湖北省百校大联盟2018届高三10月联考理数(详细答案版).docx

湖北省百校大联盟2018届高三10月联考理数

一、选择题：共12题
1．已知集合A={1,a},B={x|x2-5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠ϕ,则a等于
A.2 B.3 C.2或3 D.2或4
【答案】C
【解析】本题主要考查集合的基本运算.B=x1<x<4,x∈Z={2,3},因为A∩B≠ϕ,所以a=2或3

2．已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)且cosθ=1010x,则x等于
A.-1 B.-13 C.-3 D.-223
【答案】A
【解析】本题主要考查任意角的三角函数.因为角θ的终边经过点Px,3x<0,所以角θ是第二象限的角,因为cosθ=1010x=xx2+9,求解可得x=-1

3．已知函数f(x+1)=2x+1x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】A
【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的解析式的求法,考查了换元法示解析式.f(x+1)=2x+1-1x+1,则fx=2x-1x=2-1x,f(x)=1x2,则f(1)=1,故答案为A.

4．为得到函数y=-sin2x的图象,可将函数y=sin(2x-π3)的图象
A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位 C.向右平移π3个单位 D.向右平移2π3个单位
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式.y=-sin2x=sin(2x-π)=sin2(x-π2),y=sin2x-π3=sin2(x-π6),所以,可将函数y=sin(2x-π3)的图象向右平移π2-π6=π3个单位可得到数y=-sin2x的图象,故答案为C.

5．“b≤1ee1xdx”是“函数f(x)=|x|+2,x>03x+b,x≤0是在R上的单调函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、函数的性质、定积分，考查了逻辑推理能力.1ee1xdx=lnx|1ee=2，则b≤2，令b=2，显然函数f(x)=|x|+2,x>03x+b,x≤0在R上的不是单调函数，即充分性不成立；若函数f(x)=|x|+2,x>03x+b,x≤0是在R上的单调函数，所以1+b≤2,即b≤1≤2,即必要性成立，故答案为B.

6．sin3,sin1.5,cos8.5的大小关系为
A.sin1.5<sin3<cos8.5 B.cos8.5<sin3<sin1.5
C.sin1.5<cos8.5<sin3 D.cos8.5<sin1.5<sin3
【答案】B
【解析】本题主要考查三角函数的性质、诱导公式，考查了逻辑推理能力.sin3=sinπ-3>0，cos8.5=cos8.5-2π=sin5π2-8.5<0，sin1.5>0,又因为y=sinx在(0,π2)上是增函数，且0<π-3<1.5<π2,所以cos8.5<sin3<sin1.5

7．已知命题p:对任意x∈(0,+∞),log4x<log8x,命题q:存在x∈R,使得tanx=1-3x,则下列命题为真命题的是
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
【答案】D
【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.令x=64，则log4x=3<log8x=2不成立，则命题p是假命题，¬p是真命题；令x=0，则tanx=0=1-3x，故命题q是真命题，¬q是假命题，因此(¬p)∧q是真命题

8．函数y=x2ln|x||x|的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力.f-x=x2lnxx=f(x),偶函数，故排除B；当x>1时,y>0, 故排除A；原函数可化为y=|x|ln|x|，当x→0时，y→0，故排除C，则答案为D.

9．若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x=π12对称,且当x1,x2∈(-7π12,-2π3),x1≠x2时,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=
A.2 B.22 C.62 D.24
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x=π12对称,所以fπ12=2sinπ6+φ=±1,且|φ|<π2,所以φ=π3,所以函数f(x)的对称轴x=kπ2+π12,k∈Z,所以,当k=-1时,函数的一条对称轴为x=-5π12,因为当x1,x2∈(-7π12,-2π3),x1≠x2时,f(x1)=f(x2),所以x1+x2=-5π6,所以fx1+x2=f-5π6=2sin2-5π6+π3=62

10．4sin800-cos100sin100=
A.3 B.-3 C.2 D.22-3
【答案】B
【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查了转化思想与计算能力.
4sin800-cos100sin100=4cos100sin10°-cos100sin100=2sin20°-cos100sin100=2sin30°-10°-cos10°sin10°=2sin30°cos10°-cos30°sin10°-cos10°sin10°=-3

11．设函数f(x)=1-x+1,g(x)=ln(ax2-3x+1),若对任意x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2),则实数a的最大值为
A.94 B.2 C.92 D.4
【答案】A
【解析】本题主要考查对数函数、函数的定义域与值域,考查了转化思想与逻辑推理能力.设hx=ax2-3x+1的值域为A,因为对任意x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2),且f(x)的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A,所以hx要取遍(0,1]中的每一个数,又h0=1,所以实数a需要满足a≤0或a>0∆=9-4a≥0,解得a≤94,故答案为A.

12．若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是
A.(-∞,0) B.(0,32e]
C.[32e,+∞) D.-∞,0∪32e,+∞
【答案】D
【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.因为两个正实数x,y,3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0，所以3+a(2yx-4e)lnyx=0，令yx=t,t>0,t≠1,t≠2e,则1a=232e-tlnt,令ft=2e-tlnt,ft=2et-1-lnt=0,则t=e，所以ft>0时，0<t<e;ft<0时，t>e,所以ft≤fe=e,且ft≠0，所以0<1a≤23e或1a<0,解得a<0或a≥32e,故答案为D.

二、填空题：共4题
13．命题“若x≥1,则x2-4x+2≥-1”的否命题为           ．
【答案】若x<1,则x2-4x+2<-1
【解析】本题主要考查四种命题.由否命题的定义可知，答案：若x<1,则x2-4x+2<-1

14．已知集合A={(x,y)|x,y∈R,x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,y=4x2-1},则A∩B的元素个数是           ．
【答案】3
【解析】本题主要考查集合的基本运算,考查了计算能力.A∩B表示x2+y2=1与y=4x2-1的交点坐标组成的集合,解方程组y=4x2-1x2+y2=1可得x=0y=-1或x=74y=34或x=-74y=34,所以A∩B的元素个数是3.

15．若tan(α+π4)=sin2α+cos2α,α∈(π2,π),则tan(π-α)=           ．
【答案】3
【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查转化思想与计算能力.由tan(α+π4)=sin2α+cos2α可得tanα+11-tanα=2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tanα+1tan2α+1，又因为α∈(π2,π),所以tanα=-3，则tanπ-α=-tanα=3
【备注】cos2α

16．设函数f(x)对任意实数x满足f(x)=-f(x+1),且当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),若关于x的方程f(x)=kx有3个不同的实数根,则k的取值范围是           ．
【答案】(5-26,1)∪{-3+22}
【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质、函数与方程，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.因为f(x)=-f(x+1),所以fx+2=-fx+1=f(x),则函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，因为当0≤x≤1时，f(x)=x(1-x),所以当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1，fx=-fx+1=x(x+1)，作出函数f(x)的图像，如图所示，根据数形结合，当直线y=kx与曲线f(x)在一三象限第一次相切时，由于曲线f(x)的对称性，考虑第一象限即可，对f(x)=x(1-x)(0≤x≤1)求导，fx=1-2x，此时有1-2x=k-2x2+x=-x2+x,则x=0，k=1，此时切点恰好在原点，即两图像恰好只有一个交点，第二次相切时，切点在fx=-x2+5x-6(2≤x≤3)上，fx=5-2x，此时有-2x2+5x=-x2+5x-6，则x=6，k=-26+5,所以当-26+5<k<1时,直线y=kx与曲线f(x)有三个交点；当直线y=kx与曲线f(x)在二四象限相切时,由于曲线f(x)的对称性考虑第二象限即可,此时切点在fx=-x2-3x-2(-2≤x≤-1)上，fx=-2x-3,有-2x2-3x=-x2-3x-2，则x=-2，k=-3+22，此时直线与曲线惟有三个交点，综上，答案为：(5-26,1)∪{-3+22}

三、解答题：共6题
17．已知函数f(x)=log0.3(4x-1)的定义域为A,m>0,函数g(x)=4x-1(0<x≤m)的值域为B.
(1)当m=1时,求(CRA)∩B；
(2)是否存在实数m,使得A=B？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由.
【答案】(1)由4x-1>0log0.3(4x-1)≥0,解得：14<x≤12,即A=(14,12].
当m=1时,因为0<x≤1,所以14<4x-1≤1,即B=(14,1],
所以(CRA)∩B=(12,1].
(2)因为B=(14,4m-1],若存在实数m,使A=B,则必有4m-1=12,解得m=12,
故存在实数m=12,使得A=B.
【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质、集合的基本运算，考查了逻辑推理能力.(1)利用对数函数与指数函数的性质求出A=(14,12]，B=(14,1],再利用补集与交集的定义求解即可；(2)B=(14,4m-1],由题意可得4m-1=12,则结论易得.

18．设α∈(0,π3),满足6sinα+2cosα=3.
(1)求cos(α+π6)的值;
(2)求cos(2α+π12)的值.
【答案】(1)∵6sinα+2cosα=3,∴sin(α+π6)=64,
∵α∈(0,π3),∴α+π6∈(π6,π2),∴sin(α+π6)=104
(1)∵6sinα+2cosα=3,∴sin(α+π6)=64,
(2)由(1)可得:cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=2×(104)2-1=14,
∵α∈(0,π3),∴2α+π3∈(π3,π),∴sin(2α+π3)=154.
∴cos(2α+π12)=cos[(2α+π3)-π4]=cos(2α+π3)cosπ4+sin(2α+π3)sinπ4=30+28.
【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系、两角和与差公式、二倍角公式的应用,考查了拼凑法、逻辑推理能力.(1)由已知,利用两角和的正弦公式求出sin(α+π6)=64,利用范围,即可求出结果;(2)先利用二倍角公式求出cos(2α+π3),再拼凑可得cos(2α+π12)=cos[(2α+π3)-π4],则易得结果.

19．设p:实数a满足不等式3a≤9,q:函数f(x)=13x3+3(3-a)2x2+9x无极值点.
(1)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知“p∧q”为真命题,并记为r,且t:a2-(2m+12)a+m(m+12)>0,若r是¬t的必要不充分条件,求正整数m的值.
【答案】由3a≤9,得a≤2,即p:a≤2.
∵函数f(x)无极值点,∴f'(x)≥0恒成立,得Δ=9(3-a)2-4×9≤0,解得1≤a≤5,
即q:1≤a≤5.
(1)∵“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,∴p与q只有一个命题是真命题,
若p为真命题,q为假命题,则a≤2a<1或a>5⇒a<1;
若q为真命题,p为假命题,则a>21≤a≤5⇒2<a≤5.
于是,实数a的取值范围为{a|a<1或2<a≤5}.
(2)∵“p∧q”为真命题,∴a≤21≤a≤5⇒1≤a≤2.
又a2-(2m+12)a+m(m+12)>0,
∴(a-m)[a-(m+12)]>0,
∴a<m或a>m+12,
即t:a<m或a>m+12,从而¬t:m≤a≤m+12.
∵r是¬t的必要不充分条件,即¬t是r的充分不必要条件,
∴m≥1m+12≤2,解得1≤m≤32.
∵m∈N*,∴m=1.
【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、充分条件与必要条件、导数与函数的性质,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)p:a≤2;由题意易知f'(x)≥0恒成立,即可求出q:1≤a≤5;易知p与q只有一个命题是真命题,则a≤2a<1或a>5或a>21≤a≤5,求解可得结论;(2)易得r:1≤a≤2,t:a<m或a>m+12,由r是¬t的必要不充分条件,可知{a|m≤a≤m+12}是{a|1≤a≤2}的真子集,则结论易得.

20．已知函数f(x)=sin(5π6-2x)-2sin(x-π4)cos(x+3π4).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈[π12,π3],且F(x)=-4λf(x)-cos(4x-π3)的最小值是-32,求实数λ的值.
【答案】(1)∵f(x)=sin(5π6-2x)-2sin(x-π4)cos(x+3π4)
=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x
=12cos2x+32sin2x-cos2x
=sin(2x-π6)
∴T=2π2=π,
由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈ZZ,
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-π6,kπ+π3],k∈Z.
(2)F(x)=-4λf(x)-cos(4x-π3)
=-4λsin(2x-π6)-[1-2sin2(2x-π6)]
=2sin2(2x-π6)-4λsin(2x-π6)-1
=2[sin(2x-π6)-λ]2-1-2λ2
∵x∈[π12,π3],∴0≤2x-π6≤π2,0≤sin(2x-π6)≤1,
①当λ <0时,当且仅当sin(2x-π6)=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时,当且仅当sin(2x-π6)=λ时,f(x)取最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-32,
解得λ=12；
③当λ >1时,当且仅当sin(2x-π6)=1时,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-32,解得λ=58,
这与λ>1相矛盾.
综上所述,λ=12.
【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)化简f(x)=
sin(2x-π6)，再根据正弦函数的周期性与单调性求解即可；(2)化简可得F(x)=2[sin(2x-π6)-λ]2-1-2λ2，由正弦函数性质，结合二次函数的性质，分𝜆<0、𝜆>1、0≤λ≤1三种情况讨论求解即可.

21．已知函数f(x)=ax+xa-(a-1a)lnx(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当a∈[12,2]时,函数f(x)没有零点(提示：ln2≈0.69).
【答案】(1)因为f(x)=ax+xa-(a-1a)lnx=1a[x+a2x-(a2-1)lnx],
所以f'(x)=(x+1)(x-a2)ax2
因为x>0,所以当x∈(0,a2)时,f'(x)<0,当x∈(a2,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)的单调增区间为(a2,+∞),单调减区间为(0,a2).
当x=a2时,f(x)取得极小值f(a2)=1a[a2+1-(a2-1)lna2]
(2)由(1)可知,当x=a2时,f(x)取得极小值,亦即最小值.
f(a2)=1a[a2+1-(a2-1)lna2],又因为12≤a≤2,所以14≤a2≤4,
设g(x)=x+1-(x-1)lnx,(14≤x≤4),则g'(x)=1x-lnx,
因为g'(x)在[14,4]上单调递减,且g'(1)>0,g'(2)<0,
所以g'(x)有唯一的零点m∈(1,2),使得g(x)在[14,m)上单调递增,在(m,4]上单调递减,
又由于g(14)=5-6ln24>0,g(4)=5-6ln2>0,
所以g(x)>0恒成立,从而f(a2)=1a[a2+1-(a2-1)lna2]>0恒成立,则f(x)>0恒成立,
所以当a∈[12,2]时,函数f(x)没有零点.
【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了转化思想、逻辑推理能力是以计算能力.(1)f'(x)=(x+1)(x-a2)ax2，根据题意，易得函数的单调性与极值；(2) 由(1)可知,当x=a2时,f(x)取得极小值,亦即最小值，f(a2)=1a[a2+1-(a2-1)lna2],14≤a2≤4, 设g(x)=x+1-(x-1)lnx,(14≤x≤4),求导并判断函数g(x)最小值的符号，即可得出结论.

22．已知函数f(x)=aex+blnxx (a,b∈R且a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,且f(x)有极大值,求实数a的取值范围；
(2)若a=b=1,试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以在证明.(提示：e34>169,e23<94)
【答案】(1)∵f'(x)=(aex+bx)x-(aex+blnx)x2,∴f'(1)=b=0,
∴f'(x)=aex(x-1)x2.
当a>0时,由f'(x)>0得x>1；由f'(x)<0得0<x<1.
故f(x)只有极小值,不合题意.
当a<0时,由f'(x)>0得0<x<1；由f'(x)<0得x>1.
故f(x)在x=1处取得极大值,所以实数a的取值范围为(-∞,0).
(2)当a=b=1时,f(x)=ex+lnxx,则f'(x)=ex(x-1)+1-lnxx2,
设g(x)=ex(x-1)+1-lnx,则g'(x)=x(ex-1x2),
设g'(m)=0,∵e34>169,e23<94,且y=ex-1x2在x∈(0,+∞)上递增,∴23<m<34.
不难得知,g(x)≥g(m).
∵em=1m2,∴m=-2lnm,∴g(m)=1m2(m-1)+1+m2=m3+2m2+2m-22m2,
∵(m3+2m2+2m-2)'=3m2+4m+2>0恒成立,∴φ(m)=m3+2m2+2m-2递增.
∴φ(m)>φ(23)=1427>0,∴g(m)>0,∴g(x)>0,从而f'(x)>0.
故f(x)在(0,+∞)上递增.
【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，f'(1)=b=0，f'(x)=aex(x-1)x2，分a>0、a<0两种情况讨论函数的单调性，根据函数有极大值求解即可；(2)f'(x)=ex(x-1)+1-lnxx2, 设g(x)=ex(x-1)+1-lnx,则g'(x)=x(ex-1x2),根据g'(x)的单调性与零点，判断函数f(x)的单调性即可.