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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,首 页,上 页,下 页,尾 页,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,7.6 二重积分,二重积分概念,二重积分性质,二重积分计算,小结,思索与练习,第1页,在这一节，我们将把一元函数定积分概念及基本性,质推广到二元函数定积分，即二重积分，为引出二重积,分概念，我们先来讨论两个实际问题。,1.曲顶柱体体积,体积公式来计算，但可采取这么思想方法,二重积分概念,第2页,（,1）分割,（2）近似,第3页,即,第4页,(3),求和,就得到所求曲顶柱体体积近似值，,即,（,4,）取极限,即,第5页,2,.,平面薄板质量,第6页,第7页,上面两个问题所要求，都归结为同一形式和极限。,在其它学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式,和极限。所以我们要普通地研究这种和极限，并抽象出下,述二重积分定义。,定义,第8页,假如当个小闭区域直径中最大值,趋于零时，,最终附带指出，在二重积分定义,第9页,边界点一些小闭区域外，其余小闭区域都是矩形闭,区域。任取一小区域,也就是说，在直角坐标系下，有,第10页,二重积分与一元函数定积分有类似性质。,下面所包括,性质1,被积函数常数因子能够提到二重积分号外面，,即,性质2,函数和（或差）二重积分等于各个函数二重,二重积分性质,第11页,性质3,此性质表示二重积分对于积分区域含有可加性。,性质4,此性质几何意义很显著，因为高为1平顶柱体体积在,数值上就等于柱体底面积。,第12页,性质5,特殊地，因为,又有不等式,性质6,第13页,性质7（二重积分中值定理）,使得下式成立,第14页,按照二重积分定义来计算二重积分，对少数尤其简单,被积函数和积分区域来说是可行，但对普通函数和积分区,域来说，这不是一个切实可行方法。,1,.,在直角坐标系下二重积分计算,二重积分计算,第15页,其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形“曲边”是曲线,第16页,因为整个曲顶柱体体积为,由此，可得,或者写成,第17页,定理,7.9,记作,所以，等式,7.6,也写成,第18页,第19页,定理,7.10,设区域,D,为,记作,第20页,上式表明，这两个不一样次序二次积分相等，因为它们,二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而,积分限是依据积分区域D类型来确定。,第21页,对于较复杂积分区域，在化二重积分为二次积分时，,为了计算简便，需要选择恰当二次积分次序。,这时，既要,考虑积分区域D形状，又要考虑被积函数,下面举例说明怎样利用公式,(7.6),计算二重积分。,例1,解,第22页,（2）定限,（3）计算,例2,第23页,解,（3）计算,第24页,2,.,在极坐标系下二重积分计算,按二重积分定义有,下面将推导出这个和极限在极坐标系中形式,.,曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心一族同心圆,:,第25页,第26页,于是,即,第27页,因为在直角坐标系中,也常记作,所以,上式又可写成,这就是二重积分变量从直角坐标变换为极坐标变换,公式（7.8）表明，要把二重积分中变量从直角坐标变,变换为极坐标，只要把被积函数中,第28页,接下来问题，依然是要将它化成二次积分来计算。为,第29页,二重积分化为二次积分公式为,上式也写成,（7.9）,第30页,第31页,例3,解,第32页,作业,P142 习题22,习题24,习题26（2）,习题31,第33页,
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