1,t,纯剪实例,x,=0,Y,=0,x Y,=,q,0,p,0,-,-,=,2,2,tan,=,主平面,：,q,p,=,45,o,试求（,1,）,斜面上的应力；,（,2,）主应力、主平面；,（,3,）绘出主应力单元体。,例题一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（,1,）,斜面上的应力,（,2,）主应力、主平面,主平面的方位：,15.5,（二）平面应力状态分析的图解法,一、应力圆,应力圆：圆心坐标,半径为,应力圆的作法,选取,-,直角坐标系,;,按选定比例尺在,轴上量取,OB,1,=,x,轴上,B,1,D,1,=,x,得,D,1,点,;,量取,OB,2,=,y,B,2,D,2,=,y,得,D,2,点,;,连接,D,1,和,D,2,两点的直线交横,轴于,C,点,以C点为圆心,CD1或,CD2为半径作圆,即为该,单,元,体,所对应的应力圆.,2.,应力圆与单元体对应关系：,点面对应,转向对应,倍角对应,主应力的大小,：,A,1,、,A,2,两点的横坐标即代表主应力的大小,主平面的方位角,最大切应力,3.,主应力与最大切应力：,The End,路漫漫，其修远兮，,吾将上下而求索！,