数学分析(二)知识点总结.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,关于实数完备性的,6,个基本定理,1.,确界原理（定理,1.1,）；,2.,单调有界定理（定理,2.9,）,；,3.,区间套定理（定理,7.1,）；,4.,有限覆盖定理（定理,7.3,）,5.,聚点定理（定理,7.2,）,6.,柯西收敛准则（定理,2.10,）；,在实数系中这六个命题是相互等价的。,第七章,在有理数系中这六个命题不成立。,1.,确界原理,在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。,2.,单调有界定理,；,在实数系中，单调有界数列必有极限。,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。,3.,区间套定理,若,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点,所以区间套定理在有理数系不成立。,反例：,4.,有限覆盖定理,在实数系中，闭区间,a,b,的任一开覆盖,H,，必可从,H,中选出有限个开区间覆盖,a,b,。,反例：,5.,聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。,反例：,S,是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为,e,因而在有理数域没有聚点。,5.1,致密性定理：,在实数系中，有界数列必含有收敛子列。,反例：,其极限为无理数,e,从而任一子列均收敛于,e,。,故,x,n,在有理数域内没有收敛的子列。,6.,柯西收敛准则,反例：,即柯西收敛准则在有理数域不成立。,几个概念：,区间套（闭区间套），,聚点,（,3,个等价定义及其等价性的证明），,开覆盖（有限开覆盖）。,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不存在属于所有开区间的公共点。,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不能从中选出有限个开区间盖住（,0,，,1,）。,因为右端点始终为,1,，左端点有限个中必有一个最小者，,构成了开区间（,0,，,1,）的一个开覆盖，,积分法,原 函 数,选,择,u,有,效,方,法,基,本,积,分,表,第一换元法,第二换元法,直接,积分法,分部,积分法,不 定 积 分,几种特殊类型,函数的积分,第八章不定积分,一、主要内容,1,、原函数与不定积分的概念。,2,、不定积分,:(1),存在性,;(2),唯一性,;(3),如何求？,3,、不定积分运算与微分运算的互逆关系。,4,、积分表。,5,、,不定积分的计算：,（,1,）基本思想,化归为积分表中的积分；,（,2,）常用积分方法：,1,）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、,三角恒等变形）；,2,）线性运算；,3,）换元法：,第一类（凑分法）,不需要变换式可逆；,第二类,变换式必须可逆；,4,）分部积分法,常可用于两个不同类型函数乘积的积分；“对反幂三指，前者设为,u”,5,）三种特殊类型函数“程序化”的积分法。,注：检验积分结果正确与否的基本方法。,（,3,）求积分比求微分困难,1,）没有万能的积分法；,2,）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如,另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数,.,6,、基本积分表,是常数,),7,、凑微分常见类型,:,凑微分时常用到：,凑微分法就是设法把,一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。,三角代换,去掉如下二次根式：,可令,可令,可令,8,、常用代换,:,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令,x=t,n,（其中,n,为各根指数的最小公倍数）,当分母的阶,分子的阶时,可考虑试用,倒代换,：,一、主要内容,1,、定积分的定义,第九章 定积分,定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；,与积分变量记号的选择无关。,（,2,）利用牛顿,-,莱布尼兹公式。,2,、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：,3,、定积分的几何意义,面积的代数和。,4,、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值定理。,5,、定积分与不定积分的联系,（,1,）变上限积分的导数公式；,保号性、,（,2,）牛,-,莱公式。,（,3,）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。,所以可积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6,、可积条件,必要条件 若函数,f,在,a,b,上可积，则,f,在,a,b,上必定有界。,充要条件（,1,）函数,f,在,a,b,可积当且仅当：,使得属于,T,的所有小区间中，,充要条件（,2,）函数,f,在,a,b,可积当且仅当：,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7,、可积函数类,1,、在,a,b,上连续的函数在,a,b,可积。,2,、在,a,b,上只有有限个间断点的有界函数在,a,b,上可积。,3,、在,a,b,上单调的有界函数在,a,b,上可积。,（允许有无限多个间断点）,但并非可积函数只有这,3,类。如：黎曼函数不属于这,3,类的任何一类，但它是可积的。,在,a,b,上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在,a,b,可积。,8,、利用不定积分计算定积分,（,1,）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,一些特殊类型函数的积分。,（,2,）与不定积分法的差别,（,3,）利用对称性、周期性及几何意义。,牛,-,莱公式,积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。,（,4,）开偶次方时，要带绝对值。,9,、杂记,（,1,）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,（,2,）对,D,(,x,),和,R,(,x,),的可积问题多一些关注。,1,、微元法的理论依据,第,10,章,2,、名称释译,3,、所求量的特点,4,、解题步骤,平面图形的面积,直角坐标,参数方程,极坐标,弧微分,弧长,旋转体体积,旋转体侧面积,?,5,、定积分应用的常用公式,(1),平面图形的面积,直角坐标情形,上曲线减下曲线对,x,积分。,A,x,=,f,(,y,),（图,5,）,x,=,g,(,y,),右曲线减左曲线对,y,积分。,一般解题步骤：,（,1,）画草图，定结构；,（,2,）解必要的交点，定积分限；,（,3,）选择适当公式，求出面积（定积分）。,注意：答案永远为正。,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2),体积,x,y,o,平行截面面积为已知的立体的体积,）,）,(3),平面曲线的弧长,弧长,A,曲线弧为,弧长,B,曲线弧为,C,曲线弧为,弧长,(4),旋转体的侧面积,x,y,o,(5),变力所作的功,(6),液体压力,(7),引力,(8),函数的平均值,第,11,章,一、两类反常积分的概念,a,为任意常数,如果,a,b,都是瑕点，则定义,c,为,(,a,b,),内任一实数。,当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。,二、,计算方法,求正常积分,+,求极限；,三、两类反常积分的判敛方法,1,、,Cauchy,准则,2,、比较法则,通常取,p,-,积分为比较对象，且常用极限形式。,3,、,Dirichelet,判别法和,Abel,判别法,用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。,四、绝对收敛与条件收敛,定积分：,无穷积分：,瑕积分：,第,12,章,数项级数,正项级数,交错级数,一般项级数,收敛级数的基本性质：,3.,级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。,4.,收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；,5.,绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。,6.,收敛,级数与发散级数,的,和必为发散级数。,正项级数审敛法,1,、比较法（,u,n,为有理表达式时）；,2,、比式法（,u,n,含,n!,时）；,3,、根式法（,u,n,含,n,次方时）；,4,、积分法,(,）；,5,、拉贝法（,）；,交错级数审敛法,这是,Dirichelet,判别法的特殊情形。,一般项级数审敛法,1,、,Abel,判别法，,2,、,Dirichelet,判别法。,用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于,AB.,绝对收敛级数的性质,条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。,第,13,章,等价于下列,3,条之一：,好用！,典型例题：,I,I,的常用判定法：,等价于下列,3,条之一：,典型例题：,（,1,）优级数判别法,（,2,）,Abel,判别法,（,3,）,Dirichelet,判别法,的常用判定法：,D,D,一致收敛函数列的性质：,（,1,）,（,2,）,I,I,（,3,）,一致收敛函数项级数的性质,(1),(2),D,（,3,）,第,14,章,一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域,说明幂级数存在收敛半径。,收敛半径的求法：,（,1,）根式法，,（,2,）比式法，,这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。,幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。,二、幂级数的性质,（,1,）在收敛区间内闭一致收敛，,（,2,）和函数在收敛区间连续，,（,3,）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。,三、幂级数的求和,通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。,注意这个级数的各种变异。,记住下列幂级数的和函数：,四、函数展开成幂级数,如果,f,(,x,),能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是,f,(,x,),的泰勒级数。,1.,直接法,(,泰勒级数法,),步骤,:,2.,间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式,.,记住几个特殊函数的展开式：,注意收敛范围。,本章讨论了下面三类问题：,1,、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。,2,、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。,3,、函数展开成幂级数的条件及方法。,请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。（这是,P51.3,的结果）,逐项求导时，一般收敛域会减少。,如,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,第十五章,傅里叶级数的理论基础：,三角函数系的正交性,（,1,）它们的最小公共周期为,（,2,）任何两个不同的函数相乘在 上积分为,0,，,（,3,）任何一个函数的平方在 上积分不为,0,，,本章重点研究函数展成三角级数的方法。,如果,f,(,x,),能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是,f,(,x,),的傅里叶级数。,f,(,x,),的傅里叶系数,f,(,x,),的傅里叶级数,f,(,x,),的傅里叶系数,f,(,x,),的傅里叶级数,收敛定理,1,、,2,、,本章常见题型：,对,f,(,x,),作周期延拓，使之成为周期为,2,（,2,l,）的函数。,此时答案不唯一。,上述,2,、,3,类问题，均不需把延拓结果写出。,