数论--5年级1.ppt

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,#,P,o,w,e,r,B,a,r,中国专业,PPT,设计交流论坛,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,数论,主讲：徐保磊,什么,是,数学？,恩格斯：“数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。”,数学是一把打开科学大门的钥匙,数学是一种思维的工具,数学是一门创造性的艺术,华罗庚：,“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”,数学的特点？,高度抽象,概念抽象、方法抽象,无法用直观试验证明,体系严谨,系统严密、环环相扣,精确科学的典范,广泛运用,在理科中广泛运用,数字化是现代科学的发展趋势,数学有什么用？,生活实际,测量、绘图、统筹安排,分期付款、受益最大化,未来发展,近期：生活、学习安排,中期：学业规划、职业规划,远期：买房购车、投资理财,意志品质,坚强、勇迎挫折,逻辑思维、创新思维,追求真、善、美。,人类从学会计数开始就一直和,自然数,打交道了，由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中性数叫做,0,（但现在，自然数的概念包括了,0,），它们合起来叫做,整数,。,人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐步熟悉了整数的,特性。而,利用整数的一些基本性质，可以进一步探索更多趣味复杂的数学规律。这门学科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来整数论进一步发展，逐渐产生了新名词,数论。确切的说，数论就是一门,研究整数性质,的,学科。,数论是什么？,小学教学与初等数论关系密切（尤其体现在小学奥数中）最基本的问题包含：数的整除，余数问题，奇数与偶数，质数与,合数，因数与,倍数，完全平方,数等。,小学数学,接触的,“,部分初等数论,”,只是,“,数论,”,冰山一角，更不用相比数学，乃至科学世界了。而小学数论虽然浅显，但若思维不够活跃、知识储备不足,，将成为,一大难题。,数论,体系,整 除,相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。,最大公因数与最小公倍数,定义,：,整数,a,1,a,2,a,k,的公共倍数称为,a,1,a,2,a,k,的公倍数。,a,1,a,2,a,k,的正公倍数中的最小的一个叫,做,a,1,a,2,a,k,的最小公倍数，记为,a,1,a,2,a,k,.,质数 合数,质数：只有,1,和它本身做为它的因数。,合数：除了,1,和它本身，还有其它因数。,1,、带余除法的定义及性质,一般地，如果,a,是整数，,b,是整数（,b,0,）,若有,a,b=q,r,，也就是,a,b,q,r,0,r,b,；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：,(1),当,r=0,时：我们称,a,可以被,b,整除，,q,称为,a,除以,b,的商或完全商,(2),当,r,0,时：我们称,a,不可以被,b,整除，,q,称为,a,除以,b,的商或不完全商,余数问题,2,、余数定理,(1),可加性,：和的余数等于余数的和的余数,例如：,23,，,16,除以,5,的余数分别是,3,和,1,，,所以,23+16=39,除以,5,的余数等于,3+1=4,。,当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以,除数,的余数。,例如：,23,，,19,除以,5,的余数分别是,3,和,4,，所以,23+19=42,除以,5,的余数等于,3+4=7,除以,5,的余数，即,2.,2,、余数定理,（,2,）可,乘,性,：乘积的余数等于余数的乘积的余数,例如：,23,，,16,除以,5,的余数分别是,3,和,1,，,所以,23,16,除以,5,的余数等于,3,1=3,。,当余数的,乘积,比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以,除数,的余数。,例如：,23,，,19,除以,5,的余数分别是,3,和,4,，,所以,23,19,除以,5,的余数等于,3,4=12,除以,5,的余数，即,2.,3.,中国剩余定理,我们以孙子算经中的问题为例来分析：,“,今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二,。,问物几何？,”,例：,有,三张卡片，它们上面各写着数字,1,，,2,，,3,，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出,来,。,例：,有,三张卡片，它们上面各写着数字,1,，,2,，,3,，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来,1,位,1,、,2,、,3,2,位,12,、,13,、,21,、,23,、,31,、,32,3,位,123,、,132,1,、,2,、,3,12,、,13,、,21,、,23,、,31,、,32,例：,如果,把任意,n,个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么,n,是多少？,例：,如果,把任意,n,个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么,n,是多少？,2,个连续自然数相乘：,01,0,、,12,2,、,23,6,、,3,个连续自然数相乘：,012,0,、,123,6,、,234,4,例：,如果,把任意,n,个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么,n,是多少？,4,个连续自然数相乘：,0123,0,、,1234,4,、,2345,0,、,3456,0,、,4567,0,、,5678,0,、,6789,4,、,7890,0,、,8901,0,、,9012,0,5,个连续自然数相乘：,0123,4,0,、,1234,5,0,、,2345,6,0,、,例：,把,26,，,33,，,34,，,35,，,63,，,85,，,91,，,143,分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是,1,（两两互质），那么最少要分成多少组？怎么分？,例：,把,26,，,33,，,34,，,35,，,63,，,85,，,91,，,143,分成若干组，要求每一组中任意两个数的,最大公,因数,是,1,（两两互质），那么最少要分成多少组？怎么分？,分解质因数,26=213,，,33=311,，,34=217,，,35=57,，,63=337,，,85=517,，,91=713,，,143=1113,统计：,2,的倍数,2,个；,3,的倍数,2,个；,5,的倍数,2,个；,7,的倍数,3,个；,11,的倍数,2,个；,13,的倍数,3,个；,17,的倍数,2,个。,例：已知,2008,被一些自然数去除，所得的余数都是,10,，那么这样的自然数共有多少个？,例：已知,2008,被一些自然数去除，所得的余数都是,10,，那么这样的自然数共有多少个？,2008,10=1998,1998=2,37,1998,的因数：,1,、,2,、,3,、,6,、,9,、,18,、,、,999,、,1998,1998,因数的个数：,（,1+1,）,（,3+1,）,（,1,1,）,=16,（个）,例：,有,一串数：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前,2009,个数中，有几个是,5,的倍数？,例：,有,一串数：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前,2009,个数中，有几个是,5,的倍数？,除以,5,得到的余数列：,1,、,1,、,2,、,3,、,0,、,3,、,3,、,1,、,4,、,0,、,4,、,4,、,3,、,2,、,0,、,2,、,2,、,4,、,1,、,0,、,1,、,1,、,2,、,3,、,0,例：,一,个数减去,100,是一个平方数，减去,63,也是一个平方数，问这个数是多少？,例：,一,个数减去,100,是一个平方数，减去,63,也是一个平方数，问这个数是多少？,例：,把,一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是,45,，试求这样的两位数中最大的是多少？,例：,把,一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是,45,，试求这样的两位数中最大的是多少？,9,（,A-B,）,=45,A-B=5,例：,有,几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。,例：,有,几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。,（,1,、,3,、,5,、,7,）,不能被,3,整除。,（,1,、,3,、,5,、,9,）,个位为,5,即可,（,1,、,3,、,7,、,9,）,不能被,3,整除,（,1,、,5,、,7,、,9,）,不能被,9,整除,（,3,、,5,、,7,、,9,）,不能被,9,整除,例：,一,个,5,位数，它的,各,位,数字,之和为,43,，且能被,11,整除，求所有满足条件的,5,位数。,例：,一,个,5,位数，它的各数数字之和为,43,，且能被,11,整除，求所有满足条件的,5,位数。,设：奇数位数字之和为,A,，偶数位数字之和为,B,例：,有,12,张卡片，其中有三张上面写着,1,，三张写着,3,，三张写着,5,，三张写着,7,。问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为,20,？为什么？,例：,有,12,张卡片，其中有三张上面写着,1,，三张写着,3,，三张写着,5,，三张写着,7,。问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为,20,？为什么？,加减法运算结果的奇偶性,由,奇数的个数,决定,在一个圆圈上有几十个孔（不到,100,个）。小明像玩跳棋那样，从,A,孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到,A,孔。他先试着每隔,2,孔跳一步，结果只能跳到,B,孔。他又试着每隔,4,孔跳一步，也只能跳到,B,孔。最后他每隔,6,孔跳一步，正好跳回到,A,孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？,在一个圆圈上有几十个孔（不到,100,个）。小明像玩跳棋那样，从,A,孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到,A,孔。他先试着每隔,2,孔跳一步，结果只能跳到,B,孔。他又试着每隔,4,孔跳一步，也只能跳到,B,孔。最后他每隔,6,孔跳一步，正好跳回到,A,孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？,A,是,3,的倍数多,1,A,是,5,的倍数多,1,A,是,7,的倍数,试,将,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,分别填入图中的方框中，每个数字只用一次：使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好，它是,714,。,互为反序的两个自然数的积是,92565,，求这两个互为反序的自然数。（例如,102,和,201,，,35,和,53,，,11,和,11,，,称为互为反序的数，但是,120,和,21,不是互为反序的数）,例：有,4,个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是,2,的倍数，任意,3,个数的和是,3,的倍数。为了使这,4,个数的和尽可能小，这,4,个数分别是多少？,例：有,4,个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是,2,的倍数，任意,3,个数的和是,3,的倍数。为了使这,4,个数的和尽可能小，这,4,个数分别是多少？,任意两个数的和是,2,的倍数,每个数除以,2,的余数相同,任意,3,个数的和是,3,的倍数,每个数除以,3,的余数相同,例：将自然数,N,写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数能被,N,整除，那么,N,称为“魔术数”。问：小于,2012,的自然数中有多少个“魔术数”？,例：将自然数,N,写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数能被,N,整除，那么,N,称为“魔术数”。问：小于,2012,的自然数中有多少个“魔术数”？,N,为,1,位数,10,N,可以是,1,、,2,、,5,N,为,2,位数,100,N,可以是,10,、,20,、,25,、,50,N,为,3,位数,1000,N,可以是,100,、,125,、,200,、,250,、,500,N,为,4,位数,10000,N,可以是,1000,、,1250,、,2000,例：狐狸,和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次,跳,4.5,米,，黄鼠狼每次,跳,2.75,米,，它们每秒钟都只跳一,次。比赛,途中，从起点开始每,隔,12.375,米,设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米,?,例：狐狸,和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次,跳,4.5,米,，黄鼠狼每次,跳,2.75,米,，它们每秒钟都只跳一,次。比赛,途中，从起点开始每,隔,12.375,米,设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米,?,4.5,米,=4500,毫米,2.75,米,=2750,毫米,12.375,米,=12375,毫米,4500,，,12375=49500 ,2750,12375=,24750,495004500=11,（秒）,247502750=9,（秒）,例：,有,三个数字能组成,6,个不同的三位数，这,6,个三位数的和是,2886,，求所有这样的,6,个三位数中最小的三位数,例：,有,三个数字能组成,6,个不同的三位数，这,6,个三位数的和是,2886,，求所有这样的,6,个三位数中最小的三位数,=222(a+b+c),a+b+c=13,例：,有,一个魔术钱币机，当塞入一枚,1,分硬币时，退出一枚,1,角和一枚,5,分硬币；当塞入一枚,5,分硬币时，退出四枚,1,角硬币；当塞入一枚,1,角硬币时，退出三枚,1,分硬币。小红由一枚,1,分硬币和一枚,5,分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中,1,分的硬币刚好比,1,角硬币少,10,枚？,例：,有,一个魔术钱币机，当塞入一枚,1,分硬币时，退出一枚,1,角和一枚,5,分硬币；当塞入一枚,5,分硬币时，退出四枚,1,角硬币；当塞入一枚,1,角硬币时，退出三枚,1,分硬币。小红由一枚,1,分硬币和一枚,5,分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中,1,分的硬币刚好比,1,角硬币少,10,枚？,初始：,1,分和,1,角相差,1,枚（奇数枚）,过程,（,1,）投入,1,分：,1,分减少,1,枚，,1,角增加,1,枚。差改变,2,。,（,2,）投入,5,分：,1,分不变，,1,角增加,4,枚。差改变,4,。,（,3,）投入,1,角：,1,分增加,3,枚，,1,角减少,1,枚。差改变,4,。,结果：,1,分和,1,角相差永远为奇数枚。,例：,有,一个整数，用它去除,70,，,110,，,160,所得到的,3,个余数之和是,50,，那么这个整数,是,多少？,例：,有,一个整数，用它去除,70,，,110,，,160,所得到的,3,个余数之和是,50,，那么这个整数,是,多少？,70+110+160,50=290,290=2529,290,的因数：,1,、,2,、,5,、,10,、,29,、,58,、,145,、,290,例：一,个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是,3,的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是,100,，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁,?,例：一,个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是,3,的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是,100,，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁,?,小于,100,的质数：,2,、,3,、,5,、,7,、,11,、,13,、,17,、,19,、,23,、,29,、,31,、,37,、,41,、,43,、,47,、,53,、,59,、,61,、,67,、,71,、,73,、,79,、,83,、,89,、,97,2,、,0,、,2,、,1,、,2,、,1,、,2,、,1,、,2,、,2,、,、,1,、,2,、,1,、,2,、,2,、,2,、,1,、,1,、,1,、,1,、,2,、,2,、,1,例：一,个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是,3,的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是,100,，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁,?,小于,100,，除以,3,余,1,的质数：,7,、,13,、,19,、,31,、,37,、,43,、,61,、,67,、,73,、,79,、,97,小于,100,，除以,3,余,1,的质数：,7,、,13,、,19,、,31,、,37,、,43,、,61,、,67,、,73,、,79,、,97,7,、,13,、,19,、,31,、,37,、,43,、,61,、,67,、,73,、,79,、,97,例：,有,一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成,10,等份；第二种将木棍分成,12,等份；第三种将木棍分成,15,等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？,例：,有,一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成,10,等份；第二种将木棍分成,12,等份；第三种将木棍分成,15,等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？,0,，,4,，,5,，,6,，,8,，,10,，,12,，,15,，,16,，,18,，,20,，,24,，,25,，,28,，,30,，,32,，,35,，,36,，,40,，,42,，,44,，,45,，,48,，,50,，,52,，,54,，,55,，,56,，,60,例：,两,数相除，商,4,余,8,，被除数、除数、商数、余数四数之和等于,415,，则被除数,是,多少？,例：,两,数相除，商,4,余,8,，被除数、除数、商数、余数四数之和等于,415,，则被除数,是,多少？,转化为：,被除数、除数的和为,403,，被除数是除数的,4,倍多,8,。求被除数是多少？,