河南省驻马店经济开发区高级中学2025年高三数学第一学期期末达标检测试题.doc

河南省驻马店经济开发区高级中学2025年高三数学第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C． D．
3．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ）
A．∥ B．∥
C．∥∥ D．
4．二项式展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( )
A．， B．，
C．， D．，
6．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．+1
9．（　　）
A． B． C． D．
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．
12．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为矩形的对角线的交点，现从这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为________.
14．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
15．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
16．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知；.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：
（2）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.
19．（12分）已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：

戴口罩
不戴口罩
青年人
50
10
中老年人
20
20
（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

21．（12分）如图，在三棱柱中， 平面ABC.

（1）证明：平面平面
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．
【详解】
解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
若函数在区间，上单调递增，
在区间，上，，，
则当最大时，，求得，
故选：C．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
2．A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
3．D
【解析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；
对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；
对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；
对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.
故选：D.
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
4．D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选：D
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
5．C
【解析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.
【详解】
表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.
表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.
故选：C
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
6．D
【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，
该金字塔的侧棱长为，
所以需要灯带的总长度约为，故选D．
7．A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：
本题正确选项：
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8．B
【解析】
以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.
【详解】
解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，
联立，取第一象限的解得，
即，则，
整理得，
则（舍去），，
.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
9．B
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
．
故选B．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：

则该四棱锥的体积为.
故选：B.
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
11．C
【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：

故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
12．D
【解析】
设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，
写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.
【详解】
设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：

又∵
∴
故选：D
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
基本事件总数，这3个点共线的情况有两种和，由此能求出这3个点不共线的概率．
【详解】
解：为矩形的对角线的交点，
现从，，，，这5个点中任选3个点，
基本事件总数，
这3个点共线的情况有两种和，
这3个点不共线的概率为．
故答案为：．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14．2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又

本题正确结果：
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
15．
【解析】
不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.
【详解】
不妨设双曲线，
焦点，对称轴，
由题设知，
因为的长为实轴的二倍，
，
，
，故答案为.
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
16．
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） （2）或
【解析】
（1）根据为真命题列出不等式，进而求得实数的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
【详解】
（1），
且，
解得
所以当为真命题时，实数的取值范围是.
（2）由，可得，
又∵当时，，
.
∵当为真命题，且为假命题时，
∴与的真假性相同，
当假假时，有，解得；
当真真时，有，解得；
故当为真命题且为假命题时，可得或.
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）求导.根据单调，转化为对恒成立求解
（2）由（1）知，是的两个根，不妨设，令. 根据，确定，将转化为. 令，用导数法研究其单调性求最值.
【详解】
（1）的定义域为，
.
因为单调，所以对恒成立，
所以，恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
所以；
（2）由（1）知，是的两个根.
从而，，不妨设，
则.
因为，所以t为关于a的减函数，所以.

.
令，则.
因为当时，在上为减函数.
所以当时，.
从而，所以在上为减函数.
所以当时，.
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
19． (1) (2)
【解析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
【详解】
解：（1）由是递增等比数列，，
联立 ，解得或，
因为数列是递增数列，所以只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式：；
（2）由，
∴；∴；
那么，①
则，②
将②﹣①得：
．
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
20．（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）
【解析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知，
有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.
人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
21．（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面ABC，所以
因为.所以.即
又.所以平面
因为平面.所以平面平面

（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以
设平面的一个法向量为，
由.得
令，得
又平面，所以平面的一个法向量为.

所以二面角的余弦值为.
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.
（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.
【详解】
（1）.
当时，，此时在上单调递减；
当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知.，，，
不妨设，∴，
，
令，
∴，
∴在上是减函数，，
∴，即.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.