密云三中初三月考试卷初三数学四月月考及答案.docx

密云三中初三月考试卷
数学
2016年5月
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（　　）
A 3.84×104千米 B 3.84×105千米 C 3.84×106千米 D 38.4×104千米

2.如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（　　）

A B CD

3.如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（　　）

A B C 3 D 5
4.如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）
A B C D
5. 如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）
A 50° B 45° C 35° D 30°

6. 如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；
②AC平分∠BAD；
③AC=BD；
④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有（　　）
A ①②③ B ①③④ C ①②④ D ②③④
7. 在某捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下，
金额（元/人）
20
30
40
50
100
学生数（人）
3
17
5
12
3
则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（　　）
A 30 B 40 C 35 D 45

8.小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报纸后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（　　）
A 小明看报用时8分钟
B 公共阅报栏距小明家200米
C 小明离家最远的距离为400米
D 小明从出发到回家共用时16分钟

9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）
A B 4 C D 8
10. 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）

A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 分解因式：m3﹣4m=．
12．已知是方程的解，则a=　　．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数，使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为　．
14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则AB′的长为．

15．在四边形ABCD中，已知AB=CD，请补充一个条件　　，使得四边形ABCD是平行四边形．

16.小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：

人数
平均身高（单位厘米）
方差
男生
15
175
36
女生
15
165
16

则全班所有同学身高的方差为．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算：．
18.解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．
19．实数x满足，求代数式的值．

20．如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．

21．已知关于x的方程
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但购进单价贵了4元，结果第二批用了6300元．第二批书包的购进单价是多少？

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．

24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：

请根据以上信息，回答以下问题：
（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了　　分钟；
（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为　　亿（结果精确到0.1）；
（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达　　亿．

25．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A，C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．
（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．

26.在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；
探索创新：
（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意正数，均有

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线关于y轴对称，且经过点.
（1）求m，n的值；
（2）直线经过点且与轴垂直，点是抛物线上一动点，记到直线的距离为，试探索与线段长度的数量关系，并证明；
（3）若，点是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出的最小值，以及取得最小值时点的坐标.

28. 在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．
（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；
（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．

29. 若y是关于x的函数，H是常数（），若对于此函数图象上的任意两点，，都有，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数的最小值，称为该函数的界高.
例如，下图所表示的函数的界高为4.
（1）若函数的界高为4，求的值；
（2）已知，若函数的界高为4，求实数的取值范围；
（3）已知，函数的界高为，求的值．

一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
D
C
C
A
C
D
二、填空题：
11. m（m+2）（m﹣2）
12.
13. 都可以
14. 2
15. 答案不唯一如AB=CD，AD∥BC都可以
16.51

三、
17.
18.
19. 原式=
20. 证明：AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABE，
∵BF=CE，
∴BF﹣EF=CE﹣EF，即CF=BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF．

21.（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

22.设第一批购进书包的单价是x元．
则：×3=．
解得：x=80．
经检验：x=80是原方程的根．
∴第二批书包的购进单价是80+4=84元
答：第二批书包的购进单价是84元

23.（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；

（2）∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．

24.（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7﹣3.0=6.7分钟；
（2）偶尔使用所占的百分比为1﹣13%﹣7.4%﹣13%﹣24.2%=43.4%；
我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿
（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，
故答案为：6.7，1.5，8.64．

25．（1）猜想：BC∥OP，
证明：连接OC，
∵PA、PC与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OC⊥PC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
在Rt△PAO和Rt△PCO中

∴Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠AOP=∠COP=∠AOC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，
∴∠OCB=∠OBC=∠AOC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴BC∥OP；

（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO==，
作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=BC，
∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，
∴△OAP∽△BEO，
∴=，
即=，
解得：BC=，
由（1）知BC∥OP，
∴△DCB∽△DPO，
∴=，即=，
∴BD=．

26.
参考答案：（1）；
（2）构图如图2；（3）构图如图3

在边长为的正方形中，，，，，
；
∵ ，
∴ .

27.解：（Ⅰ）∵抛物线关于轴对称，
∴ ；
∵ 抛物线经过点，
∴ ，解得 ，
∴ 抛物线的表达式为.
（Ⅱ）设，
点到直线的距离.

.
因此，.
（Ⅲ）的最小值为5，此时点.
28. 在正方形中，点是边上一动点（不包含端点），线段的垂直平分线交分别于点.
（Ⅰ）若，，求线段的长度；
（Ⅱ）求证：.

解：（Ⅰ）过点于，
在正方形中，，
∴四边形为矩形，
∴ ，，.
∵，
∴ .
∵，
∴△≌△，
∴ .
（Ⅱ）过点作于，作于，
显然有.
∵ 是正方形的对角线，
∴ 是的平分线，
∴ .
∵ 点在线段的中垂线上，
∴ ，
∴ △≌△，
∴ ，
∴ ，
∴ △为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ .

方法二：
(Ⅱ) 在线段上取一点，使得，连接交于点.
∵线段与线段互相平分，
∴ 四边形为菱形，
∴ ，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵ ，，
∴ △≌△，
∴ ，
∴ .

29.
解：（Ⅰ）当时，根据一次函数图像，可知
，解得.
当时，根据函数图像，可知
，解得.
当时，界高为0，不符合题意.
（Ⅱ）当时，；
当，函数的界高为，不符合题意；
当，函数的最大值为4，最小值为0，界高4，符合题意.
当时，函数的界高为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
（Ⅲ），对称轴为.
当时，根据函数图像，可得该函数的最大值为，最小值 为，
∴，
整理得：，解得或（舍）.
当时，根据函数图像，可得该函数的最大值为，最小值为 ，
∴，解得：（舍）.
综上所述，.

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