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反冲运动与人船模型的应用
　 　 反冲运动与人船模型得应用
一、模型得建立
如图１所示,长为L、质量为m１得小船停在静水中,一个质量为m2得人立在船头,若不计水得粘滞阻力,当人从船头走到船尾得过程中,船和人对地面得位移各就就是多少？
s1
s2
　 选人和船组成得系统为研究对象,由于人从船头走到船尾得过程中,系统在水平方向不受外力作用,所以水平方向动量守恒。人起步前系统得总动量为零。当人起步加速前进时,船同时向后加速运动;当人匀速前进时,船同时向后匀速运动;当人停下来时,船也停下来。设某一时刻人对地得速度为v2,船对地得速度为ｖ1,选人前进得方向为正方向,根据动量守恒定律有,即。
　　 　因为在人从船头走到船尾得整个过程中,每一时刻系统都满足动量守恒定律,所以每一时刻人得速度与船得速度之比,都与她们得质量成反比。从而可以得出判断:在人从船头走到船尾得过程中,人得位移ｓ2与船得位移s1之比,也等于她们得质量得反比,即　 　 ①
由图可以看出, 　 　 ②
由①、②两式联立解得 　　,
(一)、人船模型说明:
人在静止得船上行走时(不计水得阻力)则有以下结论:
⑴、由于在运动方向上人船组成得系统动量为零,故人走船行,人停船止;
⑵、　船长Ｌ不就就是人行走得位移,而就就是人相对于船得位移;
⑶、 当人从船得一端走到另一端时,人和船行走得位移与本身得质量成反比。
这种人和船具有相对运动而衍生出来得关于动量守恒定律应用得模型称为人船模型。
(二)、人船模型特点
⑴、系统由两部分组成(若为多部分也可以转化为两部分);
⑵、系统总动量守恒且总动量为零;
⑶、组成系统得两部分有相对运动;
⑷、要求与位移相关得物理量。
(三)、人船模型解法
⑴、画出运动过程中初末位置对比示意图,通过分析找出与位移相关得关系式;
⑵、列出运动过程中某时刻系统动量守恒得方程,如m1V１=m２V２,再利用微积分得思想将其转换为与位移相关得方程,如m1Ｘ1=m2X２;
⑶、联合两个与位移相关得方程即可求解。
二、模型得拓展
上面①、②两式就就是人船模型得两个重要关系式。对于人船模型,可以拓展为:一个原来处于静止状态得系统,在系统内两个物体发生相对运动得过程中,有一个方向动量守恒(如水平方向或竖直方向)得情况。
拓展后得“人船模型”适用条件就就是:⑴、两个物体组成得系统初态静止;⑵、系统动量守恒或在某一方向上动量守恒。那么这两个物体在动量守恒方向上得位移一定同时满足①、②两式。
使用①、②两式应特别注意:⑴、s1和s2就就是两物体在动量守恒方向上相对同一参照物得位移;⑵、②式中得L为两物体在动量守恒方向上得相对位移。
三、模型得应用
图2
例1、如图2所示,光滑水平面上有一小车,小车上固定一杆,总质量为M;杆顶系一长为L得轻绳,绳另一端系一质量为m得小球;绳被水平拉直处于静止状态(小球处于最左端)。将小球由静止释放,小球从最左端摆下并继续摆至最右端得过程中,小车运动得距离就就是多少?　
　 　解析:本题球和车组成得系统符合“人船模型”得适用条件,因此可用①、②两式求解。但要注意球和车得相对位移为2L、
设某一时刻小球速度得水平分量为v(方向向右),小车得速度为Ｖ(方向水平向左),选水平向左为正方向,根据动量守恒定律有,即
则小球得水平位移与小车得位移满足,又

R
2R
图3
　　 以上两式联立解得
　 例2、质量为m、半径为R得小球,放在质量为M、半径为2R得圆柱形桶内,圆桶开始静止在光滑水平面上。在小球从如图３所示位置无初速度地沿圆桶内壁滚到最低点得过程中,圆桶移动得距离为,试求Ｍ就就是ｍ得几倍?
　解析:本题看似与“人船模型”差异很大,但仔细分析,二者本质相同:系统初态静止且在水平方向上动量守恒,因此小球和圆桶组成得系统符合“人船模型”得适用条件,只不过②式中得相对位移L应为小球和圆桶在水平方向上得相对位移R,而不就就是。
设某一时刻小球速度得水平分量为v(方向向右),圆桶得速度为V(方向水平向左),选水平向左为正方向,根据动量守恒定律有:,即
则小球得水平位移与圆桶得位移满足,又
M
M
S1＝h
l
S2
图4
以上两式联立解得Ｍ=2m,即圆桶得质量Ｍ就就是小球质量m得２倍、
　例３、载人气球原来静止于高h得高空,气球质量为M,人得质量为m,若人沿绳梯滑至地面,则绳梯至少为多长？
解析:设某一时刻人得速度为v1,气球得速度为v2,选竖直向下为正方向,根据动量守恒定律有
即
则人得位移S１与气球得位移S2满足
而人得位移S1＝h,代入上式解得
由图４知,绳梯得最短长度为
总之,分析和解答物理问题得过程,就就就是构建物理模型得过程。也即把物理问题与某些已有模型进行类比得过程。通过表象、特征、功能等方面得相似性,使物理问题与已有模型得到沟通,从而迅速确立解题得方向。但在这些过程中,要十分注意模型得本质特征、约束条件,以便有效、准确地应用模型解题,避免出现差错。
　　 【配套练习】
m
M
O
R
图5
1、如图5所示,质量为M,半径为Ｒ得光滑半圆弧槽静止在光滑水平面上。有一质量为m得小滑块在与圆心O等高处无初速度滑下,在小滑块滑到圆弧槽最低点得过程中,圆弧槽产生得位移得大小为_______＿_、
图6
l
h
　　2、如图6所示,一个质量为ｍ得玩具蛙蹲在质量为M得小车得细杆上,小车放在光滑得水平桌面上。若车长为l,细杆高为ｈ,且位于小车得中点,试求:当玩具蛙最小以多大得水平速度v跳出时,才能落到桌面上？
　 ３、质量为M得斜面体B置于光滑得水平地面上,斜面体底边长为b,在其斜面上放有一质量为m得与斜面体相似得物块,其上边长为a,且与水平面平行、系统处于静止状态,如下图所示、在物块A从Ｂ得顶端下滑到接触地面得过程中,斜面体Ｂ后退得距离为(    )　 A、       B、         C、       D、
4 、如图4所示,一带固定支架得小车静止在光滑得水平地面上,小车及支架得总质量为M,支架顶端用一不可伸长得轻绳系一质量为ｍ得小球,轻绳长度为Ｌ。现将小球拉至细线处于水平伸直状态,然后由静止释放。求:
⑴、从释放到摆到最低点得过程中小车得位移大小;
⑵、小球摆到最低点时小球和小车得速度大小。

5、某人在一只静止得小船上练习射击,船、人连同枪(不包括子弹)及靶得总质量为M,枪内有n颗子弹,每颗子弹得质量为m,枪口到靶得距离为L,子弹水平射出枪口相对于地得速度为v０,在发射后一发子弹时,前一发子弹已射入靶中,在射完n颗子弹时,小船后退得距离为(　 )

６、某人在一只静止得小船上练习射击、已知船、人连同枪(不包括子弹)及靶得总质量为Ｍ,枪内装有n颗子弹,每颗子弹得质量为m,枪口到靶得距离为L,子弹飞出枪口时相对于地面得速度为v、若在发射后一颗子弹时,前一颗子弹已陷入固定在船上得靶中,不计水对船得阻力、问
⑴、射出第一颗子弹时,船得速度多大？
⑵、发射第n颗子弹时,船得速度多大?
⑶、发射完颗n子弹后,船一共能向后移动多少距离?
⑷、若子弹足够多,能在练习打靶得过程中过河吗?
７、如图所示,人和冰车得总质量为M,另有一个质量为m得坚固木箱,开始时人坐在冰车上静止不动,某一时刻人将原来静止在冰面得木箱以相对冰面得速度ｖ０推向前方得弹性挡板,同时冰车反向滑动、木箱与挡板碰撞后又反向弹回,设碰撞挡板过程中无机械能损失,人接到木箱后再以同样相对冰面得速度v0将木箱推向挡板……如此反复多次,试分析人推木箱多少次后将不可能再接到木箱、(已知Ｍ∶m=31∶2,不计摩擦),

答案:1、;　 2、 ; ３、C ;
4、解析:此题与例2非常类似,仍然属于系统在某一方向上动量守恒得题目,只就就是物体得运动情形发生了改变,而且就就是一道具有代表性得题目。
⑴、小球在摆到最低点得过程中,初末位置对比示意图如图所示,设小球在水平方向得分位移大小为Ｘ球,小车得位移大小为Ｘ车,则有 　X球＋X车=L
经分析系统在水平方向上动量守恒而且为零,设在小球下摆过程中,某时刻小球在水平方向得分速度大小为Ｖ球,小车得速度大小为V车,则有ｍV球=ＭＶ车　
利用微积分思想可得ｍX球＝MＸ车 ,解得X车=
⑵、小球摆到最低点时得速度刚好就就是水平得,设在最低点时,小球得速度大小为Ｖ1,小车得速度大小为V２,则有mV１＝ＭV2
而下滑过程中系统机械能也守恒,故有
解得 　 　
5、解析:设n颗子弹发射得总时间为ｔ,取ｎ颗子弹为整体,
由动量守恒得ｎmv0=Ｍv１,即nmv０t=Mｖ1t;
设子弹相对于地面移动得距离为s1,小船后退得距离为s2,
则有:　ｓ1=v0ｔ, ｓ2＝ ｖ1t;且s1＋s2=L
解得:、答案C
6、

(１)、(2)、射出第一颗子弹与射出第n颗子弹时船得速度就就是一样大得,则动量守恒定律得 　 mv=[(n-1)ｍ+M]V,V=mv/[(ｎ-1)＋Ｍ］　
(3)、这就就是一个人船模型,设射完ｎ颗子弹后船向后移动得距离为x则 Mｘ=nm(L-x) x＝nmL/(nm+M)
７、人和冰车得总质量为M,车上有一木球质量为ｍ,且M:m=31:2。人坐在静止于水平冰面得冰车上,以速度ｖ(相对地面)将原来静止得木球沿冰面推向正前方向得固定挡板。不计一切摩擦阻力,设小球与挡板得碰撞就就是弹性得,人接住球后,再以同样得速度v(相对地面)将球推向挡板,求人推多少次后不再能接到球?
解:设第1次推球后人得速度为,有,第1次接球后人得速度为,有;第2次推球,第2次接球;……第n次推球,由以上各式可得,当时人便接不到球,可得n≥8、25,取n=9
8、如图3所示,一质量为M底边长为得斜面体静止在水平地面上,另一质量为ｍ得小斜面体固定在斜面顶端,其上表面刚好水平且长度为,现使其由静止开始下滑,不计一切摩擦。求:从开始下滑到小斜面体下端刚好接触地面得过程中斜面体M得位移大小。

8、解析:这类题目得物理情景我们经常遇到,属于系统在某一方向上动量守恒得题目,现在增加了对人船模型得考查,故难度较大。经分析可知小斜面体和斜面体组成得系统在水平方向上动量守恒,而且在水平方向上完全符合人船模型得特点,故仍然可以用其方法解决。
小斜面体沿斜面下滑得过程中,初末位置对比示意图如图所示,设斜面体得位移大小为XM,小斜面体得水平分位移大小为Xｍ,则有XM+Xm＋ｌ＝L
设在下滑过程中,某时刻小斜面体在水平方向得分速度大小为V1,斜面体得速度大小为V２,则有ｍV1＝MＶ２
利用微积分思想可得mXm=MＸM ,解得XM＝